考研数一真题及解析Word文件下载.docx

1、t 4x+ y（R 1），取逆时针方向.（本题满分7分） 设对于半空间xaO内任意的光滑有向封闭曲面 S,都有xf （x）dydz-xyf （x）dzdx-e2Xzdxdy= 0,4八、其中函数f（x）在（0,+乂）内具有连续的一阶导数，且lm+f（x）=1,=求f（x）.七、（本题满分6分）求幕级数1的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性 n3n+（-2）n n八、（本题满分7分）设有一半径为R的球体，F0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到F0距离的平方成正比（比例常数kAO）,求球体的重心位置.九、（本题满分6分）设函数f（X）在O,兀上连续，且J：f （x）dx = O

2、J；f （x）cos xdx =0,试证：在（0,兀）内至少存在两个不同的点 险，巴2，使f （险）=f （笃）=0.十、（本题满分6分）位矩阵，求矩阵B .1然后将-熟练工支援其6卜一、（本题满分8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐， 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核Xn， yn记成向有2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为5十二、（本题满分8分）某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p（0 P 0为未知参数，又设x1, X2,xi是X的一组样本观测值,2000年全国硕士研究生入学统一考试数学

3、一试题解析【答案】一、填空题 兀=J； J2x-x2dx = J； J1 -（X1）2dxF（x,y,z） =0在点（X0, y。，zJ的法矢量为:n =Fx（X0, y。,Z0）, Fy。, y。, zO, Fz（X0,y。，zJ则有令 F（X, y,z） =x2 +2y2 +3z2 -21,Fx（1, -2, 2） = 2x|f,-2, 2）=2,Fy（1, -2, 2 ） = 4y|（1,-2, 2）8,Fz（1, -2, 2 ） = 6z|（1, -2, 212.（3）【答案】+C2X因BC2 -e 0是大于零的任意常数，上式可写成所以原方程的通解为：y =2 中 C2x11a+2+:

4、T-1aL1-20.a2-3-1”【答案】-1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有【答案】2/3（由A,B独立的定义：P（AB） = P（A）P（B）【详解】由题设，有 P（AB），P（ aB） = P（Ab）9因为A和B相互独立，所以 A与B，A与B也相互独立.即有P（A） & -P（B）= -P（A）P（B）,可得P（A） = P（B） , P（A） = P（B）从而p（AB）= p（A）p（ B） = p（A）了 = 1- p（A）2 =-,解得P（A）二、选择题（1）【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知f （x） f （x）g（x） - f

5、 （x）g （X）c 0,想到设函数为相除的形式 一g（x）【详解】设 F（xHf，则（F（xn-f（x）g（x）rf（x）g（x0, g（x）g2（x）则F（x）在acxcb时单调递减，所以对 Vacxcb , F （a） F （x） F （b），即f（a f（xf（b） g（a） g（x） g（b）得 f（x）g（b） A f （b）g（x）, a ex b，（A）为正确选项.【答案】C【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有: 性质1设f （x,y,z）在分块光滑曲面 S上连续，S关于yoz平面对称，则pJJf （x,y,z）dS = 0.性质2：设f （x,y,z）在分块光滑曲

6、面 S上连续,S关于xoz平面对称，则PJJf（x,y,z）dS=（2 口 f（x,y,z）dSS I :若f （x, y, z）关于y为奇函数 若f（X, y, z）关于y为偶函数其中 S =SCy JJxdS = 0，而 JJxS 中 x0且S SiJJydS = 0，而 JJxdSAO，所S S1性质3：设f （x,y,z）在分块光滑曲面 S上连续，S关于xoy平面对称，则若f （x, y,z）关于z为奇函数JJ f（X, y, z）dS = 2 JJ f （x, y, z）dS 若f （x, y, z）关于 z为偶函数 S I其中 S =Scz 方法1直接法：本题中S在xoy平面上方，

