北京大学自主招生的一道数学试题怎么解Word文档格式.docx

1、方法二、容易得到：（3）当 且 时，只要满足下列不等式完全类似地用线性规划得到：综合以上讨论：数1，圆内接四边形ABCD ，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4，求R数2，正无穷等差数列中有13，25，41，求证2009也在该数列中。数3，是否存在x，是tanx+根号3与cotx+根号3均是有理数。数4，对任意x，acosx+b（cos2x）+1=0,求a+b最大值。数5，有333个人共答对1000题，若答对题=6为优秀者，且不是所有人答对题数奇偶性相同，问不合格者多还是优秀者多？令x2pi/3,则cosx=cos2x=1/2，代入原不等式有1/2a1/2b+1=0，化简即有a+b=0，此不

2、等式判别式（3b2）2，当b2/3时，判别式=0，不等式恒成立.一道清华自主招生题有限个抛物线及其内部（含焦点部分）能覆盖整个平面吗？请证明你的结论不能，对于不平行抛物线对称轴的直线，抛物线只能覆盖其对称轴的一半找一条不平行于这些抛物线对称轴的直线，那么每条抛物线至多在这条直线上截取有限长。求助：据说是到北大还是清华的自主招生考试题。是否存在实数x使得 tanx +根号3和 cotx +根号3均为有理数？设有x使 tan x + sqrt（3） 和 cot x + sqrt （3）都是有理数，那么显然他们都不等于0设tan x + sqrt（3） = q1 / p1 cot x + sqrt（

3、3） = q2 / p2其中（ p1, q1 ） = （ p2, q2 ） = 1则 q2 / p2 = 1 / q1 / p1 - sqrt（3） + sqrt（3） = q * sqrt（3） - 2p / q - p * sqrt（3） 所以 2 * p1p2 + q1q2 = （ p2q1 + p1q2 ） * sqrt（3） = 0所以 （ p1p2 ） / （ q1q2 ） = -2（ p2q1 ） / （ p1q2 ） = -1两式相乘 （ p2 / q2 ） 2 = 2显然不成立所以没有这样的x令 t = tan x，构造以 t 和 1 / t为根的二次方程，考察两根和与差，即

4、可证明不存在。我也来一个设有x使 tan x + sqrt（3） 和 cot x + sqrt （3）都是有理数，那么显然tan x=m-sqrt（3）,其中m为有理数。则由cot x + sqrt （3）都是有理数可以得出m=sqrt （2）或者-sqrt （2）矛盾分两步：第一步，从12人中选6人，按照从低到高的顺序排列，有方法 第二步，将其余 6人按照从低到高的顺序排到第二列，有一种方法求一道自主招生试题解答某次考试共333名学生，作对了1000道题，作对了3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，问不及格和优秀人数哪个多？不及格人数多吧假设不及格人数x，优秀人数y则6y+x+4（333-x

5、-y）10002y3x-332当x333/2时，始终有yx（可由二元一次不等式对应的平面区域看出）呵呵，332人对三题，1人对4题，已经够数了。这题没疑问。优秀最多166人，故不及格人数多。那个333，和1000，设置得不够巧妙。感觉上一看就大概知道结果的，不好玩。求北大08自主考试第二题的解法已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1求证ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半提示：将三角形AC1B,BA1C,CB1A拼在一起形成一个与三角形ABC全等的三角形关键是证明 这个答案貌似好多地方都是如图可证之类的话，有详解吗两个一

6、拼，连接，证明弟三个全等，然后再证明和ABC全等即可如图，将三角形AC1B绕A点逆时针旋转度数等于叫B1AC1，则AC1旋转至AB1，C1B旋转至B1B，AB旋转至AB连接BC容易证明三角形BB1C与三角形BA1C全等从而三角形ABC与ABC全等以下略A+B+C=A1+B1+C1=360两边加2两边减2除下有a（n+1）+2/（a（n+1）-2=a（n）+2/a（n）-22北京大学等高校2010年自主招生联考试题数学：1.AB为正五边形边上的点，证明：AB最长为（根5+1）/2（25分）2.AB为y=1-x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。（25分）3.向量OA与OB已

