北京大学自主招生的一道数学试题怎么解Word文档格式.docx
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方法二、容易得到：
（3）当且时，只要满足下列不等式
完全类似地用线性规划得到：
综合以上讨论：
数1，圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4，求R
数2，正无穷等差数列中有13，25，41，求证2009也在该数列中。
数3，是否存在x，是tanx+根号3
与
cotx+根号3
均是有理数。
数4，对任意x，acosx+b（cos2x）+1>
=0,求a+b最大值。
数5，有333个人共答对1000题，若答对题<
=3为不合格者，答对题>
=6为优秀者，且不是所有人答对题数奇偶性相同，问不合格者多还是优秀者多？
令x＝2pi/3,则cosx=cos2x=－1/2，代入原不等式有－1/2a－1/2b+1>
=0，化简即有a+b<
=2.
然后说明等号可以取到，将a=2－b代入并化为cosx的二次不等式：
2b（cosx）^2+（2－b）cosx－b+1>
=0，此不等式判别式＝（3b－2）^2，当b＝2/3时，判别式<
=0，不等式恒成立.
一道清华自主招生题
有限个抛物线及其内部（含焦点部分）能覆盖整个平面吗？
请证明你的结论
不能，对于不平行抛物线对称轴的直线，抛物线只能覆盖其对称轴的一半
找一条不平行于这些抛物线对称轴的直线，那么每条抛物线至多在这条直线上截取有限长。
求助：
据说是到北大还是清华的自主招生考试题。
。
是否存在实数x使得tanx+根号3
和cotx+根号3
均为有理数？
设有x使tanx+sqrt（3）和cotx+sqrt（3）都是有理数，那么显然他们都不等于0
设tanx+sqrt（3）=q1/p1
cotx+sqrt（3）=q2/p2
其中（p1,q1）=（p2,q2）=1
则q2/p2=1/[q1/p1-sqrt（3）]+sqrt（3）=
[q*sqrt（3）-2p]/[q-p*sqrt（3）]
所以2*p1p2+q1q2=（p2q1+p1q2）*sqrt（3）=0
所以（p1p2）/（q1q2）=-2
（p2q1）/（p1q2）=-1
两式相乘（p2/q2）^2=2
显然不成立
所以没有这样的x令t=tanx，构造以t和1/t
为根的二次方程，考察两根和与差，即可证明不存在。
我也来一个
设有x使tanx+sqrt（3）和cotx+sqrt（3）都是有理数，那么显然tanx=m-sqrt（3）,其中m为有理数。
则由cotx+sqrt（3）都是有理数可以得出m=sqrt
（2）或者-sqrt
（2）
矛盾
分两步：
第一步，从12人中选6人，按照从低到高的顺序排列，有
方法
第二步，将其余6人按照从低到高的顺序排到第二列，有一种方法
求一道自主招生试题解答
某次考试共333名学生，作对了1000道题，作对了3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，问不及格和优秀人数哪个多？
不及格人数多吧
假设不及格人数x，优秀人数y
则6y+x+4（333-x-y）≤1000
2y≤3x-332
当x＜333/2时，始终有y＜x
（可由二元一次不等式对应的平面区域看出）呵呵，，，332人对三题，1人对4题，已经够数了。
这题没疑问。
优秀最多166人，故不及格人数多。
那个333，和1000，设置得不够巧妙。
感觉上一看就大概知道结果的，不好玩。
求北大08自主考试第二题的解法
已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1
求证△ABC
面积是六边形AC1BA1CB1的一半
提示：
将三角形AC1B,BA1C,CB1A拼在一起形成一个与三角形ABC全等的三角形
关键是证明这个答案貌似好多地方都是如图可证之类的话，有详解吗两个一拼，连接，证明弟三个全等，然后再证明和ABC全等即可
如图，将三角形AC1B绕A点逆时针旋转度数等于叫B1AC1，
则AC1旋转至AB1，C1B旋转至B1B'
，AB旋转至AB'
连接B'
C
容易证明三角形B'
B1C与三角形BA1C全等
从而三角形ABC与AB'
C全等
以下略
∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1=360°
两边加2
两边减2
除下~有[a（n+1）+2]/（[a（n+1）-2]={[a（n）+2]/[a（n）-2]}^2
北京大学等高校2010年自主招生联考试题
数学：
1.AB为正五边形边上的点，证明：
AB最长为（根5+1）/2（25分）
2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。
（25分）
3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0<
t0<
1/5时，夹角的取值范围。
4.存不存在0<
x<
π/2，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列。
AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值，这题应该是0，2条过抛物线顶点的切线，不知大家认为是否正确。
第二题
由对称性可知，所求面积为抛物线右边最大面积的2倍。
设B（x1，1-（x1^2））.由于dy/dx=-2x。
所以过B点的直线方程为y=-2*x1*x+x1^2+1。
与两坐标轴交点截距为x1^2+1，（x1^2+1）/2x1所以总面积为2*0.5*（x1^2+1）*（x1^2+1）/2x1求导后，在x1=+1导数由负变正有极小值亦为最小值。
最小面积为2
第一题
这道题很简单，易知正五边形对角线最长。
设其边长为1，又cos36°
=（根号5-1）/4，所以其对角线长为（根号5-1）/2
第四题
显然不存在。
假设存在，有cosx-sinx=cotx-tanx=cosx/sinx-sinx/cosx通分得sinx+cosx=sinx*cosx=1/2*sin2x。
但是1/2sin2x小于1/2，sinx+cosx大于1，故在0至pi/2，不存在满足条件的角度。
对称性？
你怎么知道取最大值时应该是对称的？
需要证明。
说说我的思路：
直线AB是可以用过A、B切线的交点....设为P（a,b）表示的。
根据图像的性质，可以只考虑a>
=0,b>
0的情况。
这样AB:
y=-2ax+2-b，故h=|2-b|。
然后底也可以用a,b表示（不写了）。
之后就是一个简单的不等式放缩（这个时候就可以通过a,b取值范围证明A、B的对称了，因为a可以等于0）。
最后结果......我记得当时做的时候好象是8sqrt（3）/9.跟你的不一样，呵呵
等比也是一样的，分子那个东西是无穷大不知道高中生怎么搞
哦想起来了，高中生能用这个不等式：
证法是两边取倒数后平方，然后左边缩放后裂项首项a1，公差d，取n等于a1+d，由d|（d+（a1+d）！
）故an的第（n！
+n—a1）|d+1项在集合A中，从而不在B中，
（1）得证！
（2）做法类似
（1）同楼上
（2）能。
例如，取a（n）=16^n
由于n!
