解:
（1）
I=A（n）−A（t）
=In+In¡1+・・・+It+1
=
n（n+1）
2
−t（t+1）
2
（2）
I=A（n）−A（t）
=
Σn
k=t+1
Ik=
Σn
k=t+1
Ik
=2n+1−2t+1
3.已知累积函数的形式为:
a（t）=at2+b。
若0时刻投入的100元累积到3时刻
为172元，试计算：
5时刻投入的100元在10时刻的终值。
第1页
解:
由题意得
a（0）=1,a（3）=
A（3）
A（0）
=1.72
⇒a=0.08,b=1
∴A（5）=100
A（10）=A（0）・a（10）=A（5）・a（10）
a（5）
=100×3=300.
4.分别对以下两种总量函数计算i5和i10:
（1）A（t）=100+5t;
（2）A（t）=100（1+0.1）t.
解：
（1）
i5=
A（5）−A（4）
A（4）
=
5
120
≈4.17%
i10=
A（10）−A（9）
A（9）
=
5
145
≈3.45%
（2）
i5=
A（5）−A（4）
A（4）
=
100（1+0.1）5−100（1+0.1）4
100（1+0.1）4
=10%
i10=
A（10）−A（9）
A（9）
=
100（1+0.1）10−100（1+0.1）9
100（1+0.1）9
=10%
第2页
5.设A（4）=1000,in=0.01n.试计算A（7）。
解:
A（7）=A（4）（1+i5）（1+i6）（1+i7）
=1000×1.05×1.06×1.07
=1190.91
6.试计算500元经过两年半的累积达到615元的对应年单利率？
另外，500元以
单利率7.8%累积多少时间可以达到630元？
解:
设年单利率为i
500（1+2.5i）=615
解得i=9.2%
设500元需要累积t年
500（1+t×7.8%）=630
解得t=3年4个月
7.已知单利率为4%，问：
经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5%？
解:
设经过t年后，年利率达到2.5%
1+4%×t=（1+2.5%）t
t≈36.367
8.已知：
（1+i）5=X,（1+i）2=Y.求（1+i）11.
解:
（1+i）11=（1+i）5+2£3=XY3
9.已知600元投资两年将产生利息264元（复利方式），问：
2000元以同样的实
利率投资3年的终值。
第3页
解:
设实利率为i
600[（1+i）2−1]=264
解得i=20%
∴A（3）=2000（1+i）3=3456元
10.已知：
第n年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一
个货币单位。
计算（1+i）2n.
解:
设实利率为i
1
（1+i）n+
1
（1+i）2n=1
解得（1+i）¡n=
√
5−1
2
所以（1+i）2n=（
√
5−1
2
）¡2
=
3+
√
5
2
11.已知：
500元经过30年的投资将增为4000元，计算：
分别在第20、40和60年底
投资10,000元的现值之和。
解:
由500×（1+i）30=4000⇒（1+i）30=8
于是PV=
10000
（1+i）20+
10000
（1+i）40+
10000
（1+i）60
=1000×（8¡2
3+8¡4
3+8¡2）
=3281.25
12.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b年增为3元，3元经过c年增
为15元。
若已知6元经过n年增为10元。
试用a,b和c表示n。
第4页
解:
（1+i）a=2
（1）
（1+i）b=
3
2
（2）
（1+i）c=5（3）
（1+i）n=
5
3
（4）
（4）⇒n・ln（1+i）=ln5−ln3
（3）⇒ln5=c×ln（1+i）
（1）×
（2）⇒ln3=（a+b）・ln（1+i）
故n=c−（a+b）
13.已知资本A在一年内产生的利息量为336，产生的贴现量为300。
计算A。
解:
A・i=336
A・d=300
i−d=i・d
⇒A=2800
14.分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算d5。
解:
（1）
d5=
a（5）−a（4）
a（5）
=
10%
1+5×10%
=6.67%
第5页
（2）
a¡1（t）=1−0.1t
⇒a（t）=
1
1−0.1t
⇒d5=
a（5）−a（4）
a（5）
=
1
0.5
−1
0.6
1
0.5
=16.67%
15.试用i（3）表示d（4），用d（12）表示i（6）。
解:
由（1+
i（3）
3
）3=（1−d（4）
4
）（¡4）
⇒d（4）=4・[1−（1+
i（3）
3
）¡3
4]
由（1+
i（6）
6
）6=（1−d（12）
12
）（¡12）
⇒i（6）=6・[（1−d（12）
12
）¡2−1]
16.在以下两种情况下计算100元在两年底的终值：
季结算名利率6%；每四年结
算一次的名贴现率为6%。
解:
（1）终值为100×（1+i（4）
4）4£2=112.65元
（2）终值为100×[（1−4d（1
4））
1
4]¡2=114.71元
17.已知:
i（m）=0.1844144和d（m）=0.1802608。
计算m。
解:
利用1
d（m）
−1
i（m）=1
