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t4x+y

（R>

1），

取逆时针方向.

（本题满分7分）设对于半空间xaO内任意的光滑有向封闭曲面S,都有

xf（x）dydz-xyf（x）dzdx-e2Xzdxdy=0,

八、

其中函数f（x）在（0,+乂）内具有连续的一阶导数，且lm+f（x）=1,=求f（x）.

七、（本题满分6分）

求幕级数——1———的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性n£

3n+（-2）nn

八、（本题满分7分）

设有一半径为R的球体，F0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点

到F0距离的平方成正比（比例常数kAO）,求球体的重心位置.

九、（本题满分6分）

设函数f（X）在［O,兀］上连续，且J：

f（x）dx=OJ；

f（x）cosxdx=0,试证：

在（0,兀）内

至少存在两个不同的点险，巴2，使f（险）=f（笃）=0.

十、（本题满分6分）

位矩阵，求矩阵B.

然后将-熟练工支援其

卜一、（本题满分8分）

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,

他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核

Xn，yn记成向

有2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为

十二、（本题满分8分）

某流水生产线上每个产品不合格的概率为p（0<

1），各产品合格与否相互独立，当

出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X,求

X的数学期望E（X）和方差D（X）•

十三、（本题满分8分）

设某种元件的使用寿命X的概率密度为f（X；

日）=（i

1°

其中0>

0为未知参数，又设x1,X2,…,xi是X的一组样本观测值,

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

⑴【答案】

一、填空题兀

=J；

J2x-x2dx=J；

J1-（X—1）2dx

F（x,y,z）=0在点（X0,y。

，zJ的法矢量为:

n={Fx（X0,y。

Z0）,Fy^。

y。

zO,Fz（X0,y。

，zJ}

则有

令F（X,y,z）=x2+2y2+3z2-21,

Fx'

（1,-2,2）=2x|f,-2,2）=2,

Fy'

（1,-2,2）=4y|（1,-2,2）—8,

Fz'

（1,-2,2）=6z|（1,-2,2「12.

（3）

【答案】+C2

因BC2-e®

0是大于零的任意常数，上式可写成

所以原方程的通解为：

y=2中C2

a+2

-1

-2

a—2

-3

-1”

⑷【答案】-1.

【详解】化增广矩阵为阶梯形，有

⑸【答案】2/3（由A,B独立的定义：

P（AB）=P（A）P（B））

【详解】由题设，有P（AB），P（aB）=P（Ab）

因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立.

即有

P（A）&

-P（B）]=[「-P（A）]P（B）,

可得

P（A）=P（B）,P（A）=P（B）

从而

p（AB）=p（A）p（B）=[p（A）了=1-p（A）]2=-,

解得

P（A）

二、选择题

（1）

【答案】A

【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数

.题设中已知

f（x）f'

（x）g（x）-f（x）g'

（X）c0,想到设函数为相除的形式一^

g（x）

【详解】

设F（xHf^，则（F（xn-f'

（x）g（x）rf（x）g'

（x^0,g（x）

g2（x）

则F（x）在acxcb时单调递减，所以对Vacxcb,F（a）>

F（x）>

F（b），即

f（a^f（x^f（b）g（a）g（x）g（b）

得f（x）g（b）Af（b）g（x）,aex<

b，（A）为正确选项.

⑵【答案】C

【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有:

性质1设f（x,y,z）在分块光滑曲面S上连续，

S关于yoz平面对称，则

JJf（x,y,z）dS=<

2）7f（x,y,z）dS

SI；

若f（x,y,z）关于x为奇函数若f（X,y,z）关于X为偶函数

其中S=Sc{x>

0}.

