平面几何中的向量方法.ppt

1、平面向量应用举例,用向量的方法研究平面几何,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,引入,问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,猜想：,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.类比猜想，平行四边

2、形有相似关系吗？,例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。求证：,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设,其它线段对应向量用它们表示。,例题,解:设，则,例题,变式1、证明平行四边形两对角线互相平分,例题,M,用向量法解平面几何问题的基本思路,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形,想一想,猜想：AR=RT=TC,解：设

3、 则,由于 与 共线，故设,又因为 共线，所以设,因为 所以,线，,故 AT=RT=TC,证明直径所对的圆周角是直角,解：设 则，由此可得：,即，ACB=90,练习,向量在物理中的应用,你能从数学的角度解释这种现象吗？,（1）为何值时，|F1|最小，最小值是多少？,（2）|F1|能等于|G|吗？为什么？,思考与探究：,例2,思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它要横渡30m的河流,已知水流的速度是4km/h,思考:1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正对岸吗?,思考题,分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图,（1）行驶航程最短,是否就是航程时间最短呢?,思考与探究：,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,小结,物理问题(实际问题）,向量问题(数学模型),数学问题的解决,解释和验证相关物理现象,小结,