天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解Word文档下载推荐.docx
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2
2,或者P{|X
写出所满足的切彼雪夫不等式
4}
由于随机变量X1,x2,l
X9相互独立且同分布
而且有
EXi1,DXi
1（i1,2丄
9）,
所以
4.设随机变量X满足:
E（X）
D（X）
Xi
D（X）
切比雪夫不等式为：
设随机变量X满足
1丄
2n
布，而且有EXi1,
0,由切比雪夫不等式直
与D（X）2都存在，则
E（Xi）
i1
D（Xi）
9,
9.
2,则由切比雪夫不等式，
有P{|X
E（X）,D（X）
，则对任意
的0,有P{|X|}丐・由此得P{|X|
5、设随机变量，E（）,D（）
，则P{|
为相互独立的随机变量序列，且
i（i1,2,）服从参数为的泊松
n
分布，则lim
X}
”2
t2
2dt
p是事件A在每次试验中出现的
7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数,
bnp
概率，则P{a
b}
np（1p）anp
7dt
np（1p）
8.设随机变量n,服从二项分布B（n,p）,其中0p1,n1,2丄，那么，对于任
一实数x,有JimP{|nnp|x|}0.
0,limPXna
设X1,X2丄,Xn为随机变量序列,a为常数，则{Xn}依概率收敛于a是指
1,或0,limPXna_0_。
10.设供电站电网有100盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8.假设每盏灯开关是相
互独立的，若随机变量X为100盏灯中开着的灯数，则由切比雪夫不等式估计，X落
E（X）80,D（X）16,于是
P（75X85）P（|X80|5）116—.
2525
•计算题:
1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立
试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.
设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则E（X）500,D（X）250
P{450X550}P{|X500150}
P{|XE（X）|50}1
502
1型
2500
0.9
2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间，每台交换机能清晰接
受信号的概率为0.90.系统正常工作时，要求能清晰接受信号的交换机至少45台.求该
通信系统能正常工作的概率•
解:
设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数，则
X~B（50,0.90）.
由此P（通信系统能正常工作）P（45X50）
45500.9
「50一0.9一0.1
X500.9
—50一0.9—0.1
50500.9
（2.36）（0）0.99090.50.4909.
若各终端使用与否是相互独立
3、某微机系统有120个终端，每个终端有5%的时间在使用
的，试求有不少于10个终端在使用的概率
某时刻所使用的终端数
由棣莫弗一拉普拉斯定理知
P{10}1
~b（120,0.05），np6，npq5.7
106
5.7
1（1.67）0.0475.
4、某校共有4900个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1，问阅览室
要准备多少个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位
设去阅览室学习的人数为,要准备k个座位.
~b（n,p）,n4900,p0.1,np49000.1490,npq
要准备539个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位
5.
随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：
六颗骰子出现的点数总和不小于不超过33点的概率。
设？
表示六颗骰子
出
现
的
占
八、、
数
总
和。
?
i，表示第i颗
骰
子
数，
1，?
2，…，?
6
相
互
独
\立
显
然
i=1,2，…
问：
n的最小值应如何？
12100
10
抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次
品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?
P{X10}0.9，而P{Xn0.110n0.1}0.9
In0.10.9In0.10.9
由中心极限定理知，当n充分大时,
8.
（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为
0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度（即正常运行的概率）;
（2）上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?
⑴设X表示正常工作的元件数，则X~b（100,0.9）,
P{5吗
333
由中心极限定理可知
（2）设X表示正常工作的元件数，则X~b（n,0.9）
9•一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为20?
0.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。
已知：
（0.6）=0.7257;
（0.63）=0.7357。
10•计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是
相互独立的随机变量，并且都在区间［0.5,0.5］上服从均匀分布，求1200个数相加
时误差总和的绝对值小于
10的概率。
已知：
（1）=0.8413;
⑵=0.9772。
设?
?
2,,?
表示取整误差，
因它们在
[0.5
0.5］上服从均匀分布
故有
Ei0,D
1.
i一,i
12,
n
12
根
据同
分布的中心
要极限
定理
得
1200
100
i0
P
10p
i
10P厂
J1200——
（200
—
V
X
P11=
（1）
（1）=2
（1）1
、12001
V12
=2?
0.84131=0.6826
11.将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概
率。
已知：
⑴=0.8413;
（2）=0.9772;
当x>
4,（x）=1。
为掷100次中出现正面的次数，它服从二项分布B（100,）
这里
np
100-
50,npq
5025
由隶
莫佛
--拉普
拉斯定理
，得
P60
100P
6050
50
10050
.25
、25
25
查N（0,1）分布函数表，
得P{60<
?
100}=10.977=0.023.
12•有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部
挑出来，算是成功一次•
（1）某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？
（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒•他连续试验10次，成功3次•试推断他是猜对
的，还是他确有区分的能力（各次试验是相互独立的）.
⑵设X：
试验10次成功的次数，则X~B10,丄
70
因此随机事件X3是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理，随机事件X3是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们要以断定此人确有区分酒的能力•
100元，每被保险人出事赔付金
13•保险公司新增一个保险品种：
每被保险人年交纳保费为
额为2万元•根据统计，这类被保险人年出事概率为0Q005・这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用•在忽略其他费用的情况下，一年内至少需要多少人参保，才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？
x1t2
（（x）.e2dt，（1・29）0・9015，（1£
5）0・9505，（3・09）0・9990,
（3.72）0.9999,（4.27）0.99999）
设参保人数为N人，则
1,第i人出事，.01
0,第i人不出事，i1,2，L，N，i~qp，EiP，DiPq.
N
P（20000i1000000100N1000000）0.95.
P（iN/2002000000）0.95.
Np
100N2000000
20000
小pq
Npq
0.95.
100N2000000
20000—
1.65,
N20000200Np330Npq,p0.0005,q0.9995,
0.9N20000330JNpq,9N2105330^Npq
25210
81N（36103300pq）N4100,
N245068.03N493827160.490,
4ac
63296.41
N
54182.22.
f
（x）
x
x-e,
0,
n!
14、证明题
:
设随机变量
X的密度函数为
0.
P（0
X2（n1））
1.
求证：
证：
n1
r
11
xf（x）dx
edx
（n
1）
e
xdx
n1,
0n!
0（n
1）!
n2
E（X2）
dx（n1）（n
2）
exdx
1）（n2）,
（n2）!
D（X）E（X2）[E（X）]2（n1）（n2）（n1）2n1.
由切比雪夫不等式得P（°
X2（n1））P（|X（n1）|n1）
P（|XE（X）|n1）
.D（X）1n1丄
（n1）2（n1）2n1
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