性质2：

设f（x,y,z）在分块光滑曲面S上连续,

S关于xoz平面对称，则

JJf（x,y,z）dS=（2口f（x,y,z）dS

SI:

若f（x,y,z）关于y为奇函数若f（X,y,z）关于y为偶函数

其中S=SC{y>

JJxdS=0，而JJxS中x>

0且

SSi

JJydS=0，而JJxdSAO，所

SS1

性质3：

设f（x,y,z）在分块光滑曲面S上连续，S关于xoy平面对称，则

若f（x,y,z）关于z为奇函数

JJf（X,y,z）dS=«

2JJf（x,y,z）dS若f（x,y,z）关于z为偶函数SI

其中S=Sc{z>

方法1直接法：

本题中S在xoy平面上方，关于yoz平面和xoz平面均对称，而f（x,y,z）=z对x,y均为偶函数，则

性质1性质2

JJzdS=2JJzdS=4JJzdS

SSrx/}S

又因为在S,上将x换为y,y换为z，z换为x，Si不变（称积分区域Si关于x,y,z

轮换对称），从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有

4JJzdS=4JJxdS=4JJydS.选项（C）正确.

SiSiSi

方法2:

间接法（排除法）

曲面S关于yoz平面对称，x为x的奇函数，所以

仅在yoz面上x=0,从而JJxdS^O，（A）不成立.

曲面S关于zox平面对称，y为y的奇函数，所以

所以（D）不成立.

（3）设级数Sun收敛，则必收敛的级数为

n壬

（B）hUn2

n二1

□C

DdnUn

（A）2（-1j―n±

【答案】D

方法1：

直接法•由艺Un收敛，所以送Un^1也收敛•由收敛级数的性质（如果级数艺Un

n4n4n4

间接法•找反例:

（B）:

取Un

（C）:

是发散的；

（关于上述结束的敛散，有下述结果:

—1—严敛

心（n+1）lnP（1+n）［发散

=Z1发散;

心n

，级数2Un收敛，但

n心

⑷【答案】

（D）

【详解】用排除法•

（A）为充分但非必要条件：

若向量组

%…,％可由向量组氏，…,Pm线性表示，则一定可推导卩仆…,线性无关，因为若吒，…,线性相关，则r（叫，…,am）Vm,于是％，…,

必线性相关，矛盾•但反过来不成立，如当m=1时，S=（1,0）T,叫=（0,1）T均为单个非零

向量是线性相关的，但%并不能用p1线性表示•

（B）为既非充分又非必要条件：

如当m=1时，考虑％=（1,0）T,P1=（0,1）T均线性无关,

但并不能由a1线性表示，必要性不成立；

又如旳=（1,0）T,p1=（0,0）T,可由a1线性表示,

但p1并不线性无关，充分性也不成立

（C）为充分但非必要条件：

若向量组8,…,am与向量组Pi,…,Pm等价，由a1,…,dm线

性无关知，pm）am）=m,因此（^，…,Pm线性无关，充分性成立；

当m

=1时，考虑6=（1,O）T,P1=（O,1）T均线性无关，但«

1与P1并不是等价的，必要性不成立

（D）剩下（D）为正确选项.事实上，矩阵Ap%,…,am卢矩阵B=（P1，…,Pm）等价？

r（A）=r（B）?

r（弭，…,Pm）=r（S…,5）=m,因此是向量组叫，…,Pm线性无关的充要条件.

⑸【答案】B.

【详解】©

和n不相关的充分必要条件是它们的相关系数

由协方差的性质：

cov（aX+bY,Z）=acov（X,Z）+bcov（Y,Z）

Cov（r,n）=Cov（X+Y,X-Y）

=Cov（X,X）-Cov（X,Y）+Cov（Y,X）-Cov（Y,Y）=Cov（X,X）—Cov（Y,Y）=D（X）—D（Y）

可见

Cov（©

n）=OuD（X）-D（Y）=OuD（X）=D（Y）

=E（X2）-E（X）]2=E（Y2）-[E（Y）f（由方差定义DX=EX2-（EX）2）

故正确选项为（B）.

三【分析】由于极限中含有e；

与|x|，故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相等，则极限值存在且等于其极限值，否则极限不存在.

