三角形的内切圆和外接圆电子教案.docx
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三角形的内切圆和外接圆电子教案
三角形外接圆半径的求法及应用
方法一：
r=ab/（2h）
三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的咼所得的商
人。
是厶ABC的高，人丘是厶ABC的外接圆直径.求证AB•AC=AE-AD
证：
连接A0并延长交圆于点E,连接BE
•••/E=ZC,/ABE=ZADC=90°
•••Rt△AB0Rt△ADC
.ABAE
ADAC，
.AB-AOAE-AD
则/ABB90
方法二：
2R=a/SinA,a为/A的对边
在锐角△ABC中，外接圆半径为R。
求证：
2R=AB/SinC
证：
连接A0并延长交圆于点E,连接BE,
.AE=AB/SinE
C=ZE,SinC=SinE
.AE=AB/SinC
.2R=AB/SinC
ABB90」
o
若C为钝角，则SinC=Sin（180°—C）
应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径
例1已知：
如图，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB=15,求厶ABC外接圆OO的半径r.
分析：
作出直径AD构造Rt△ABD.只要求出厶ABC中BC边上的高AE,用方法一就可以求出直径
AD.
解：
作AE!
BC,垂足为E.
设CE=x,
•••AC-CE2=aE"=aB"-BE2,.132-x2=152-（14-x）2
•••x=5,即CE=5,.AE=12R=ab/（2h）=13x15/（2x12）=65/8
E
O
•••△ABC外接圆OO的半径r为65.
8
例2已知：
在厶ABC中,A吐13,BC=12,AO5,求厶ABC的外接圆的半径R.
分析：
通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径
o
C."E
例3已知：
如图，在△ABC中，AO2,BO3,ZC=60°,求厶ABC外接圆OO的半径R.分析：
考虑求出角的对边长AB,然后用方法一或方法二解题.
解：
作直径AD连结BD.作AE±BC垂足为E.
则/DBA=90°,/D=ZC=60°,
/CAE=ZDAB=90°-60°=30°
CE=1AO1,AE=J3,AB=7•R=ACAB/2AE=2x7/（2x花）应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径
用方法二
例4已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=103,求它的外接圆的半径
解从A作AMLBC于M则
aD—mD=aM
=AC—（MD+CD）.即卩52—MD=72—（MD+3）2.
AM
10
得R=14,则厶ABC外接圆面积S=nR=196n.
例5如图3,已知抛物线y=x2—4x+h的顶点A在直线y=—4x—1上,
求①抛物线的顶点坐标;
2抛物线与x轴的交点B、C的坐标;
3厶ABC的外接圆的面积.
解①A（2,—9）;
②B（—1,0）;C（5,0）.
③从A作AMLx轴交于M点,
则BMhMC=3.AM=9.
/.AB=AC=®十L=3丿忑
AB*AC
AM
3710•3710
9
-••R=5
△ABC外接圆面积S=nR=25n
三角形内切圆半径r的求法
1tS^AB（=1/2（a+b+c）r
•-r=2S△ABC（a+b+c）
2Rt△ABC中尸（a+b-c）/2
三角形的内切圆和外接圆【知识要点】
1、三角形的外接圆
（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。
三角形的外心到各顶点的距离相等.
（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径R£（c为斜边长）.
2、三角形的内切圆
（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部.
2S
（2）若三角形的面积为Sabc，周长为a+b+c,则内切圆半径为：
r，当a,b为
abc
直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径r或r
abc2
3、圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.
注意：
①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形.
4、两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.
【典型例题】
」、填空和选择
（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是（）
A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形
（2）如右图，I是ABC的内心，贝U下列式子正确的是（）
A、/BIC=180-2/AB、/BIC=2ZAC、/BIC=90+ZA/2D、/BIC=90-/A/2
（3）ABC外切于。
O,E、F、G分别是。
O与各边的切点，贝UEFG的外心是ABC的。
（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么它的外接圆的半径为，内切圆半
径为.
（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为r,R，则r:
R=.
（6）圆外切等腰梯形底角为60，腰长为10，则圆的半径长为.
（7）等边三角形一边长为2,则其内切圆半径等于.
（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是.
