1、22 ,或者P| X写出所满足的切彼雪夫不等式4由于随机变量X1, x2,l,X9相互独立且同分布,而且有EXi 1, DXi1（i 1,2丄9）,所以4.设随机变量X满足:E（X）D（X）Xi,D（X）切比雪夫不等式为：设随机变量 X满足1丄2n布，而且有EXi 1 ,0,由切比雪夫不等式直与D（X） 2都存在，则E（Xi）i 1D（Xi）9,9.2,则由切比雪夫不等式，有 P| XE（X） , D（X），则对任意的 0,有P| X | 丐由此得 P| X |5、设随机变量 ，E （ ） , D（），则 P|为相互独立的随机变量序列，且i（i 1,2,）服从参数为 的泊松n分布，则limX”
2、2t22dtp是事件A在每次试验中出现的7、设n表示n次独立重复试验中事件 A出现的次数,b np概率，则P abnp（1 p） a np7dtnp（1 p）8.设随机变量 n,服从二项分布B（n, p）,其中0 p 1,n 1,2丄，那么，对于任一实数 x,有 Jim P| n np| x | 0 .0, lim P Xn a设X1,X2丄,Xn为随机变量序列,a为常数，则Xn依概率收敛于a是指1 ,或 0, lim P X n a _0_。10.设供电站电网有100盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率皆为 0.8.假设每盏灯开关是相互独立的，若随机变量X为100盏灯中开着的灯数，则由切比雪夫不等式
3、估计，X落E（X） 80, D（X） 16 ,于是P（75 X 85） P（|X 80| 5） 1 16 .25 25计算题:1、在每次试验中，事件 A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在 1000次独立试验中，事件 A发生的次数在 450至550次之间的概率.设X表示1000次独立试验中事件 A发生的次数，则 E（X） 500, D（X ） 250P450 X 550 P| X 5001 50P| X E（X） | 50 15021型25000.92、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间，每台交换机能清晰接受信号的概率为 0.90.系统正常工作时，要求能清晰接
4、受信号的交换机至少 45台.求该通信系统能正常工作的概率 解:设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数 ，则X B（50,0.90）.由此P（通信系统能正常工作）P（45 X 50）45 50 0.950一0.9一0.1X 50 0.950一0.90.150 50 0.9（2.36） （0） 0.990 9 0.5 0.490 9.若各终端使用与否是相互独立3、某微机系统有120个终端，每个终端有5%的时间在使用的，试求有不少于10个终端在使用的概率某时刻所使用的终端数由棣莫弗一拉普拉斯定理知P 10 1 b（120,0.05）， np 6，npq 5. 710 65.71 （1.67）
5、 0.0475.4、某校共有4900个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为 0.1，问阅览室要准备多少个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位设去阅览室学习的人数为 ,要准备k个座位. b（n, p）, n 4900, p 0.1,np 4900 0.1 490, npq要准备539个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位5.随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于 不超过33点的概率。设？表示六颗骰子出现的占八、数总和。?i，表示第i颗骰子数，1， ?2，?6相互独立显然i = 1, 2，问：n的最小值应如何
6、？1 2 10010抽样检查产品质量时，如果发现次品多于 10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到 0.9?PX 10 0.9，而 P X n 0.1 10 n 0.1 0.9In 0.1 0.9 In 0.1 0.9由中心极限定理知，当 n充分大时,8. （1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有 85个元件工作，求系统的可靠程度 （即正常 运行的概率）;（2）上述系统假设有n个相互独立的元件组成， 而且又要求至少有 80%的元 件工作才能
7、使系统正常运行，问 n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为 0.95?设X表示正常工作的元件数，则 X b（100,0.9）,P 5 吗3 3 3由中心极限定理可知 （2）设X表示正常工作的元件数，则 X b（n,0.9）9一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学 期望为2 mm，均方差为0.05 mm，规定总长度为20 ? 0.1 mm时产品合格，试求产品 合格的概率。已 知： （0.6 ） = 0.7257; （ 0.63 ） = 0.7357。10 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相 互独立的随机变量，并且都
8、在区间 0.5, 0.5 上服从均匀分布，求 1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。已知：（1）=0.8413;=0.9772。设?,?2 , , ?表示取整误差，因它们在0.5,0.5 上服从均匀分布故有E i 0 , D1 .i 一 , i12,n12根据同分布的中心要极限定理,得120010 0i 0P10 pi10 P厂J1200 （200VXP 1 1 = （ 1 ） （ 1 ） = 2 （ 1 ） 1、1200 1V 12=2 ? 0.8413 1 = 0.682611.将一枚硬币连掷 100次，试用隶莫佛-拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于 60的概率。已知 ： =0
9、.8413 ; （2） = 0.9772 ; 当 x 4 , （x） =1。为 掷100次中出现正面的次数 ，它服从二项分布 B （ 100, ）这里np100-50 , npq50 25由隶莫佛-拉普拉斯定理，得P 60100 P60 5050100 50.25、2525查N （ 0, 1 ）分布函数表，得 P 60 ? 100 = 1 0.977 = 0.023 .12 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次（1）某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒 他连续试验10次，成功3次试推断他是猜
10、对的，还是他确有区分的能力（各次试验是相互独立的）.设X：试验10次成功的次数，则X B 10,丄70因此随机事件 X 3是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生 的”的原理，随机事件 X 3是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们要以断定此人确 有区分酒的能力100元，每被保险人出事赔付金13保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为额为2万元根据统计，这类被保险人年出事概率为 0Q00 5这个新保险品种预计需 投入100万元的广告宣传费用在忽略其他费用的情况下，一年内至少需要多少人参 保，才能使保险公司在该年度获利超过 100万元的概率大于95%？x 1 t2（x
11、） . e 2dt， （129） 09015，（15） 09505，（309） 09990,（3.72） 0.999 9, （4.27） 0.999 99）设参保人数为 N人，则1, 第i人出事，. 0 10,第i人不出事，i 1,2，L，N，i q p，E i P，D i Pq.NP（20 000 i 1 000000 100N 1000 000） 0.95.P（ i N /200 2 000 000） 0.95.Np100N 2 00000020 000小pqNpq0.95.100N 2000 00020000 1.65,N 20 000 200Np 330 Npq, p 0.0005,
12、q 0.9995,0.9 N 20 000 330 JNpq , 9N 2 105 3 30 Npq2 5 2 1081N （36 10 3 300 pq） N 4 10 0,N2 45 068.03 N 493827160.49 0,4 ac63 296.41,N54182.22.f（x）xx -e ,0,n !14、证明题:设随机变量X的密度函数为0.P（0X 2（ n 1）1.求证：证：n 1r1 1xf （x）dxe dx（n1）exdxn 1,0 n!0 （n1）!n 2E（X2）dx （n 1）（n2）e xdx1）（n 2）,（n 2）!D（X） E（X2） E（X）2 （n 1）（ n 2） （n 1）2 n 1.由切比雪夫不等式得 P（ X 2（n 1） P（|X （n 1）| n 1）P（|X E（X）| n 1）.D（X） 1 n 1 丄（n 1）2 （n 1）2 n 1
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