=帚-丄f2^xyf1^43f22-—g-当g"

yyxx

五【详解】

（复连通条件下的封闭曲线积分）

（2）在Li与L2所包

设：

（1）Li与L2是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的走向,

围的有界闭区域D1与D2的内部除一些点外，P（x,y）与Q（x,y）连续并具有连续的一阶偏导

数，且.则

』P（x,y）dx+Q（x,y）dy=』P（x,y）dx+Q（x,y）dy

解：

以点（1,0）为中心，R为半径的圆周的参数方程是：

x=1+Rcos9,y=Rsi，逆

（X,y）H（0,0）•作足够小的椭圆:

L1:

Jx=2COSt（t-00],C取逆时针方向）,

[y=ssint

于是

于是L与Li及函数P（x,y）与Q（x,y）满足分析”中所述定理的一切条件,

而后一积分可用参数法计算

椭圆4x2+y2=孑的顺时针方向，则

xdy-ydxxdy-ydx【七4x2+y2J4x2+y2

11222

fxd^yd^—ff2dxdy（D1:

4x+y兰s）

sJ名八

2£

=——JI=兀

S22

六【详解】由题设条件，可以用高斯公式：

0=血xf（x）dydz-xyf（x）dzdx-e2xzdxdy

=±

jjj[xf'

（x）+f（X）-xf（x）—e2xilv

Q一

其中Q为S所围成的有界闭区域，当S的法向量指向O外时，’士”中取环”；

当S的法向量指

向C内时，’士”中取’「•由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数

xf'

（x）+f（x）-xf（x）—e=0,（xa0）

这是一阶线性非齐次微分方程,

利用一阶线性非齐次微分方程■dy+p（x）y=Q（x）的通解公式:

_p（x）dxf\

y=e」^Q（x）e」

P（x）dx\

Jdx+C

其通解为

Ee2xe3dx+C[曲1e2x&

dx+C卜e>

C）

限值为1），即C+1=0,从而C=-1.

因此f（X）=—（ex-1）

比a

七【定义概念】幕级数无anxn，若lim加=P,其中a

两项的系数，则该幕级数的收敛半径

Pho

+oC

开区间（-R,R）叫做幕级数的收敛区间.

所以收敛半径为R=3，相应的收敛区间为（-3,3）.

当X=3时，因为

n—（-27

1+丄

l3丿

当x=-3时,

由于

（（3+2"

2n'

-（3n+（—2）n一3n+（—2）n/

分别考虑两个级数，级数

比n

送（一1）

n£

-是收敛的.又因

liml+r自

In=处，从而

◎n

13丿

再由收敛,

n七丿

根据比较审敛法知

收敛，所以原级数在点x=-3处收敛.

3+（-2）n

（-3）

0n+（-2）n

所以收敛域为［-3,3）.

八【详解】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关

Po作为坐标原点，相应的有

键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点

两种求解方法.

（x,y,z）,由对称性，得y=0,z=0,设卩为。

上点（x,y,z）处的密度，按题设

卩=k[（X—Rj+y2+Z2]，贝y

=kJJJ（x2+y2+z2）dV+kJJJR2dV-0（利用奇函数的对称性

=8k上psi

4k兀R

（牛-莱公式）

4k兀R

32k兀R5

川kxC（x-R）2+y2

=kUJx（x2+y2

其中第一个积分的被积函数为

+zdV

又由于O关于X,y,z轮换对称,

+z2+R2）—2kR川x2dV

z的奇函数，O对称于xOy平面，所以该积分值为零,

所以JJJz2dV二JJJx2dV二JJJy2dV

QQQ

雷2dVuw+y2+z2）dV=3Qd呻叮r22気看r5

—R）+yrz[dV—kR存R5一软R6

「222川叶X.i•

角坐标系，则球面的方程为

F0O为正Z轴建立直

222_——一

X2+y2+z2=2Rz,设Q的重心位置为（X,y,z），由对称

-.因此，球体Q的重心位置为（—一,0,0）

性，得

=0,y=0,设卩为O上点（x,y,z）处的密度，按题设卩=k[x2+y2+z2]

所以

JJJz4dV川kz（X2+y2+z2）dV

z=-Q

JJJPdVfffk（x2+y2+z2）dV

因为

„„„--2RcosWCC32u

川（x2+y2+z2）dv=4『d9『dhor2T2sin④dr-32兀R5

Q00015

川z（x2+y2+z2）dV=4.孑d8fd④广COS；

5sin®

cos^dr

号春。

sJW号r6

55R

故Z=—R.因此，球体Q的重心位置为（0,0,——）.

