三角形的内切圆和外接圆电子教案.docx

1、三角形的内切圆和外接圆电子教案三角形外接圆半径的求法及应用方法一：r = ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的咼所得的商人。是厶ABC的高，人丘是厶ABC的外接圆直径.求证 AB AC= AE- AD证：连接A0并延长交圆于点E,连接BE/ E=Z C, / ABE=Z ADC= 90 Rt AB0 Rt ADC.AB AEAD AC，.AB- AOAE- AD则/ ABB 90方法二：2R = a/SinA , a为/ A的对边在锐角 ABC中，外接圆半径为R。求证：2R= AB/SinC证：连接A0并延长交圆于点E,连接BE,.AE= AB/Si nEC=Z E,

2、SinC = SinE.AE= AB/Si nC.2R= AB/Si nCABB 90o若 C为钝角，则 SinC = Sin (180 C)应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径例1 已知：如图，在 ABC中，AC= 13, BC= 14, AB= 15,求厶ABC外接圆O O的半径r.分析：作出直径 AD构造Rt ABD.只要求出厶ABC中BC边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD.解：作AE! BC,垂足为E.设 CE= x,AC-CE2 = aE= aB-BE2 ,. 132-x 2= 152-(14-x) 2 x=5,即 CE= 5,. AE= 12 R = ab/(2h)

3、=13x15/(2x12)=65/8EO ABC外接圆O O的半径r为65 .8例2已知：在厶ABC中, A吐13, BC= 12, AO 5,求厶ABC的外接圆的半径 R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角） ，求外接圆的半径oC. E例3 已知：如图，在 ABC中，AO2, BO 3,Z C= 60,求厶ABC外接圆O O的半径R. 分析：考虑求出角的对边长 AB,然后用方法一或方法二解题.解：作直径AD连结BD.作AE BC垂足为E.则/ DBA= 90, / D=Z C= 60 ,/ CAE=Z DAB=

4、90 - 60 = 30CE = 1AO 1, AE=J3 , AB=7 R=AC AB/2AE=2x7/(2x 花) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径用方法二例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=103,求它的外接圆的半径解从A作AML BC于M则aDmD=aM=AC (MD+ CD).即卩 52 MD= 72 (MD+ 3)2.AM10得R= 14 , 则厶ABC外接圆面积S=n R= 196n.例5如图3,已知抛物线y = x2 4x+ h的顶点A在直线y= 4x 1上,求抛物线的顶点坐标;2抛物线与x轴的交点B、C的坐标;3厶ABC的外

5、接圆的面积.解 A（2 , 9）;B( 1, 0) ; C(5 , 0).从A作AMLx轴交于M点,则 BMhMC= 3. AM = 9./. AB = AC= 十 L = 3丿忑AB* ACAM3710 37109- R= 5 ABC外接圆面积S=n R= 25 n三角形内切圆半径r的求法1 t SAB(=1/2(a+b+c)r- r=2S ABC(a+b+c)2 Rt ABC中尸(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、 三角形的外接圆(1)过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形 的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等.(2)锐角三角形的外心

6、在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形 的外心在斜边中点，外接圆半径 R (c为斜边长).2、 三角形的内切圆(1)到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线 的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部.2S(2) 若三角形的面积为S abc，周长为a+b+c,则内切圆半径为：r ，当a,b为a b c直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径r 或ra b c 23、 圆内接四边形的性质(1)圆内接四边形的对角互补；(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.注意：圆内接平行四边形为矩形；圆内接梯形为等腰梯形.

7、4、 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.【典型例题】、填空和选择(1) 一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是 ()A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形(2)如右图，I是ABC的内心，贝U下列式子正确的是( )A、/ BIC=180 -2 / A B、/ BIC=2Z A C、/ BIC=90 +Z A/2 D、/ BIC=90 - / A/2(3) ABC外切于。O, E、F、G分别是。O与各边的切点，贝U EFG的外心是 ABC的 。(4) 直角三角形的两条直角边分别为 5和12,那么它的外接圆的半径为 ，内切圆

8、半径为 .(5) 等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为 r,R，则r:R= .(6) 圆外切等腰梯形底角为60，腰长为10，则圆的半径长为 .(7) 等边三角形一边长为2,则其内切圆半径等于 .(8) 等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 .(9) ABC的内切圆O I 与 AB BC CA分别切于 D E、F 点，且/ FID=/EID=135，贝U ABC为 例2 .如图， ABC中, I是内心，AI交BC于。，交厶ABC的外接圆于E。求证：(1) IE=EC, (2) IE =ED- EAB例3如图，已知 ABC内接于。O , AE切。O于点A, BC/ AE,例4已知 AB

