等腰三角形中的动点问题讲义.docx
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等腰三角形中的动点问题讲义
等腰三角形性质及分类讨论（讲义）
一、知识点睛
1.在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．
2.在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．
3.分类讨论的类型：
①定义法则．
如绝对值，平方，完全平方式等．
②关键词不明确．
如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等．
③位置不确定．
如线段端点的位置，角的位置，高等．
④对应关系不确定．
如两部分的差，全等三角形对应关系等．
4.分类讨论题目解题要点：
①辨识类型；
②画出各种类型的图形并求解；
③根据标准进行取舍．
标准包括限制条件，实际意义等．
二、精讲精练
1.已知：
如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE交于点O．求证：
AB=AC．
2.已知：
如图，在△ABC中，∠A=90º，AB=AC，BD平分
∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，若CE=5cm，求BD的长．
3.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：
BC=CD．
4.如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F．
求证：
EC平分∠DEF．
5.
（1）若4x2-（m-1）xy+9y2是完全平方式，则m=_________．
（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．
（3）若9x2-12xy+（m+1）2y2是完全平方式，则m=_________．
6.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．
7.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．
8.在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，
则线段BC的长为______________．
9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．
10.若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．
11.已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．
12.已知：
如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30º，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？
求出每个等腰三角形顶角的度数．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P．
三、回顾与思考
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
1.证明略（提示：
连接BC，证明AC=BC，AB=BC）
2.10cm（提示：
延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）
3.证明略（提示：
延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明
△AFC≌△BEF，再证明BE=BC）
4.证明略（提示：
利用等腰三角形“三线合一”，证明
AD⊥EC，再证明ED=CD，利用平行导角）
5.
（1）-11，13
（2）4（3）1，-3
6.120°或20°
7.2
8.1cm或5cm
9.65°或115°
10.8cm
11.8cm或
cm
12.作图略
13.作图略
等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）
1.若x2-（a+1）xy+4y2是完全平方式，则a=_________．
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．
3.如图，在△ABC中，D，E为BC上的点，AC=CD，CF⊥AD
交AD于G，交AB于F，AD平分∠BAE．
求证：
DF∥AE．
【参考答案】
1．3或-52．50°或130°
3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG=DG，得到AF=FD，证得∠FAD=∠FDA，由角平分线可得∠FDA=∠EAD，所以DF∥AE）
等腰三角形性质及分类讨论（作业）
14.
已知：
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF．
求证：
DE=DF．
15.
已知：
如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．
求证：
BM=ME．
16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE平分∠ADB，AF=FC，连接AD．
求证：
BD=CD．
17.若4x2-axy+16y2是完全平方式，则a=_________．
18.在直线l上任取一点A，截取AB=8cm，点C为AB中点，截取CD=5cm，则线段AD的长为______________．
19.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为______________．
20.已知一等腰三角形的三边分别是5x-3，3x+3，27，则x=__________．
21.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________．
22.已知等腰三角形的周长为24cm，两边的差为3cm，则底边长为__________．
23.在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？
请你在直线l上找出所有符合条件的点C．
【参考答案】
1.证明略（提示：
延长AD到H，使DH=AD，连接BH，证明
△BHD≌△CAD，导出AB=AC，再证明△BED≌△CFD）
2.证明略（提示：
连接BD，利用“三线合一”
证明∠DBE=∠E=30°）
3.证明略（提示：
证明AD=DC，AD=BD）
4.±16
5.1cm或9cm
6.80°或40°
7.6或8
8.60°或120°
9.10cm或6cm
10.点C有5个，作图略
特殊三角形（讲义）
一、知识点睛
1．等边三角形
①定义：
的三角形是等边三角形．
②判定：
的等腰三角形是等边三角形．
的三角形是等边三角形．
③性质：
等边三角形、．
2．等腰直角三角形
①定义：
有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形．
②判定：
的三角形是等腰直角三角形．
③性质：
等腰直角三角形，．
3．直角三角形
性质：
．
．
二、精讲精练
1.如图，以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC，连接AP，DP，则∠APD=_____________．
第1题图第2题图
2.如图，点C为线段AB上一点，△MAC和△NBC均是等边三角形，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F，交AN于点G，连接EF．有如下结论：
①AN=BM；②CE=CF；
③EF∥AB；④∠NGF=60°．其中，正确结论有__________．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=________．
4.已知：
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，
∠BCD=120°．求证：
BC+DC=AC．
5.已知：
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF．
求证：
△DEF为等腰直角三角形；
（2）在
（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；
（3）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？
证明你的结论．
6.现有两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
7.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN，CM为高，P为BC的中点，连接MN，MP，NP，则以下结论中：
①NP=MP；②当∠ABC=60°时，MN∥BC；③BN=2AN；
④AN:
AB=AM:
AC．正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、回顾与思考
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
一、精讲精练
1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；
③三边都相等，三个内角都是60°．
2．①直角；②有两个角是45°；
③两直角边相等，两底角都是45°．
3．30°角所对的直角边是斜边的一半．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
