平面几何中的向量方法.ppt

平面几何中的向量方法.ppt

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平面向量应用举例,用向量的方法研究平面几何,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。

当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。

引入,问题：

平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。

如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

猜想：

1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？

2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？

例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：

平行四边形ABCD。

求证：

分析：

因为平行四边形对边平行且相等，故设,其它线段对应向量用它们表示。

例题,解:

设，则,例题,变式1、证明平行四边形两对角线互相平分,例题,M,用向量法解平面几何问题的基本思路,

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

简述：

形到向量向量的运算向量和数到形,想一想,猜想：

AR=RT=TC,解：

设则,由于与共线，故设,又因为共线，所以设,因为所以,线，,故AT=RT=TC,证明直径所对的圆周角是直角,解：

设则，由此可得：

即，ACB=90,练习,向量在物理中的应用,你能从数学的角度解释这种现象吗？

（1）为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

（2）|F1|能等于|G|吗？

为什么？

思考与探究：

例2,思考题:

已知船在静水中的速度是3km/h,它要横渡30m的河流,已知水流的速度是4km/h,思考:

1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正对岸吗?

思考题,分析：

如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸，如图,

（1）行驶航程最短,是否就是航程时间最短呢?

思考与探究：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

小结,物理问题（实际问题）,向量问题（数学模型）,数学问题的解决,解释和验证相关物理现象,小结,