9、C三边长为6, 8,10,则它的内心，外心间的距离为【经典练习】、选择题1.2.下列命题中，正确的有（ ） 圆内接平行四边形是矩形 圆内接梯形是等腰梯形A . 1个 B . 2个在圆内接四边形ABC冲，/ A:A . 80 B . 90圆内接菱形是正方形圆内接矩形是正方形.3个 D . 4个C/ B:/ C=3: 5: 6,那么/ D=（C . 100 D . 1203.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径 r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ）2-34山 C .二 D2B贝U/ BCD=(D).70图35.如图 2,四边形 ABCD内接于O O,/ ADC=60，则

10、/ ABC=( )A . 30 B . 60 C . 120 D . 906.如图3,正方形ABCD内接于。O,点P在卞D上，则/ BPC*( )A . 35 B . 40 C . 45 D . 507.如图4, MNPQ中，过点Q M的圆与PQ MN分别相交于点E、F,下列结论中正确的 有( )/EFN/ Q=Z N;/ EFN+/ P=180; EF=PN=MQ/ M=/ FERA . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8.如图5,四边形ABCDIOO的内接四边形，AD为OO的直径，若/CBE=50，则圆心角/AOC= ()A . 50 B . 80 C . 100 D . 130P

11、、填空题9.设I是厶ABC的内心，O是厶ABC的外心，/ A=80o,则/BIC= , / BOC= 10.若三角形的三边长为5、12、13,则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。11.直角三角形的一边为a,它的对角是30,则此三角形的外接圆的半径是 。12.如图 6,O I 切厶 ABC于 D E、F,/ C=60 , / EIF=100，则/ B= 。B13.如图7, 贝U/ OAC=图6O O内切于Rt ABC/ B= ABC的外接圆半径=AD9C图7 图8/ C=90 , D E、F 为切点。若/ AOC=120 ,_ ;若 AB=2cm 贝U AC= ,内切圆半径=14.如

12、图 8,若弦 AD/ BC, / BAC=70 , / ABC=80 ,则/ ADC 度，/ ACD 度。15.如图9,四边形ABCD为O 0的内接四边形，AELCD若/ ABC=130，则/DAE= 。P16.如图10,四边形ABCD是O 0的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。已知/ A=60 , / ABC=100，贝U/ P= 。【大展身手】一、选择题1.卜列说法止确的是（)A .三点确定一个圆B .三角形有且只有一个外接圆C .四边形都有一个外接圆D.圆有且只有一个内接三角形2.下列命题中的假命题是（)A .三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B .三角形的外心到三角形三边的距离相

13、等C .三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D .三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心3. 下列图形一定有外接圆的是（ ）A .三角形 B平行四边形 C梯形 D.菱形4. 下列说法正确的是（ ）A .过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B .过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C .过三点A、B C的圆的圆心有且只有一点D .过四点A、B C D的圆不存在5.在Rt ABC中，/ C=90, AC=6cm BC=8cm则它的外心与顶点 C的距离为（A . 5cm B. 6cmC.7cmD.8cm6.等边三角形的外接圆的半径等于边长的()倍.A .仝 B.仝C.3D.12 327.三

14、角形的外心具有的性质是（)A .到三边距离相等B.到三个顶点距离相等C .外心在三角形外D.外心在三角形内8.对于三角形的外心，下列说法错误的是()A .它到三角形三个顶点的距离相等B .它与三角形三个顶点的连线平分三内角C .它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D .以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9.在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（A .菱形B.等腰梯形C矩形D.正方形10.如图所示,圆的内接四边形 ABCD DA CB延长线交于P, AC和BD交于Q则图中相似三角形有（B、2对11./ DCE是圆内接四边形ABCD勺一个外角，那么P、/ DCE# A=180B、/ DCE# B=180OH三O、/ DCE/AD、/ DCE/ B二、填空题:ABC的三边3, 2， 13，设其三条高的交点为H,外心为O,则2. A ABC的外心是它的两条中线交点，则 ABC的形状为 .3.如图所示，在 ABC的外接圆中，AB=AC D为AB的中点，若/ EAD=14，贝U/ BAD= .例6求证:已知：如图，四边形ABC内接于。0,点P在AB勺延长线上，且PC/ BDPB CBCD DA