二、精讲精练
1．150°
2．①②③④
3．8cm
4．证明：
如图，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，BD．
∵∠BCD=120°
∴∠1=60°
∴△DCE为等边三角形
∴DC=DE，∠2=60°
∵AB=AD，∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形
∴AD=BD，∠3=60°
∴∠2=∠3
∴∠ADC=∠BDE
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（SAS）
∴AC=BE
∵BE=BC+CE
=BC+DC
∴BC+DC=AC
5．
（1）略；
（2）四边形AEDF的面积保持不变，S=
（3）△ABC仍为等腰直角三角形
6．△EMC是等腰直角三角形
7．C
特殊三角形（作业）
1.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为________．
第1题图第2题图
2.如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，BE和CD交于点O，连接BC，则∠BOC=__________．
3.已知：
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=DC，点E在边BC上，点F在边CD上．若∠EAF=60°，求证：
△AEF是等边三角形．
4.已知：
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E为AC中点，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．求证：
EF=EG．
5.已知：
如图，在△ABC中，∠BAC>90°，BD，CE分别为AC，AB边上的高，F为BC的中点．连接DE，DF，EF．求证：
∠FED=∠FDE．
6.纳米技术（nanotechnology）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（）米．（保留两个有效数字）
A．3.9×10-1B．3.9×10-10
C．4.0×10-10D．4.0×10-1
7.如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA运动至点A停止．设点P运动的时间为x，△ABP的面积为y，若y与x的关系图象如图2所示，则m的值是（）
A．2.5B．4.5C．5D．7
8.在△ABC中，AB=6，AC=4，则中线AD的取值范围是______．
【参考答案】
1．45°2．120°
3．证明：
如图，连接AC
∵∠B=∠D=60°，AB=BC,AD=DC
∴△ABC和△ACD是等边三角形
∴∠ACE=∠CAD=60°AC=AD
∵∠EAF=60°
∴∠CAD-∠CAF=∠EAF-∠CAF
∴∠EAC=∠FAD
在△EAC和△FAD中
第3题图
∴△EAC≌△FAD（ASA）
∴AE=AF
∴△AEF是等边三角形
4．证明：
连接DE
∵AC=BC，∠ACB=90°
第4题图
∴∠A=45°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°，AD=
AB
∴CD=
AB
∴AD=CD
∵E为AC中点
∴DE=
AC=AE，DE⊥AC，∠1=45°
∴∠AED=90°，∠A=∠1
∴∠2+∠DEF=90°
∵EF⊥BE
∴∠3+∠DEF=90°
∴∠2=∠3
在△AEF和△DEG中
∴△AEF≌△DEG（ASA）
∴EG=EF
5．证明：
∵BD，CE分别为AC，AB边上的高
∴∠BDC=∠CEB=90°
∵F是BC的中点
∴EF=
BC，DF=
BC
∴∠FED=∠FDE
6．C
7．B
8．
特殊三角形随堂测试题姓名________
1.已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上的一点，EC⊥BC，EC=BD，连接AD，AE，DE．点F为DE中点，连接AF，CF．
求证：
（1）AD=AE；
（2）AF=CF．
【参考答案】
略
轴对称的实际应用（讲义）
一、知识点睛
1．折叠问题：
（1）性质：
折叠是________变换，_________________为对称轴，折叠前后的图形___________，对应边相等，对应角相等．
（2）思考步骤：
①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合．
2．轴对称最值问题：
（1）特征：
有定点，有动点，动点在___________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．
（2）解决方法：
以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．
例题：
在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．
二、精讲精练
1.如图，把一张长方形的纸片ABCD，沿EF折叠后，点D，C分别落在M，N的位置上，EM与BC相交于点G，若
∠EFG=55°，则∠1的度数是_______________．
第1题图第2题图
2.有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α=________．
3.如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是________．
4.如图所示，一个边长是1cm的正方形，沿一条直线折叠，阴影部分的周长是_________．
第4题图第5题图
5.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则
∠AHB的度数是__________．
6.如图将长方形ABCD沿AC折叠，使点B落在点E处，若长方形ABCD的周长为46cm，则△AEF的周长为__________．
7.已知：
如图，点P，Q分别是△ABC的边AB，AC上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最短．
8.已知：
如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边BA，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．
9.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，
∠AMN+∠ANM的度数为_________．
10.已知：
如图，点P，Q为∠AOB内部两点，点M，N分别为OA，OB上的两个动点，作四边形PMNQ，请作图说明当点M，N在何处时四边形PMNQ的周长最小．
三、回顾与思考
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
一、知识点睛
1．
（1）轴对称，折痕所在直线，全等
2．
（1）定直线
（2）将折线转直
二、精讲精练
1．110°2．75°3．105°4．4cm
5．75°6．23cm
7．如图所示，以BC为对称轴作点P的对称点P′，连接QP′交BC于点R，则点R即为所求．
8．作图略，△PMN周长的最小值为4
9．120°
10．如图所示：
点M，N即为所求
轴对称的实际应用（随堂测试）
1.点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G．若∠BDE=50°，则∠CGE=________．
2.如图，∠AOB=60°，点P为∠AOB内部任意一点，OP=5cm，点E，F分别是∠AOB两边OA，OB上的动点，请画图求解，当△PEF的周长最小时，点O到EF的距离是_____．
【参考答案】
1．80°
2．2.5cm
轴对称的实际应用（作业）
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=_______．
第1题图第2题图
2.已知：
如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，EF为折痕．若折叠后∠BCE=30°，BE=2，则矩形纸片的长AB=________，△CEF的周长为_______________．
3.如图，一牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC=BD，已知A到河岸CD的中点的距离为500米．牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．
4.如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的角平分线上，OP=10cm，点E，F分别是∠AOB两边OA，OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF的距离是_____．
5.
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，过点C作CF⊥AD于点H，交AB于点F．下列说法中正确的有_______．
①AG是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的中线；
③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF边CF上的高；⑤AD是△ACF的角平分线．
6.已知2x3+x=2，求2x6+3x4+x2-x+9的值．
【参考答案】
1．10°2．6；123．最短路程为1000米
4．5cm5．①③④6．11
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