（9）ABC的内切圆OI与ABBCCA分别切于DE、F点，且/FID=/EID=135，贝UABC
为•
例2.如图，△ABC中,I是内心，AI交BC于。
，交厶ABC的外接圆于E。
求证：
（1）IE=EC,
（2）IE=ED-EA
B
例3•如图，已知ABC内接于。
O,AE切。
O于点A,BC//AE,
例4•已知ABC三边长为6,8,
10,
则它的内心，外心间的距离为
【经典练习】
、选择题
1.
2.
下列命题中，正确的有（）
①圆内接平行四边形是矩形③圆内接梯形是等腰梯形
A.1个B.2个
在圆内接四边形ABC冲，/A:
A.80°B.90°
②圆内接菱形是正方形
④圆内接矩形是正方形
.3个D.4个
C
/B:
/C=3:
5:
6,那么/D=（
C.100°D.120°
3.
如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外
接圆的面积之比为（）
2-3
4
山C.二D
2
B
贝U/BCD=（
D
）
.70°
图3
5.如图2,四边形ABCD内接于OO,/ADC=60，则/ABC=（）
A.30°B.60°C.120°D.90°
6.如图3,正方形ABCD内接于。
O,点P在卞D上，则/BPC*（）
A.35°B.40°C.45°D.50°
7.如图4,MNPQ中，过点QM的圆与PQMN分别相交于点E、F,下列结论中正确的有（）
①/EFN/Q=ZN;②/EFN+/P=180°;③EF=PN=MQ④/M=/FER
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.如图5,四边形ABCDIOO的内接四边形，AD为OO的直径，若/CBE=50，则圆心角/AOC=（）
A.50°B.80°C.100°D.130°
P
、填空题
9.设I是厶ABC的内心，O是厶ABC的外心，/A=80o,则/BIC=,/BOC=
10.若三角形的三边长为5、12、13,则其外接圆的直径长等于，其内切圆的直径长
为。
11.直角三角形的一边为a,它的对角是30°,则此三角形的外接圆的半径是。
12.如图6,OI切厶ABC于DE、F,/C=60°,/EIF=100°，则/B=。
B
13.如图7,贝U/OAC=
图6
OO内切于Rt△ABC
/B=
△ABC的外接圆半径=
A
D
9
C
图7图8
/C=90°,DE、F为切点。
若/AOC=120,
_;若AB=2cm贝UAC=,
内切圆半径=
14.如图8,若弦AD//BC,/BAC=70,/ABC=80,则/ADC度，/ACD度。
15.如图9,四边形ABCD为O0的内接四边形，AELCD若/ABC=130，则/DAE=。
P
16.如图10,四边形ABCD是O0的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。
已知/A=60,/ABC=100，贝U/P=。
【大展身手】
一、选择题
1.卜列说法止确的是（
）
A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
2.下列命题中的假命题是（
）
A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B.三角形的外心到三角形三边的距离相等
C.三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上
D.三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心
3.下列图形一定有外接圆的是（）
A.三角形B•平行四边形C•梯形D.菱形
4.下列说法正确的是（）
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A、BC的圆的圆心有且只有一点
D.过四点A、BCD的圆不存在
5.在Rt△ABC中，/C=90°,AC=6cmBC=8cm则它的外心与顶点C的距离为（
A.5cmB.6cm
C.
7cm
D.
8cm
6.等边三角形的外接圆的半径等于边长的
（
）倍.
A.仝B.仝
C.
.3
D.
1
23
2
7.三角形的外心具有的性质是（
）
A.到三边距离相等
B.
到三个顶点距离相等
C.外心在三角形外
D.
外心在三角形内
8.对于三角形的外心，下列说法错误的是
（
）
A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它与三角形三个顶点的连线平分三内角
C.它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径
D.以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
9.在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一
定是（
A.菱形
B.等腰梯形
C•矩形
D.正方形
10.如图所示,
圆的内接四边形ABCDDACB延长线交于P,AC和BD交于Q则图中相似
三角形有（
B、2对
11.
/DCE是圆内接四边形ABCD勺一个外角，那么
P
、/DCE#A=180
B、/DCE#B=180
OH三
O
、/DCE/A
'D、/DCE/B
二、填空题:
ABC的三边3,2，13，设其三条高的交点为H,外心为O,则
2.AABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为.
3.如图所示，在ABC的外接圆中，AB=ACD为AB的中点，
若/EAD=14，贝U/BAD=.
例6
求证:
已知：
如图，四边形ABC内接于。
0,点P在AB勺延长线上，且PC//BD
PBCB
CDDA
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