高中圆的知识点总结.docx

1、高中圆的知识点总结高中圆的知识点总结椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。下面是圆的知识点总结。一、教学内容：椭圆的方程高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质.重点：椭圆的方程与几何性质.难点：椭圆的方程与几何性质.二、知识点：1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质定 义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 第二定义：平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上

2、图 形焦点在x轴上焦点在y轴上性 质焦点在x轴上范 围：对称性： 轴、 轴、原点.顶点： ， .离心率：e概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：范围：2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a(2)余弦定理： + -2r1r2cos(3)面积： = r1r2 sin 2c| y0 |(其中p( )三、基础训练：1、椭圆 的标准方程为，焦点坐标是 ，长轴长为_2_，短轴长为2、椭圆 的值是_3或5_;3、两个焦点的坐标分别为 _;4、已知椭圆 上一点p到椭圆一个焦点 的距离是7，则点p到另一个焦点5、设f是椭圆的一个焦点，b1b是短轴， ，则椭圆的离心率为6、方程 =10，化简的

3、结果是 ;满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系 顶点 ，顶点 在椭圆 上，则10、已知点f是椭圆 的右焦点，点a(4，1)是椭圆内的一点，点p(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则 的最大值是 8 .【典型例题】例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.(2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.解：设方程为 .所求方程为(3)已知三点p，(5，2)，f1 (-6，0)，f2 (6，0

4、).设点p，f1，f2关于直线y=x的对称点分别为 ，求以 为焦点且过点 的椭圆方程 .解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点m( ， 1)的椭圆的标准方程.解：设方程为例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点a(离地面最近的点)距地面439km，远地点b(离地面最远的点)距地面2384km，并且 、a、b在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).解：建立如图所示直角坐标系，使点a、b、 在 轴上，则 =|oa|-|o |=| a|=6371+4

5、39=6810解得 =， =.卫星运行的轨道方程为例3、已知定圆分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：上式可以变形为 ，又因为 ，所以圆心m的轨迹是以p，q为焦点的椭圆解：知圆可化为：圆心q(3，0)，设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆m和圆q内切，所以 ，即 ，故m的轨迹是以p，q为焦点的椭圆，且pq中点为原点，所以 ，故动圆圆心m的轨迹方程是：例4、已知椭圆的焦点是 |和|(1)求椭圆的方程;(2)若点p在第三象限，且 =120，求 .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设| |=2| |=4(2)设

6、 ，则 =60-由正弦定理得：由等比定理得：.说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把p点横坐标先求出来，再去解三角形作答例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点p向 轴作垂线段pp，求线段pp的中点m的轨迹(若m分 pp之比为 ，求点m的轨迹)解：(1)当m是线段pp的中点时，设动点 ，则 的坐标为因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 所以点(2)当m分 pp之比为 时，设动点 ，则 的坐标为因为点 在圆心为坐标原点半径

7、为2的圆上，所以有 ，例6、设向量 =(1， 0)， =(x+m) +y =(x-m) +y |+| (i)求动点p(x，y)的轨迹方程;(ii)已知点a(-1， 0)，设直线y= (x-2)与点p的轨迹交于b、c两点，问是否存在实数m，使得 若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.解：(i) =(1， 0)， =(0， 1)， | =6上式即为点p(x， y)到点(-m， 0)与到点(m， 0)距离之和为6.记f1(-m， 0)，f2(m， 0)(0|pf1|+|pf2|=6|f1f2|又x0，p点的轨迹是以f1、f2为焦点的椭圆的右半部分. 2a=6，a=3又 2c=2m， c=m，b2

8、=a2-c2=9-m2所求轨迹方程为 (x0，0( ii )设b(x1， y1)，c(x2， y2)，而y1y2= (x1-2) (x2-2)= x1x2-2(x1+x2)+4x1x2-2(x1+x2)+4= 10x1x2+7(x1+x2)+13若存在实数m，使得 成立则由 10x1x2+7(x1+x2)+13=可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 消去y，得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 因为直线与点p的轨迹有两个交点.由、解得m2= 9，且此时0但由，有9m2-77= 0与假设矛盾不存在符合题意的实数m，使得例7、已知c1： ，抛物线c2：(y-m)2=2px (p0)