7、知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0t01/5时，夹角的取值范围。4.存不存在0x=0,b0的情况。这样 AB:y=-2ax+2-b，故h=|2-b|。然后底也可以用a,b表示（不写了）。之后就是一个简单的不等式放缩（这个时候就可以通过a,b取值范围证明A、B的对称了，因为a可以等于0）。最后结果.我记得当时做的时候好象是8sqrt（3）/9.跟你的不一样，呵呵等比也是一样的，分子那个东西是无穷大不知道高中生怎么搞哦想起来了，高中生能用这个不等式：证法是两边取倒数后平方，然后左边缩放后裂项首项a1，公差d，取n等于a1+d，

8、由d|（d+（a1+d）！）故an的第（n！+na1）|d+1项在集合A中，从而不在B中，（1）得证！（2）做法类似（1）同楼上（2）能。例如，取a（n）=16n由于n!+n=n（n-1）!+1,所以当n=3时必定存在奇数因子k,使得k|（n!+n）,而a（n）的任意一项都不存在奇数因子，显然a（n）中的任意一项都不属于A。2009年北大的一道自主招生题一个等差数列其中有三项，13、25、41，试证明：2009为此等差数列中的一项。41-25=16, 25-13=12. 12,16的最大公因数是4,说明4必是此等差数列的公差的倍数, 设4=nd（n为正整数）, 2009=1968+41=41+

9、4*492=41+492nd, 所以2009为此等差数列中的一项不妨设A（a,13）,B（b,25）,C（c,41）,D（x,2009）,其中a,b,c为正整数,因为该数列为正无穷等差数列,显然有cba,而要证明2009也在该正无穷等差数列中,只要去证明A,B,C,D四点共线,且x为正整数.因为当x=164（b-a）+c时,AB与CD的斜率相等,即A,B,C,D四点共线,而此时的x肯定是正整数.从而可知2009是该数列的第164（b-a）+c项！一点补充：公差可以为负的，但是是同理的认为公差一定是正的是不妥的北京大学2009自主招生的最后一道数学试题怎么解？=6为优秀者，且不是所有人答对题数奇

10、偶性相同，问不合格者多还是优秀者多“且不是所有人答对题数奇偶性相同”什么意思？那么只有一人答对4题，其它都答对3题，也满足“且不是所有人答对题数奇偶性相同”吧？不合格多。优秀者都没有。答案是不及格的多请您证一道2008年北大自主招生笔试数学试题已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3若已知 mina1,a2,a3=minb1,b2,b3求证：maxa1,a2,a3=maxb1,b2,b3这个也不算很难嘛设a1+a2+a3=b1+b2+b3=pa1a2+a2a3+a1a3=b1b2+b2b3+b1b3=q再设a1a2a3=m,

11、b1b2b3=n那么a1,a2,a3、b1,b2,b3分别是方程x3-px2+qx-m=0x3-px2+qx-n=0的解画出f（x）=x3-px2+qx图像，然后画出y=m，y=n的直线，交点即为a1,a2,a3、b1,b2,b3由于式子是完全对称的，可以假设a1a2a3,b1b2b3这样，a1,b1、a3,b3必然在f（x）的两个增区间内由于a1,b1都在f（x）左边的增区间内，显然当a1b1的时候，有f（a1）=mn=f（b1）而a3,b3在f（x）右边的增区间内，当f（a3）=mn=f（b3）的时候，必然有a3b3证明完毕86、C举几个例子就知道了最简单的三角形A:1+i，B:1+i,C

12、:1+i+i2=i显然z=0不在三角形上1+i,B:1-i,C:iz=0在三角形边上91、最大边为11，设最小边为a,另一边为b那么a=1时，b=11a=2时b=10,11a=3,b=9,10,11a=4,b=8,9,10,11a=5,b=7,8,9,10,11a=6,b=6,7,8,9,10,11a=7,b=7,8,9,10,11a=8,b=8,9,10,11a=9,b=9,10,11a=10,b=10,11a=11,b=11总共36个92、设DE、DF和AC交点为M、N易证M、N为AC三等分点，SADM+SACN=（2/3）SACD=1/3SAME=SCNF=（1/3）*（1/2）*SAB

