高中圆的知识点总结.docx

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高中圆的知识点总结

高中圆的知识点总结

　　椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。

下面是圆的知识点总结。

　　一、教学内容：

　　椭圆的方程

　　高考要求：

理解椭圆的标准方程和几何性质.

　　重点：

椭圆的方程与几何性质.

　　难点：

椭圆的方程与几何性质.

　　二、知识点：

　　1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质

　　定义第一定义：

平面内与两个定点）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义：

　　平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.（0

　　标

　　准

　　方

　　程焦点在x轴上

　　焦点在y轴上

　　图形焦点在x轴上

　　焦点在y轴上

　　性质焦点在x轴上

　　范围：

　　对称性：

轴、轴、原点.

　　顶点：

，.

　　离心率：

e

　　概念：

椭圆焦距与长轴长之比

　　定义式：

　　范围：

　　2、椭圆中a，b，c，e的关系是：

（1）定义：

r1+r2=2a

（2）余弦定理：

+-2r1r2cos（3）面积：

=r1r2sin2c|y0|（其中p（）

　　三、基础训练：

　　1、椭圆的标准方程为

　　，焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__;

　　3、两个焦点的坐标分别为___;

　　4、已知椭圆上一点p到椭圆一个焦点的距离是7，则点p到另一个焦点5、设f是椭圆的一个焦点，b1b是短轴，，则椭圆的离心率为6、方程=10，化简的结果是;

　　满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为

　　8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆 上，则10、已知点f是椭圆的右焦点，点a（4，1）是椭圆内的一点，点p（x，y）（x0）是椭圆上的一个动点，则的最大值是8.

　　【典型例题】

　　例1、

（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.

（2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.

　　解：

设方程为.

　　所求方程为（3）已知三点p，（5，2），f1（-6，0），f2（6，0）.设点p，f1，f2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程.

　　解：

（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为（4）求经过点m（，1）的椭圆的标准方程.

　　解：

设方程为

　　例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，已知它的近地点a（离地面最近的点）距地面439km，远地点b（离地面最远的点）距地面2384km，并且、a、b在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.

　　解：

建立如图所示直角坐标系，使点a、b、在轴上，

　　则=|oa|-|o|=|a|=6371+439=6810

　　解得=，=

　　.

　　卫星运行的轨道方程为

　　例3、已知定圆

　　分析：

由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：

　　上式可以变形为，又因为，所以圆心m的轨迹是以p，q为焦点的椭圆

　　解：

知圆可化为：

圆心q（3，0），

　　设动圆圆心为，则为半径又圆m和圆q内切，所以，

　　即 ，故m的轨迹是以p，q为焦点的椭圆，且pq中点为原点，所以，故动圆圆心m的轨迹方程是：

　　例4、已知椭圆的焦点是|和|

（1）求椭圆的方程;

（2）若点p在第三象限，且=120，求.

　　选题意图：

综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.

　　解：

（1）由题设||=2||=4

（2）设，则=60-

　　由正弦定理得：

　　由等比定理得：

　　.

　　说明：

曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把p点横坐标先求出来，再去解三角形作答

　　例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点p向轴作垂线段pp@，求线段pp@的中点m的轨迹（若m分pp@之比为，求点m的轨迹）

　　解：

（1）当m是线段pp@的中点时，设动点，则的坐标为

　　因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

　　所以有所以点

（2）当m分pp@之比为时，设动点，则的坐标为

　　因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有，

　　例6、设向量=（1，0），=（x+m）+y=（x-m）+y|+|（i）求动点p（x，y）的轨迹方程;

　　（ii）已知点a（-1，0），设直线y=（x-2）与点p的轨迹交于b、c两点，问是否存在实数m，使得若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.

　　解：

（i）∵=（1，0）， =（0，1），|=6

　　上式即为点p（x，y）到点（-m，0）与到点（m，0）距离之和为6.记f1（-m，0），f2（m，0）（0

　　|pf1|+|pf2|=6|f1f2|

　　又∵x0，p点的轨迹是以f1、f2为焦点的椭圆的右半部分.

　　∵2a=6，a=3

　　又∵2c=2m，c=m，b2=a2-c2=9-m2

　　所求轨迹方程为（x0，0

　　（ii）设b（x1，y1），c（x2，y2），

　　而y1y2=（x1-2）（x2-2）

　　=[x1x2-2（x1+x2）+4]

　　[x1x2-2（x1+x2）+4]

　　=[10x1x2+7（x1+x2）+13]

　　若存在实数m，使得成立

　　则由[10x1x2+7（x1+x2）+13]=

　　可得10x1x2+7（x1+x2）+10=0①

　　消去y，得（10-m2）x2-4x+9m2-77=0②

　　因为直线与点p的轨迹有两个交点.