9、，且c1、c2的公共弦ab过椭圆c1的右焦点.()当abx轴时，求p、m的值，并判断抛物线c2的焦点是否在直线ab上;()若p= ，且抛物线c2的焦点在直线ab上，求m的值及直线ab的方程.解：()当abx轴时，点a、b关于x轴对称，所以m=0，直线ab的方程为x=1，从而点a的坐标为(1， )或(1，- ).此时c2的焦点坐标为( ，0)，该焦点不在直线ab上.()当c2的焦点在ab上时，由()知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为y=k(x-1).因为c2的焦点f( ，m)在y=k(x-1)上.所以k2x2- (k2+2)x+ =0 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1+x2=(

10、3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 由于x1、x2也是方程的两根，所以x1+x2=又m=- m= 或m=-当m= 时，直线ab的方程为y=- (x-1);当m=- 时，直线ab的方程为y= (x-1).例8、已知椭圆c： (a0，b0)的左、右焦点分别是f1、f2，离心率为e.直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设 = .()证明：()若 ，mf1f2的周长为6，写出椭圆c的方程;()确定解：()因为a、b分别为直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以a、b的坐标分别是a(- ，0)，b(0，a).()当

11、 时， a=2c由mf1f2的周长为6，得2a+2c=6a=2，c=1，b2=a2-c2=3故所求椭圆c的方程为()pf1l pf1f2=90baf1为钝角，要使pf1f2为等腰三角形，必有|pf1|=|f1f2|，即 |pf1|=c.设点f1到l的距离为d，由即当(注：也可设p(x0，y0)，解出x0，y0求之)【模拟试题】一、选择题1、动点m到定点 和 的距离的和为8，则动点m的轨迹为a、椭圆 b、线段 c、无图形 d、两条射线2、设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是a、 c、2- -13、(2004年高考湖南

12、卷)f1、f2是椭圆c： 的焦点，在c上满足pf1pf2的点p的个数为a、2个 b、4个 c、无数个 d、不确定4、椭圆 的左、右焦点为f1、f2，一直线过f1交椭圆于a、b两点，则abf2的周长为a、32 b、16 c、8 d、45、已知点p在椭圆(x-2)2+2y2=1上，则 的最小值为6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆，f、a分别是它的左焦点和右顶点，b是它的短轴的一个端点，则 等于a、 c、二、填空题7、椭圆 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 .8、设f是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点pi(i=1，2， )，使

13、得|fp1|、|fp2|、|fp3|组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .9、设 ， 是椭圆 的两个焦点，p是椭圆上一点，且 ，则得 .10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是三、解答题11、根据下列条件求椭圆的标准方程(1)和椭圆 共准线，且离心率为 .(2)已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为 和 ，过p作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.12、已知 轴上的一定点a(1，0)，q为椭圆 上的动点，求aq中点m的轨迹方程13、椭圆 的焦点为 =(3， -1)共线.(1)求椭圆的离心率;(2)设m是椭圆上任意一点，且 = 、 r)，证明 为定值.【试题答案

14、】1、b2、d3、a4、b5、d(法一：设 ，则y=kx代入椭圆方程中得：(1+2k2)x2-4x+3=0，由0得： .法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)6、c7、( ;(0， );6;10;8; ; .10、m 且m0.11、(1)设椭圆方程 .所求椭圆方程为 的坐标为13、解：设p点横坐标为x0，则 为钝角.当且仅当 .14、(1)解：设椭圆方程 ，f(c，0)，则直线ab的方程为y=x-c，代入 ，化简得：由 =(x1+x2，y1+y2)， 共线，得：3(y1+y2)+(x1+x2)=0，又y1=x1-c，y2=x2-c3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0， x1+x2=(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆 可化为x2+3y2=3b2m 2+3