m
⇒m=8
18.基金A以单利率10%累积，基金B以单贴现率5%累积。
计算两个基金的利息
力相等的时刻。
第6页
解:
aA（t）=1+0.1t⇒δA（t）=
a0
A（t）
aA（t）
=
0.1
1+0.1t
a¡1
A（t）=1−0.05t⇒δB（t）=−（a¡1
B（t））0
a¡1
B（t）
=
0.05
1−0.05t
由δA（t）=δB（t）得
t=5
19.一年期投资的累积函数为二次多项式，前半年的半年名利率为5%，全年的实
利率为7%，计算δ0.5。
解:
依题意，累积函数为a（t）=at2+bt+1
a（0.5）=0.25a+0.5b+1=1.025
a
（1）=a+b+1=1.07
⇒
a=0.04
b=0.03
于是
δ0.5=
a0（0.5）
a（0.5）
=0.068
20.已知：
帐户A的累积函数为:
1+t2,帐户B的累积函数为:
1+2t+t2。
计算帐
户A的利息力超过帐户B的利息力的时刻。
解:
依题意，δA（t）=2t
1+t2,δB（t）=2
1+t
由δA（t）>δB（t）
⇒2t
1+t2>
2
1+t
⇒t>1
21．已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当
前的现值：
全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。
解：
d（4）=8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。
全部采用复利：
（1−d）3=1−8%
2
第7页
PV=5000（1−d）25=4225.25
前两年用复利：
1−3d0=1−8%
2
PV=5000（1−d）24（1−d0）=4225.46
22．为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：
前两
年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。
已知季结算名利率6%，计算第3年
初投入的金额。
（原来的答案有误）
解：
i（4）=6%，则i=（1+6%
4）4−1=6.14%
设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程
2000（1+i）2+2000（1+i）+X=2000v2+5000v8
解得X=504.67元
23．在一定的利率下，下面两种付款方式等价：
1〕第5年底支付200元，第10年底
支付500元；2〕第5年底一次性支付400.94元。
另外，以同样的利率现在投资100元
再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。
试计算P。
解：
对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：
200+500v5=400.94
解得v5=0.40188
所以
P=100（1+i）10+120（1+i）5=917.762
24．经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？
解：
1000（1+6%）t=2×1000（1+4%）t
解得：
t=36年
25．已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计
算n。
第8页
解：
列价值方程为
100vn+100v2n=100
解得n=6.25
26．基金A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力δt=t
6
累积，初始时刻两基
金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。
解：
δt=1
6t，得基金B的积累函数为
aB（t）=exp（
∫t
0
δsds）=exp（
t2
12
）
欲使aA（t）=aB（t）则
（1+
1
12
i（12））12t=exp（
t2
12
）
解得t=1.4
27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。
解：
1000（1+i）15=3000
则i
（2）=（（1+i）
1
2−1）×2=7.46%
28．已知现金流：
当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在
第2年底的终值为700元。
计算实利率。
解：
列价值方程为
300（1+i）2+200（1+i）+100=700
解得i=11.96%
29．已知货币的价值以利息力δt=kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。
（原来
的答案有误）
解：
δt=kt则积累函数为
a（t）=exp
∫t
0
ksds=exp（
k
2
t2）
由a（10）=2得e50k=2
解得k=0.0139
第9页
30．已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的
一个货币单位的资本以实贴现率i贴现的的现值之和为2.0096，计算i。
解：
（1+i）3+（1−i）3=2.0096
