等腰三角形中的动点问题讲义.docx

1、等腰三角形中的动点问题讲义等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形3. 分类讨论的类型：定义法则如绝对值，平方，完全平方式等关键词不明确如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等位置不确定如线段端点的位置，角的位置，高等对应关系不确定如两部分的差，全等三角形对应关系等4. 分类讨论题目解题要点：辨识类型；画出各种类型的图形并求解；根据标准进行取舍 标准包括限制条件，实际意义等二、精讲精练

2、1. 已知：如图，D，E分别是AB，AC的中点，CDAB于D，BEAC于E，CD，BE交于点O求证：AB=AC2. 已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD交BD的延长线于E，若CE=5cm，求BD的长3. 如图，在ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分ACB，交AB于F，AF=BF求证：BC=CD4. 如图，在ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EFBC交AC于点F求证：EC平分DEF5. （1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_（2）若x2-4xy+n

3、y2是完全平方式，则n=_（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_6. 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为_7. 已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=_8. 在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为_9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25，则顶角的度数为_10. 若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为_11. 已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为_12. 已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30，请在直

4、线l上另找一点C，使ABC是等腰三角形这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数13. 如图，在RtABC中，ACB=90，ABC=60，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P三、回顾与思考_【参考答案】1. 证明略（提示：连接BC，证明AC=BC，AB=BC）2. 10cm（提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）3. 证明略（提示：延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明AFCBEF，再证明BE=BC）4. 证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明ADEC，再证明ED=CD，利用平行导角）5. （1）-11，13 （2）4 （3

5、）1，-36. 120或207. 28. 1cm或5cm9. 65或11510. 8cm11. 8cm或cm12. 作图略13. 作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x2-(a+1)xy+4y2是完全平方式，则a=_2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则这个等腰三角形顶角的度数为_3. 如图，在ABC中，D，E为BC上的点，AC=CD，CFAD交AD于G，交AB于F，AD平分BAE求证：DFAE【参考答案】13或-5 250或1303证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG=DG，得到AF=FD，证得FAD=FDA，由角平分线可得FDA=EAD，所以DFAE）等腰

6、三角形性质及分类讨论（作业）14. 已知：如图，在ABC中，AD平分BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF求证：DE=DF15. 已知：如图，在等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DMBC，垂足为M求证：BM=ME16. 如图，在ABC中，D为BC上一点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，DE平分ADB，AF=FC，连接AD求证：BD=CD17. 若4x2-axy+16y2是完全平方式，则a=_18. 在直线l上任取一点A，截取AB=8cm，点C为AB中点，截取CD=5cm，则线段AD的长为_19. 若等腰三角形的一个角比另一个角大30，

7、则此等腰三角形顶角的度数为_20. 已知一等腰三角形的三边分别是5x-3，3x+3，27，则x=_21. 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30，则顶角的度数为_22. 已知等腰三角形的周长为24cm，两边的差为3cm，则底边长为_23. 在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l上找出所有符合条件的点C【参考答案】1. 证明略（提示：延长AD到H，使DH=AD，连接BH，证明BHDCAD，导出AB=AC，再证明BEDCFD）2. 证明略（提示：连接BD，利用“三线合一”证明DBE=E=30）3. 证明略（提

8、示：证明AD=DC，AD=BD）4. 165. 1cm或9cm6. 80或407. 6或88. 60或1209. 10cm或6cm10. 点C有5个，作图略特殊三角形（讲义）一、知识点睛1等边三角形定义： 的三角形是等边三角形判定： 的等腰三角形是等边三角形 的三角形是等边三角形性质：等边三角形 、 2等腰直角三角形定义：有一个角是 的等腰三角形是等腰直角三角形判定： 的三角形是等腰直角三角形性质：等腰直角三角形 ， 3直角三角形性质： 二、精讲精练1. 如图，以BC为边在正方形ABCD内部作等边PBC，连接AP，DP，则APD=_ 第1题图 第2题图2. 如图，点C为线段AB上一点，MAC和

9、NBC均是等边三角形，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F，交AN于点G，连接EF有如下结论：AN=BM；CE=CF；EFAB；NGF=60其中，正确结论有_3. 如图，在ABC中，AB=AC，D，E是ABC内两点，AD平分BAC，EBC=E=60，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_4. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，BCD=120求证：BC+DC=AC5. 已知：在ABC中，A=90，AB=AC，D为BC的中点（1）如图，E，F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF求证：DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明

10、你的结论；（3）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论6. 现有两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由7. 如图，在锐角ABC中，BAC=60，BN，CM为高，P为BC的中点，连接MN，MP，NP，则以下结论中：NP=MP；当ABC=60时，MNBC；BN=2AN；AN:AB=AM:AC正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个三、回顾与思考_【参考答案】一、精讲精练1三边都相等；有一个角是

11、60；有两个角是60；三边都相等，三个内角都是602直角；有两个角是45；两直角边相等，两底角都是45330角所对的直角边是斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、精讲精练1 1502 3 8cm4 证明：如图，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，BDBCD=1201=60DCE为等边三角形DC=DE，2=60AB=AD，BAD=60 ABD为等边三角形 AD=BD，3=60 2=3ADC=BDE在ADC和BDE中ADCBDE（SAS）AC=BEBE=BC+CE =BC+DCBC+DC=AC5 （1）略；（2）四边形AEDF的面积保持不变，S=（3）ABC仍为等腰直角三角形6 EM