13、C=1/12S五边形EBFNM=SABC-SAME-SCNF=1/2-1/6=1/3S阴影=1/3+1/3=2/382、设面AMN和A1C1交点P，易证A1P/C1P=2，设整个三棱柱体积为1作平面PBB1，这个平面和AC交于P1，那么小部分的体积可以分成V四棱锥P-A1B1BA和V三棱锥M-PNB1易证V三棱柱A1B1P-ABP1=2/3V四棱锥P-A1B1BA=（3/4）*（2/3）*V三棱柱A1B1P-ABP1=1/3V三棱锥M-PNB1=（1/3）*（SB1PN*B1M）=（1/3）*（1/6）*（1/2）=1/36V小部分=1/3+1/36=13/36V小部分/V大部分=13/238

14、3、所以g（x）的最小值为因此有2008年北大自主招生笔试数学试题六边形AB1CA1BC1中， AB1=B1C，CA1 =A1B，AC1 =BC1，角A+角B+角C=角A1+角B1+角C1, 求证三角形ABC面积是六边形面积的一半一道自主招生试题（复旦）x,y,z为实数，（x2+1）（y2+2）（Z2+8）=32xyz，求x2+y2+z8x,y,z为实数，（x2+1）（y2+2）（Z2+8）=32xyz，求x2+y2+z2 的值题目打错了真是太不好意思了分析过程自己看着办吧1.gif （3.96 KB）2008-11-23 09:09 本帖最后由 hnsredfox_007 于 2008-11

15、-23 09:09 编辑 那就ca+b,ab+c一起来啊把不等式整理成m和x/y的式子 下面就是恒成立问题啊为什么是cmaxa,b,c2，3，4可以构成三角形吧但是2min2，3，4=max2，3，4啊换句话说你这个不是构成三角形的充要条件啊可是有这样一个题:Snap1.gif （1.52 KB）2008-9-15 19:47解答就是2minf（x）maxf（x）这个应该不对吧？4，6，9可以构成三角形吧但是 2min4，6，9 cb+ca难道这个条件还不能保证a,b,c构成三角形？m取值区间为：（2-sqrt（3）,2+sqrt（3）构成三角形的充要条件为：a-bcb+bAC,DA+DCAC

16、相加得（BA+DA）+（BC+DC）2AC则两组中到少有一组大于AC，那一组就是所求三解形第二题是minkowski定理的特例（那个定理说，对于平面单位正方形点格，以某个格点为对称中心面积大于4的平面凸区域其内部至少包含3个格点），Hilbert在他的直观几何一书里面给出特殊情形：以某个格点为中心边长为2的正方形，其内部或边上还有一个格子点（由对称性，有一个就肯定还有另一个），那个证明好像占了1页多，本题长方形情形比Hilbert书里面的要稍微一般一点，不知有没有什么其他的妙法用直线法线式。设矩形两边方程为xcosa+ysinap=0，由于面积为4,则另两边为-xsina+ycosa1/p=0

17、不妨设p0,a为锐角，根据对称性，只需证（1,1）,（1,-1）都在矩形外矛盾便可。只要代两式，相乘便可得-（sina-cosa）2=1要证覆盖了另外两个点，你说（1,1）和（1,-1）不会都在矩形内，怎么说有一个点在矩形内？为什么一些名校都热衷于自主招生，上个世纪是几乎没有的事原因在于高考，数学高考试卷的难度已经远远不能适应这些名校对生源的要求了，于是只好另起炉灶为了掩盖扩招的失败，只好改教材，为证明教材改得成功，只好降低高考难度，低到以前会考的难度名校吃了几年生源亏之后，觉醒了，跳出这个循环，另起炉灶了鼓吹教育产业化的官僚们应该统统下台大学应该是优质学生的专利，而不是有钱人的专利，尤其是名