九【证明】

方法1令F（x）=0f（t）dt,0<

兀，有F（0）=0,由题设有Fb）=0.

又由题设（f（x）cosxdx=0，用分部积分，有

JIJI

■ryjIjI

0+LF（x）sinxdx=J。

F（x）sinxdx

0=0f（x）cosxdx=0cosxdF（x）

=F（x）cosx

由积分中值定理知，存在©

亡（0,兀）使

0=fF（x）sinxdx=F（®

sin匕〈兀-0）

因为匕迂（0,兀）,sintHO，所以推知存在t迂（0,兀），使得F化）=0.再在区间

［0,匕］与［©

迂（0,匕）,◎€（©

兀）使

）=0,f（q）=0

■rr

方法2：

由［f（x）d<

）=0.若在区间（0,兀）

内f（x）仅有一个零点q，则在区间（0,^）与（：

；

）内f（x）异号.不妨设在（0,匕）内

f（X）aO，在（©

兀）内f（X）<

0.于是由10f（x）dx=0,J0f（x）cosxdx=0，有

jTjTjT袪

0=[f（x）cosxdx-[f（x）cosqdx=[f（x）（cosx-cosq）dx

=ff（x）（cosx-cos匸1）dx+ftf（x）（cosx-cos匸1）dx

当0<

r时，cos<

CO^s,f（x）（cosx-cosr）aO；

当rCXV兀

f（x）

cosxVco哮，仍有f（X）（COSX-cos匕1）>

0，得到：

OaO.矛盾，此矛盾证明了

在（0,兀）仅有1个零点的假设不正确，故在（0,兀）内f（x）至少有2个不同的零点.

十【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根

据题设等式，可先右乘A，再左乘A*，尽量不去计算A

于是A=2，所以A*A=2

等式ABA^mBA'

+BE两边先右乘A，得ABA，A=BA~A+3EA

再左乘A*，得A*ABA1AAbA+a3*aEA

化简

IA|BE=A*BE+3AA=2B=A*B+3|A|E

2B=AB+6E

=（2E-A*）B=6E,

*-1

=（2E—A）

0「

「6

-6.

~6.

-1.

得

（由初等变换法求得）

lA=2（同解1），由aA*=AA=

AE,

8」[

4」

「2

*」*4

A=A（A）=2（A）=2

（由初等变换法求得），可见A-E为逆矩阵

于是，由（A-E）BA=3E,

有B=3（A-E）

A,而

因此

-4

（A—E）

B=3

—2

4」L

方法3：

由题设条件ABA^

=BA"

1+3E，

知：

A-E，B均是可逆矩阵，且

得（A-E[BA，=3E.

B=3（A-E）'

a=3la4（A-E）「=3（E-A，

*\^

=3iE-

其中

卜一【详解】

…2E一A

0■

*-J

，（2E-A）=

-6”

2E-A=

B=6（2E-A

）=6

6」

-6

（1）由题意，一Xn+yn是非熟练工人数,

li6Xn

+yn

〕是年终由非熟练工人

变成的熟练工人数，6Xn是年初支援其他部门后的熟练工人数，根据年终熟练工的人数列

出等式

（1），根据年终非熟练工人人数列出等式

⑵得

5,2

6Xn+-

3f1+

5〔6Xn+yn

—:

5,1,2

Xn+=-Xn+—Xn+—丫.

6155

1,3

FX+-yn

105

iXn+=10Xn

iyn厂一Xn

，即

/fXn+

\yn卅丿

I丄

110

作为列向量写成矩阵的形式

（3〕2），因为其行列式

4-1

（5

—

=5工0

⑵把3,n2

2、

r1、

I（-

‘4、

八，A2=

5丿

.2丿

由特征值、特征向量的定义,

得n1为A的属于特征值打=1的特征向量，n2为A的属于特征

值'

卜2=—特征向量.

（3）因为

因此只要计算A即可.令

-n

1丿

f、则由P^AP=［心

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