　　由①、④、⑤解得m2=9，且此时△0

　　但由⑤，有9m2-77=0与假设矛盾

　　不存在符合题意的实数m，使得

　　例7、已知c1：

，抛物线c2：

（y-m）2=2px（p0），且c1、c2的公共弦ab过椭圆c1的右焦点.

　　（ⅰ）当abx轴时，求p、m的值，并判断抛物线c2的焦点是否在直线ab上;

　　（ⅱ）若p=，且抛物线c2的焦点在直线ab上，求m的值及直线ab的方程.

　　解：

（ⅰ）当abx轴时，点a、b关于x轴对称，所以m=0，直线ab的方程为x=1，从而点a的坐标为（1，）或（1，-）.

　　此时c2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线ab上.

　　（ⅱ）当c2的焦点在ab上时，由（ⅰ）知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为y=k（x-1）.

　　因为c2的焦点f（，m）在y=k（x-1）上.

　　所以k2x2-（k2+2）x+=0②

　　设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=

　　（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0③

　　由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1+x2=

　　又m=-m=或m=-

　　当m=时，直线ab的方程为y=-（x-1）;

　　当m=-时，直线ab的方程为y=（x-1）.

　　例8、已知椭圆c：

（a0，b0）的左、右焦点分别是f1、f2，离心率为e.直线l：

y=ex+a与x轴，y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设=.

　　（ⅰ）证明：

（ⅱ）若，△mf1f2的周长为6，写出椭圆c的方程;

　　（ⅲ）确定解：

（ⅰ）因为a、b分别为直线l：

y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以a、b的坐标分别是a（-，0），b（0，a）.

　　（ⅱ）当时，a=2c

　　由△mf1f2的周长为6，得2a+2c=6

　　a=2，c=1，b2=a2-c2=3

　　故所求椭圆c的方程为

　　（ⅲ）∵pf1lpf1f2=90baf1为钝角，要使△pf1f2为等腰三角形，必有|pf1|=|f1f2|，即|pf1|=c.

　　设点f1到l的距离为d，由

　　即当（注：

也可设p（x0，y0），解出x0，y0求之）

　　【模拟试题】

　　一、选择题

　　1、动点m到定点和的距离的和为8，则动点m的轨迹为

　　a、椭圆b、线段c、无图形d、两条射线

　　2、设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若△f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

　　a、c、2--1

　　3、（2004年高考湖南卷）f1、f2是椭圆c：

的焦点，在c上满足pf1pf2的点p的个数为

　　a、2个b、4个c、无数个d、不确定

　　4、椭圆的左、右焦点为f1、f2，一直线过f1交椭圆于a、b两点，则△abf2的周长为

　　a、32b、16c、8d、4

　　5、已知点p在椭圆（x-2）2+2y2=1上，则的最小值为

　　6、我们把离心率等于黄金比是优美椭圆，f、a分别是它的左焦点和右顶点，b是它的短轴的一个端点，则等于

　　a、c、

　　二、填空题

　　7、椭圆的顶点坐标为和，焦点坐标为，焦距为，长轴长为，短轴长为，离心率为，准线方程为.

　　8、设f是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点pi（i=1，2，），使得|fp1|、|fp2|、|fp3|组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是.

　　9、设，是椭圆的两个焦点，p是椭圆上一点，且，则得.

　　10、若椭圆=1的准线平行于x轴则m的取值范围是

　　三、解答题

　　11、根据下列条件求椭圆的标准方程

（1）和椭圆共准线，且离心率为.

（2）已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为和，过p作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.

　　12、已知轴上的一定点a（1，0），q为椭圆上的动点，求aq中点m的轨迹方程

　　13、椭圆的焦点为=（3，-1）共线.

（1）求椭圆的离心率;

（2）设m是椭圆上任意一点，且=、r），证明为定值.

　　【试题答案】

　　1、b

　　2、d

　　3、a

　　4、b

　　5、d（法一：

设，则y=kx代入椭圆方程中得：

（1+2k2）x2-4x+3=0，由△0得：

.法二：

用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解）

　　6、c

　　7、（;（0，）;6;10;8;;.

　　10、m且m0.

　　11、

（1）设椭圆方程.

　　所求椭圆方程为的坐标为

　　13、解：

设p点横坐标为x0，则为钝角.当且仅当.

　　14、

（1）解：

设椭圆方程，f（c，0），则直线ab的方程为y=x-c，代入，化简得：

　　由=（x1+x2，y1+y2），共线，得：

3（y1+y2）+（x1+x2）=0，

　　又y1=x1-c，y2=x2-c

　　3（x1+x2-2c）+（x1+x2）=0，x1+x2=

（2）证明：

由

（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2

　　∵m2+3