18、牌大学北大自主招生第5题5 （理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内0=y=2-x2绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点（1,0,1）设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2求C上未被照到的长度2.jpg （11.86 KB）2008-1-9 10:20 本帖最后由 oldgun 于 2008-1-9 10:20 编辑 请教个问题游戏（如图）玩法：现有中间带孔的圆木片，这些圆木片以从大到小的次序穿在一根竹竿A上，现在的任务是将这堆圆木片穿到其他一根竹竿（B或C）上，但必须遵循如下规则： 圆木片只能一一搬动； 大的木片只能放在小的木片下面； 搬动的次数尽可能少。现用 表示把

19、 块圆木片移动到另一根竹竿上至少需要移动的次数，如 则 ，数列 的通项公式为_an应该是的n次方减吧f（1）=1,f（2）=3,f（3）=7,且f（k+1）=2*f（k）+1。f（n）=2n-1这题做得很郁闷, 最后还没得到答案, 不知道是题错了还是我完全想错了.这里尽量避免用空间解析几何以及微分几何的东西，先看旋转前2.bmp （91.93 KB）2008-1-5 22:21这里紫色的，是抛物线及y=0框起来的部分，旋转体的一个截面，蓝色的是过抛物线两个端点的切线，与y轴交于（0,4），我应该没算错吧。绕y轴旋转后，对每一个a：平面y=a （0=a=2）截旋转体所得的截面都是圆，特别的，y=

20、0也就是xoz平面，截面上圆周的方程为 x2+z2=2（y=0），而点光源（1,0,1）恰好就在这个圆周上。1.bmp （568.27 KB）3.bmp （584.36 KB）于是可以知道，过该点有一条切线通过点（0,4,0），而限制在xoz平面，过该点作x2+z2=2的切线，x轴上的截距是2，也就是（2,0,0）这个点，于是对于整个旋转体来说，过（1,0,1）的切平面与xoy平面至少有两个交点：（0,4,0）与（2,0,0），所以切平面和xoy平面的交线是 2x+y=4 。平面xoy上，所有y0的区域，则只有在直线2x+y=4的上方，也就是2x+y4的部分能被光线照到。所以，现在就是找这样的

21、圆，在可照到的区域所有的弧长之和是2，容易知道圆半径比2小，但是接下来的方程没法用代数解，所以做不下去了4.bmp （360.81 KB）大家帮忙看看，哪里出问题了？恩, 是Mathematica画的, 同一个图, 转了转方向贴了两个上来方程：我用Mathematica帮助算了一下,到了这里,呃.还没化简,.是不是一样的?超越.gif （72.79 KB）2008-1-5 23:43北大自主招生第三题 本帖最后由 oldgun 于 2008-1-4 22:58 编辑 附件1.gif （4.41 KB） 2008-1-4 22:58 公告2006届清华大学自主招生数学试题，解解看！8、在所有定周

22、长的空间四边形ABCD中，求对角线AC+BD的最大值，并证明复旦自主招生题目：定义域为（0,1），值域为0,1，而且对任意一个x属于（0,1），都有且只有一个f（x）属于0,1与之对应。请举出两个这样的函数。（1）3,I=i/3根号3（3）0（4）1,2,3（6）1/2（2） 第二题也可以考虑应用三角换元法去解：即令a=（cosx）2,b=（sinx）2,代入所求式，利用配方及二倍角公式，转化为区间上二次函数值域的求法去解决，也很简单啊！第8题很奇怪，但既然是清华出的，又不能说它有错。不是常规认为的正四面体，此时AC+BD=1/3（定长）可以构造一四面体，AC+BD1/2（定长）从研究平面四边形对角线长度着手。用条件概率思路做。设取n个整数第1个数为偶数概率 0.5第1个数不是偶数，第2个数是偶数概率 0.50.5前2个数不是偶数，第3个数是偶数概率 0.5