7、关于yoz平面和xoz平面均对称，而f（x,y,z）=z对x, y 均为偶函数，则性质1 性质2JJzdS = 2 JJ zdS = 4JJzdSS Srx/ S又因为在S,上将x换为y , y换为z，z换为x，Si不变（称积分区域Si关于x, y, z轮换对称），从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有4JJzdS=4JJxdS=4JJydS.选项（C）正确.Si Si Si方法2:间接法（排除法）曲面S关于yoz平面对称，x为x的奇函数，所以仅在yoz面上x=0 ,从而JJxdSO， （A）不成立.Si曲面S关于zox平面对称，y为y的奇函数，所以所以（D）不成立.oC（3）设

8、级数S un收敛，则必收敛的级数为n壬（B） h Un2n 二1CD d n Un （A） 2 （-1 j n n【答案】D方法1：直接法由艺Un收敛，所以 送Un1也收敛由收敛级数的性质（如果级数 艺Unn4 n4 n4间接法找反例:（B）:取 Un（C）:是发散的；（关于上述结束的敛散，有下述结果:1严敛心（n+1）ln P（1 + n）发散=Z 1发散;心n，级数2 Un收敛，但n 心【答案】（D）【详解】用排除法（A）为充分但非必要条件：若向量组% ,可由向量组 氏，,Pm线性表示，则一定 可推导卩仆,线性无关，因为若吒，,线性相关，则r （叫，,a m ） V m,于是，,必线性相关

9、，矛盾但反过来不成立，如当 m =1时，S = （1,0）T,叫=（0,1）T均为单个非零向量是线性相关的，但 %并不能用p1线性表示（B）为既非充分又非必要条件：如当 m = 1时，考虑 =（1,0）T, P1 =（0,1）T均线性无关,但并不能由a1线性表示，必要性不成立；又如 旳=（1,0）T, p1 =（0,0）T,可由a 1线性表示,但p1并不线性无关，充分性也不成立（C）为充分但非必要条件：若向量组 8,am与向量组Pi,Pm等价，由a 1,dm线性无关知，pm ） am ）=m,因此（，,Pm线性无关，充分性成立；当 m=1时，考虑6 =（1,O）T, P1 =（O,1）T均线性

10、无关，但1与P1并不是等价的，必要性不成立（D）剩下（D）为正确选项.事实上，矩阵Ap%,am卢矩阵B = （P1，,Pm ）等价？ r（A）=r（B）? r（弭，,Pm ） = r（S,5 ）= m,因此是向量组 叫，,Pm线性无关的充要 条件.【答案】B.【详解】和n不相关的充分必要条件是它们的相关系数由协方差的性质： cov（aX +bY, Z）=acov（X,Z）+bcov（Y,Z）Cov（r,n ） = Cov（X +Y,X -Y ）= Cov（X,X ）-Cov（X,Y）+Cov（Y,X ）-Cov（Y,Y） = Cov（X,X ）Cov（Y,Y ） = D（X ）D（Y）可见Co

11、v（,n）= Ou D（X）-D（Y） = Ou D（X）=D（Y）=E（X2）-E（X）2=E（Y2）-E（Y）f（由方差定义 DX =EX2-（EX）2）故正确选项为（B）.三【分析】由于极限中含有e；与|x|，故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相 等，则极限值存在且等于其极限值，否则极限不存在 .=帚-丄 f2xyf143 f22 -g-当 gy y x x五【详解】（复连通条件下的封闭曲线积分 ）（2）在Li与L2所包设：（1）Li与L2是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的走向,围的有界闭区域 D1与D2的内部除一些点外， P（x, y）与Q（x, y）连续并具有连续的一