解得i=0.04
31.现有实利率为的投资项目。
证明：
一个货币单位的本金在第二个计息期的利
息收入与第一个计息期的利息收入之差为。
试给出这个结论的实际背景解释。
解：
一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收
入j+j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。
32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：
A）现在付款15元，6个月后付款13.65元
B〕现在一次性付款28元。
如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。
（将原题中的16元改成13.65元，这
样结果更加符合实际）
解：
设半年实利率为i
0，则有：
15（1+i
0
）+13.65=28（1+i
0
）
解得:
i
0
=0.05故：
i=（1+i
0
）2−1=0.1025
33.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：
分别于1998年
和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。
在1998年元旦（正常还
款后）甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。
如果甲乙合约的年
利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。
解：
价值方程：
正常:
1000=100（1+j）¡1+100（1+j）¡2+1000（1+j）¡3
转让:
960=100（1+k）¡1+1000（1+k）¡2
解得：
j=6.98%,k=7.4%
从而:
j34.如果常数利息力增加一倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。
第10页
解：
和δ等价的年利率i=eδ−1,年利率变化：
e2δ−eδ
eδ−1
=eδ
和δ等价的年贴现率1−e¡δ=d,年贴现率变化：
e¡δ−e¡2δ
1−e¡δ=e¡δ
35．证明：
lim
d!
0
δ−d
δ2=lim
i!
0
i−δ
δ2=
1
2
证：
lim
d!
0
δ−d
δ2=lim
δ!
0
δ−1+e¡δ
δ2=lim
δ!
0
1−e¡δ
2δ
=lim
δ!
0
e¡δ
2
=
1
2
lim
i!
0
i−δ
δ2=lim
δ!
0
eδ−δ−1
δ2=lim
δ!
0
eδ−1
2δ
=lim
δ!
0
eδ
2
=
1
2
36.某厂家对零售商提供两种折扣：
付现款可低于零售价格30％；6个月后付款，
可低于零售价格25％。
如果两种方式等价，计算对应的年利率。
解:
设货款为S,半年实利率为i
0
则有：
0.7S（1+i
0
）=0.75S
解得：
1+i
0
=1.0714
故i=（1+i
0
）2−1=14.80%
37．令01）在（t,1）内单利计算；
2）复利计算；
3）单利方式：
先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻t。
在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小。
解：
1）单利方式：
X1（1+（1−t）i）=1
2）复利方式：
X2（1+i）1¡t=1
3）单利方式：
X3=（1+ti）
1+i
由Taylor展开易证：
（1+i）1¡t>1+（1−t）i（1+i）t<1+it
故X138．基金A以年利率6％累积；基金B以年利率8％累积。
第10年底两个基金的终值
之和为2000元，第10年底基金A为基金B的一半。
计算第5年底两个基金的资本之
和。
（原来的答案有误）
第11页
解：
设基金A,B的本金为A,B:
A（1+0.06）10+B（1+0.08）10=1000
A（1+0.0610）=0.05B（1+0.08）10
解得：
A（1+0.06）5=498.17
B（1+0.08）5=907.44
从而5年底的累积值和=1405.61
39．已知第一年的实利率i1与第二年的实贴现率d2数值相同，第一年初的1000元
在第二年底的终值为1200元。
计算i1。
解:
设第二年的实利率i2,由题意：
i1=d2=i2
1+i2
从而：
1000（1+i1）（1+i2）=1000（
1+2i2
1+i2
）（1+i2）=1200
解得：
i2=0.1，进而i1=1
11
40.甲以名利率i
（2）=10购得1000份100元面额的26周国债。
1）计算价格P；
2）近似推导名利率i
（2）的波动对价格P的影响（dP
di
（2））；
3）当名利率波动一个百分点时，近似计算价格P的波动范围。
（待查）
解：
1）P=1000×100×（1+i
（2）
2）¡1=95238.095
2）P=105
1+i
（2）
2
（dP
di
（2））=−2£105
（2+i
（2））2
3）（|dP
di
（2）
|）|
i
（2）=10%=4.5351×104即波动范围：
95238.095±453.51
41．对j>0，证明：
1）f（m）=（1+j
