金融数学课后习题答案.docx

1、金融数学课后习题答案第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)A(0)=t2 + 2t + 33In = A(n) A(n 1)= (n2 + 2n + 3) (n 1)2 + 2(n 1) + 3)= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t n) 时刻的利息: (1)Ir(0 r n); (2)Ir = 2r(0 r B(t) 2t1 + t2 21 + t t 121已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底

2、的5000元在当前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。解： d(4) = 8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。全部采用复利：(1 d)3 = 1 8%2第7 页PV = 5000(1 d)25 = 4225.25前两年用复利：1 3d0 = 1 8%2PV = 5000(1 d)24(1 d0) = 4225.4622为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%，计算第3年初投入的金额。(原来的答案有误)解： i(4) = 6% ，则i = (1 + 6%4 )4

3、 1 = 6.14%设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程2000(1 + i)2 + 2000(1 + i) + X = 2000v2 + 5000v8解得X = 504.67 元23在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1第5年底支付200元，第10年底支付500元；2第5年底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。试计算P。解： 对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：200 + 500v5 = 400.94解得v5 = 0.40188所以P = 100(1 + i)10 + 120(1 +

4、i)5 = 917.76224经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？解：1000(1 + 6%)t = 2 1000(1 + 4%)t解得： t = 36 年25已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计算n。第8 页解： 列价值方程为100vn + 100v2n = 100解得n = 6.2526基金A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力t = t6累积，初始时刻两基金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。解： t = 16 t，得基金B的积累函数为aB(t) = exp( t0sds) = exp(t212)欲使aA(

5、t) = aB(t) 则(1 +112i(12)12t = exp(t212)解得t = 1.427.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。解： 1000(1 + i)15 = 3000则i(2) = (1 + i)12 1) 2 = 7.46%28已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在第2年底的终值为700元。计算实利率。解： 列价值方程为300(1 + i)2 + 200(1 + i) + 100 = 700解得i = 11.96%29已知货币的价值以利息力t = kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。(原来的答案有误)解： t

6、 = kt 则积累函数为a(t) = exp t0ksds = exp(k2t2)由a(10) = 2 得e50k = 2解得k = 0.0139第9 页30已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的一个货币单位的资本以实贴现率i 贴现的的现值之和为2.0096，计算i。解：(1 + i)3 + (1 i)3 = 2.0096解得i = 0.0431. 现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收入j + j2

7、,故差为j2,即第一期利息产生的利息。32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：A）现在付款15元，6个月后付款13.65元B现在一次性付款28元。如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题中的16元改成13.65元，这样结果更加符合实际)解： 设半年实利率为i0，则有：15(1 + i0) + 13.65 = 28(1 + i0)解得: i0= 0.05 故：i = (1 + i0)2 1 = 0.102533.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦（正常还款后）甲因急需资

8、金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。如果甲乙合约的年利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。解： 价值方程：正常: 1000 = 100(1 + j)1 + 100(1 + j)2 + 1000(1 + j)3转让: 960 = 100(1 + k)1 + 1000(1 + k)2解得：j = 6.98%, k = 7.4%从而:j k34.如果常数利息力增加一倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。第10 页解： 和等价的年利率i = e 1,年利率变化：e2 ee 1= e和等价的年贴现率1 e = d, 年贴现率变化：e e21 e = e35证明：limd!0 d2 = li

9、mi!0i 2 =12证：limd!0 d2 = lim!0 1 + e2 = lim!01 e2= lim!0e2=12limi!0i 2 = lim!0e 12 = lim!0e 12= lim!0e2=1236.某厂家对零售商提供两种折扣：付现款可低于零售价格30；6个月后付款，可低于零售价格25。如果两种方式等价，计算对应的年利率。解: 设货款为S,半年实利率为i0,则有：0.7S(1 + i0) = 0.75S解得：1 + i0= 1.0714故i = (1 + i0)2 1 = 14.80%37令0 t 1 + (1 t)i (1 + i)t 1 + it故X1 X2 0，证明：1

10、) f(m) = (1 + jm)m是m的递增函数;2) g(m) = m(1 + j)1m 1是m的递减函数。解： 1) f0(m) = 1m(1 + jm)mln(1 + jm), j 0,m 0, f0(m) 02) 令y = ln(1 + j)/m,则原式化为：ey 1yln(1 + j) (j 0)由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。42.面额100元的26周国债名收益率11.07。证明：售价在94.767到94.771之间时，均可保持这个收益率。(题意不理解，暂无修改意见)第12 页第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年

11、底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解： S = 1000s20p7% + Xs10p7% X =50000 1000s20p7% s10p7% = 651.722价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a48p1.5% 解得X = 1489.363设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1n。试计算该年金的现值。解：PV = nanpi = n1 vn1n=(n + 1)nn2 nn+2(n + 1)n4已知：

12、anp = X，a2np = Y。试用X和Y表示d 。解： a2np = anp + anp (1 d)n 则d = 1 (Y XX)1n5已知：a7p = 5.58238, a11p = 7.88687, a18p = 10.82760。计算i。解：a18p = a7p + a11p v7解得i = 6.0%6.证明： 11v10 = s10p +a1ps10p 。第1 页证明：s10p + aps10p =(1+i)101i + 1i(1+i)101i=11 v107已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV = 100a

13、8p3% + 100a20p3% = 2189.7168某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日1000s25p8% = Xa15p7% 解得X = 8101.659已知贴现率为10%，计算a8p 。解： d = 10%，则i = 11d 1 = 19a8p = (1 + i)1 v8i= 5.695310.求证：(1) anp = anp + 1 vn；(2) snp = snp 1 + (1 +

14、 i)n并给出两等式的实际解释。证明： (1)anp = 1vnd = 1vni1+i= 1vni + 1 vn所以anp = anp + 1 vn(2)snp = (1+i)n1d = (1+i)n1i1+i= (1+i)n1i + (1 + i)n 1所以anp = snp 1 + (1 + i)n第2 页12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV = 100a49p1.5% 100a2p1.5% = 3256.88AV = 100s49p1.5%

15、 100s2p1.5% = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为Y ，在第1120年中没有。已知：v10 = 12，计算Y 。解： 因两种年金价值相等，则有a30pi + a10pi v10 = Y a30pi Y a10pi v10所以Y = 3v102v301+v102v30 = 1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。解： 由题意知，2a2npi + 3anpi = 362anpi vn = 6解得i = 8.33%15.已知a7pa11p =a3p + sXpaYp + sZp。求X，Y和Z。