12、C是等腰直角三角形7 C特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边ABE，则BED的度数为_ 第1题图 第2题图2. 如图，ABD，ACE都是等边三角形，BE和CD交于点O，连接BC，则BOC=_3. 已知：如图，在四边形ABCD中，B=D=60，AB=BC，AD=DC，点E在边BC上，点F在边CD上若EAF=60，求证：AEF是等边三角形4. 已知：如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，CDAB于点D，点E为AC中点，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F求证：EF=EG5. 已知：如图，在ABC中，BAC90，BD，CE分别为AC，AB边上的高，F为BC的

13、中点连接DE，DF，EF求证：FED=FDE6. 纳米技术（nanotechnology）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（ ）米（保留两个有效数字）A3.910-1 B3.910-10C4.010-10 D4.010-17. 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BCCDDA运动至点A停止设点P运动的时间为x，ABP的面积为y，若y与x的关系图象如图2所示，则m的值是（ ）A2.5 B4.5 C5 D78. 在ABC中，AB=6，

14、AC=4，则中线AD的取值范围是_【参考答案】145 21203证明：如图，连接AC B=D=60，AB=BC,AD=DC ABC和ACD是等边三角形 ACE=CAD=60AC=AD EAF=60 CAD-CAF=EAF-CAF EAC=FAD 在EAC和FAD中第3题图 EACFAD（ASA） AE=AF AEF是等边三角形4证明：连接DE AC=BC，ACB=90第4题图A=45CDABADC=90，AD=ABCD=ABAD=CDE为AC中点DE=AC=AE ，DEAC，1=45AED=90，A=12+DEF=90EFBE3+DEF=902=3 在AEF和DEG中 AEFDEG（ASA）E

15、G=EF5证明：BD，CE分别为AC，AB边上的高 BDC=CEB=90 F是BC的中点 EF=BC，DF=BCFED=FDE6C7B8 特殊三角形随堂测试题 姓名_1. 已知：如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC边上的一点，ECBC，EC=BD，连接AD，AE，DE点F为DE中点，连接AF，CF求证：（1）AD=AE；（2）AF=CF【参考答案】略轴对称的实际应用（讲义）一、知识点睛1折叠问题：（1）性质：折叠是_变换，_为对称轴，折叠前后的图形_，对应边相等，对应角相等（2）思考步骤：找折痕；转移对应边，对应角；与背景条件结合2轴对称最值问题：（1）特征：有定点，有动点，动

16、点在_上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，_，利用两点之间线段最短进行处理例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小二、精讲精练1. 如图，把一张长方形的纸片ABCD，沿EF折叠后，点D，C分别落在M，N的位置上，EM与BC相交于点G，若EFG=55，则1的度数是_ 第1题图 第2题图2. 有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的=_3. 如图a是长方形纸带，DEF=25，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是_4. 如图所示，一个边长是1cm的正

17、方形，沿一条直线折叠，阴影部分的周长是_ 第4题图 第5题图5. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则AHB的度数是_6. 如图将长方形ABCD沿AC折叠，使点B落在点E处，若长方形ABCD的周长为46cm，则AEF的周长为_ 7. 已知：如图，点P，Q分别是ABC的边AB，AC上的两个定点，在BC上求作一点R，使PQR的周长最短 8. 已知：如图，ABC=30，P为ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边BA，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得PMN的周长最小，并求出PMN周长的最小值 9. 如图，在

18、四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90，在BC，CD上分别找一点M，N当AMN周长最小时，AMN+ANM的度数为_10. 已知：如图，点P，Q为AOB内部两点，点M，N分别为OA，OB上的两个动点，作四边形PMNQ，请作图说明当点M，N在何处时四边形PMNQ的周长最小三、回顾与思考_【参考答案】一、知识点睛1（1）轴对称，折痕所在直线，全等2（1）定直线 （2）将折线转直二、精讲精练1110 275 3105 44cm575 623cm7如图所示，以BC为对称轴作点P的对称点P，连接QP交BC于点R，则点R即为所求8作图略，PMN周长的最小值为4912010如图所示：点M，N即为所求轴

19、对称的实际应用（随堂测试）1. 点D，E分别在等边ABC的边AB，BC上，将BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G若BDE=50，则CGE=_2. 如图，AOB=60，点P为AOB内部任意一点，OP=5cm，点E，F分别是AOB两边OA，OB上的动点，请画图求解，当PEF的周长最小时，点O到EF的距离是_【参考答案】18022.5cm轴对称的实际应用（作业）1. 如图，在RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB=_ 第1题图 第2题图2. 已知：如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，EF为

20、折痕若折叠后BCE=30，BE=2，则矩形纸片的长AB=_，CEF的周长为_3. 如图，一牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC=BD，已知A到河岸CD的中点的距离为500米牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程4. 如图，AOB=60，点P在AOB的角平分线上，OP=10cm，点E，F分别是AOB两边OA，OB上的动点，当PEF的周长最小时，点P到EF的距离是_5. 如图，在ABC中，AD为BAC的角平分线，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，过点C作CFAD于点H，交AB于点F下列说法中正确的有_AG是ABE的角平分线；BE是ABD的中线；CH为ACD边AD上的高；AH是ACF边CF上的高；AD是ACF的角平分线6. 已知2x3+x=2，求2x6+3x4+x2-x+9的值【参考答案】110 26；12 3最短路程为1000米45cm 5 611