12、阶偏导数，且.则& dyP（x, y）dx +Q（x, y）dy =P（x, y）dx +Q（x, y）dy解：以点（1,0 ）为中心，R为半径的圆周的参数方程是： x=1 + Rcos9,y = Rsi，逆（X, y） H（0,0） 作足够小的椭圆:L1: Jx = 2COSt（t- 00,C取逆时针方向）,Iy = ssi nt于是于是L与Li及函数P（x,y）与Q（x,y）满足 分析”中所述定理的一切条件,而后一积分可用参数法计算椭圆4x2 +y2 =孑的顺时针方向，则xdy - ydx xdy - ydx 【七 4x2 + y2 J 4x2 + y21 1 2 2 2f xdyd ff

13、2dxdy （ D1 : 4x + y 兰 s）Dis J 名八2 =JI =兀S2 2六【详解】由题设条件，可以用高斯公式：0 =血 xf （x）dydz - xyf （x） dzdx- e2xzdxdy= jjjxf （x） + f（X）-xf（x） e2xilvQ 一其中Q为S所围成的有界闭区域， 当S的法向量指向O外时，士”中取 环”；当S的法向量指向C内时，士”中取由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数2xxf （x） + f（x）-xf（x）e =0,（ xa0）这是一阶线性非齐次微分方程,利用一阶线性非齐次微分方程 dy+p（x）y=Q（x）的通解公式:_p（x）dx f y

14、 =e Q（x） edxP（x）dx J dx +CJ其通解为Ee2xe3dx + C曲 1e2x&dx+C卜eC）限值为1），即C+1=0,从而C = - 1.ex因此 f（X）= （ex -1 ）比 a七【定义概念】幕级数 无anxn，若lim 加 =P ,其中anT两项的系数，则该幕级数的收敛半径Pho+oC开区间（-R,R）叫做幕级数的收敛区间.所以收敛半径为R = 3，相应的收敛区间为（-3,3）.当X =3时，因为1 1n （-2 71+丄l3丿当x = -3时,由于（3+2 2n -（3n +（ 2）n 一 3n +（2）n /分别考虑两个级数，级数比 n送（一1）n-是收敛的.

15、又因nliml+r自In =处，从而2nn13丿再由收敛,n七丿根据比较审敛法知收敛，所以原级数在点 x = - 3处收敛.3 +（-2）nf n（-3）0n+（-2）n所以收敛域为-3,3）.八【详解】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关Po作为坐标原点，相应的有键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点两种求解方法.（x,y,z）,由对称性，得y=0, z=0,设卩为。上点（x,y,z）处的密度，按 题设卩=k （X R j + y2 +Z2 ，贝y=k JJJ（x2 + y2 +z2 ）dV + k JJJ R2dV -0 （利用奇函数的对称

16、性=8k 上 psi4k兀R（牛-莱公式）2 4k 兀 R32 k兀 R515川 kxC（x-R）2+y2Q= kUJx（x2+y2其中第一个积分的被积函数为+ z dV又由于O关于X, y,z轮换对称,+ z2 +R2） 2kR 川 x2dVz的奇函数，O对称于xOy平面，所以该积分值为零,所以 JJJz2dV 二 JJJx2dV 二 JJJy2dVQ Q Q雷2dV uw +y2 +z2）dV=3 Qd 呻叮r2 2気看 r5R） +yrzdV kR 存R5 一软R6 2 2 2 川叶X. i r r角坐标系，则球面的方程为F0O为正Z轴建立直2 2 2 _ 一X2 + y2 +z2 =2

17、Rz,设Q的重心位置为（X, y, z），由对称-.因此，球体Q的重心位置为（一,0,0）4 4性，得=0, y =0 ,设卩为O上点（x,y,z）处的密度，按题设卩=k x2 + y2 +z2所以JJJz4dV 川 kz（ X2 + y2 + z2 ）dVz = -Q JJJ PdV fff k （x2 + y2 + z2 ）dV因为 - - 2RcosW C C 32 u川（x2+y2+z2 ）dv =4d9dho r2 T2sindr -32兀 R5Q 000 15川z（x2 +y2 +z2 ）dV =4.孑d8 fd广COS；5sin cosdr号春。sJW号r65 5R故Z=R.因此