m）m是m的递增函数;
2）g（m）=m[（1+j）
1
m−1]是m的递减函数。
解：
1）f
0
（m）=1
m（1+j
m）mln（1+j
m）,j>0,m>0,f
0
（m）>0
2）令y=ln（1+j）/m,则原式化为：
ey−1
y
ln（1+j）（j>0）
由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。
42.面额100元的26周国债名收益率11.07％。
证明：
售价在94.767到94.771之间时，
均可保持这个收益率。
（题意不理解，暂无修改意见）
第12页
第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存
款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。
计算X。
解：
S=1000s20p7%￢+Xs10p7%￢
X=
50000−1000s20p7%￢
s10p7%￢=651.72
2．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：
每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解：
设首次付款为X，则有
10000=X+250a48p1.5%￢
解得X=1489.36
3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1
n
。
试计算该年金的现值。
解：
PV=nanpi￢
=n
1−vn
1
n
=
（n+1）nn2−nn+2
（n+1）n
4．已知：
a￢np=X，a2￢np=Y。
试用X和Y表示d。
解：
a2￢np=a￢np+a￢np（1−d）n则
d=1−（
Y−X
X
）
1
n
5．已知：
a￢7p=5.58238,a1￢1p=7.88687,a1￢8p=10.82760。
计算i。
解：
a1￢8p=a￢7p+a1￢1pv7
解得i=6.0%
6.证明：
1
1−v10=s1￢0p+a1￢p
s1￢0p。
第1页
证明：
s1￢0p+a∞￢p
s1￢0p=
（1+i）10−1
i+1
i
（1+i）10−1
i
=
1
1−v10
7．已知：
半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：
开始4年每半
年200元，然后减为每次100元。
解：
PV=100a8p3%￢+100a20p3%￢=2189.716
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然
后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解：
设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日
1000¨s25p8%￢=X¨a15p7%￢
解得X=8101.65
9．已知贴现率为10%，计算a¨￢8p。
解：
d=10%，则i=1
1−d
−1=1
9
a¨￢8p=（1+i）
1−v8
i
=5.6953
10.求证：
（1）a¨￢np=a￢np+1−vn；
（2）s¨￢np=s￢np−1+（1+i）n
并给出两等式的实际解释。
证明：
（1）a¨￢np=1−vn
d=1−vn
i
1+i
=1−vn
i+1−vn
所以a¨￢np=a￢np+1−vn
（2）s¨￢np=（1+i）n−1
d=（1+i）n−1
i
1+i
=（1+i）n−1
i+（1+i）n−1
所以a¨￢np=s￢np−1+（1+i）n
第2页
12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利
率6%，计算：
1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终
值。
解：
PV=100a49p1.5%￢−100a2p1.5%￢=3256.88
AV=100s49p1.5%￢−100s2p1.5%￢=6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1－10年和第21－30年中每
年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金
额为Y，在第11－20年中没有。
已知：
v10=1
2
，计算Y。
解：
因两种年金价值相等，则有
a30pi￢+a10pi￢v10=Ya30pi￢−Ya10pi￢v10
所以Y=3−v10−2v30
1+v10−2v30=1.8
14.已知年金满足：
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另
外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解：
由题意知，
2a2npi￢+3anpi￢=36
2anpi￢vn=6
解得i=8.33%
15.已知
a￢7p
a1￢1p=
a￢3p+sX￢p
aY￢p+sZ￢p
。
求X，Y和Z。
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