18、，球体Q的重心位置为（0,0,）.九【证明】方法 1 令 F（x） = 0 f （t）dt,0 x 兀，有 F（0） =0,由题设有 Fb） =0 .又由题设 （f （x）cosxdx =0，用分部积分，有JI JIry jI jI0 + L F （x）sin xdx = J。F （x）sin xdx0 = 0 f （x）cos xdx = 0 cosxdF （x）=F（x）cos x由积分中值定理知，存在 亡（0,兀）使0= f F（x）sin xdx = F（sin 匕兀-0）因为匕迂（0,兀）,si ntHO，所以推知存在 t迂（0,兀），使得F化）= 0.再在区间0,匕与兀上对F（x）

19、用罗尔定理，推知存在迂（0,匕）,（兀）使F 徑 1）=0F（q）=0，即 f（）=0,f（q）=0rr方法2：由f （x）d 及积分中值定理知，存在迂（0,兀）,使f（）=0.若在区间（0,兀）内f（x）仅有一个零点q，则在区间（0, ）与（：,；!）内f（x）异号.不妨设在（0,匕）内f（X）aO，在（,兀）内 f（X）0.于是由 10 f （x）dx = 0, J0 f （x）cos xdx = 0，有jT jT jT 袪0 = f（x）cosxdx- f（x）cosqdx= f （x）（cosx-cosq）dx=f f （x）（cosx-cos匸 1）dx+ft f （x）（cosx-

20、cos匸 1）dx当 0Xr 时，cos COs , f （x）（cosx-cos r） aO ；当 rCXV 兀f（x）cosx V co哮，仍有f（X）（COS X-cos匕1）0，得到：OaO.矛盾，此矛盾证明了在（0,兀）仅有1个零点的假设不正确，故在 （0,兀）内f（x）至少有2个不同的零点.十【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据题设等式，可先右乘 A，再左乘A*，尽量不去计算 A于是A =2，所以 A*A=2等式 ABAmBA+BE 两边先右乘 A，得 ABA，A= BAA+3EA再左乘 A*，得 A* A B A1 A A bA + a

21、 3* a E A化简I A| BE =A*BE+3AA= 2B = A*B+3|A|E2B = A B +6E=（2E-A* ）B =6E,* -1= （2EA ）06=6L0-6.6.-1.得（由初等变换法求得）lA =2（同解 1），由 aA* =AA =AE,0L884012* * 4A = A（A ） =2（A ） =2（由初等变换法求得），可见A- E为逆矩阵于是，由（A-E）BA =3E,有 B=3（A-E）A,而因此-4（AE）B =32of4L方法3：由题设条件ABA= BA1 +3E，知：A-E，B均是可逆矩阵，且得（A-E BA，=3E.B =3（A-E ）a = 3la

22、4（A-E ）=3（E - A，A* = 3iE-其中卜一【详解】2E 一 A0 * -J，（2E -A ）=-6”l2E-A =B =6（2E-A）=66-6（1）由题意，一Xn +yn是非熟练工人数,li6Xn+ yn是年终由非熟练工人变成的熟练工人数，6Xn是年初支援其他部门后的熟练工人数，根据年终熟练工的人数列出等式（1），根据年终非熟练工人人数列出等式得5 ,26Xn+-3f1 +yn56Xn+yn:5,1,2Xn+ =-X n + Xn +丫.6 15 51 ,3FX +- yn10 5 9iXn+=10Xniyn 厂一Xn+2+3，即/ fXn +yn卅丿10A =I丄110作为列向量写成矩阵的形式（32），因为其行列式4 -1（5=5工0把3 , n 22、r 1、I （-4、八，A2 =505丿.2丿2,由特征值、特征向量的定义,得n 1为A的属于特征值 打=1的特征向量，n2为A的属于特征值 卜2 =特征向量. （3）因为因此只要计算A即可.令-n1丿f、 则由PAP =心