+n=n[（n-1）!
+1],所以当n>
=3时必定存在奇数因子k,使得k|（n!
+n）,
而a（n）的任意一项都不存在奇数因子，显然a（n）中的任意一项都不属于A。
2009年北大的一道自主招生题
一个等差数列其中有三项，13、25、41，试证明：
2009为此等差数列中的一项。
41-25=16,
25-13=12.
12,16的最大公因数是4,说明4必是此等差数列的公差的倍数,
设4=nd（n为正整数）,
2009=1968+41=41+4*492=41+492nd,
所以2009为此等差数列中的一项
不妨设A（a,13）,B（b,25）,C（c,41）,D（x,2009）,其中a,b,c为正整数,
因为该数列为正无穷等差数列,显然有c>
b>
a,
而要证明2009也在该正无穷等差数列中,只要去证明A,B,C,D四点共线,且x为正整数.
因为当x=164（b-a）+c时,AB与CD的斜率相等,即A,B,C,D四点共线,而此时的x肯定是正整数.
从而可知2009是该数列的第164（b-a）+c项！
一点补充：
公差可以为负的，但是是同理的．认为公差一定是正的是不妥的．
北京大学2009自主招生的最后一道数学试题怎么解？
=6为优秀者，且不是所有人答对题数奇偶性相同，问不合格者多还是优秀者多
“且不是所有人答对题数奇偶性相同”
什么意思？
那么只有一人答对4题，其它都答对3题，也满足“且不是所有人答对题数奇偶性相同”吧？
不合格多。
优秀者都没有。
答案是不及格的多
请您证一道2008年北大自主招生笔试数学试题
已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,
a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3
若已知min{a1,a2,a3}<
=min{b1,b2,b3}
求证：
max{a1,a2,a3}<
=max{b1,b2,b3}
这个也不算很难嘛~
设a1+a2+a3=b1+b2+b3=p
a1a2+a2a3+a1a3=b1b2+b2b3+b1b3=q
再设a1a2a3=m,b1b2b3=n
那么a1,a2,a3、b1,b2,b3分别是方程
x^3-px^2+qx-m=0
x^3-px^2+qx-n=0的解
画出f（x）=x^3-px^2+qx图像，然后画出y=m，y=n的直线，交点即为a1,a2,a3、b1,b2,b3
由于式子是完全对称的，可以假设a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3
这样，a1,b1、a3,b3必然在f（x）的两个增区间内
由于a1,b1都在f（x）左边的增区间内，显然当a1≤b1的时候，有f（a1）=m≤n=f（b1）
而a3,b3在f（x）右边的增区间内，当f（a3）=m≤n=f（b3）的时候，必然有a3≤b3
证明完毕~~
86、C
举几个例子就知道了
最简单的三角形
A:
1+i，B:
1+i,C:
1+i+i^2=i
显然z=0不在三角形上
1+i,B:
1-i,C:
i
z=0在三角形边上
91、最大边为11，设最小边为a,另一边为b
那么
a=1时，b=11
a=2时b=10,11
a=3,b=9,10,11
a=4,b=8,9,10,11
a=5,b=7,8,9,10,11
a=6,b=6,7,8,9,10,11
a=7,b=7,8,9,10,11
a=8,b=8,9,10,11
a=9,b=9,10,11
a=10,b=10,11
a=11,b=11
总共36个
92、设DE、DF和AC交点为M、N
易证M、N为AC三等分点，S△ADM+S△ACN=（2/3）S△ACD=1/3
S△AME=S△CNF=（1/3）*（1/2）*S△ABC=1/12
S五边形EBFNM=S△ABC-S△AME-S△CNF=1/2-1/6=1/3
S阴影=1/3+1/3=2/3
82、设面AMN和A1C1交点P，易证A1P/C1P=2，设整个三棱柱体积为1
作平面PBB1，这个平面和AC交于P1，那么小部分的体积可以分成V四棱锥P-A1B1BA和V三棱锥M-PNB1
易证V三棱柱A1B1P-ABP1=2/3
V四棱锥P-A1B1BA=（3/4）*（2/3）*V三棱柱A1B1P-ABP1=1/3
V三棱锥M-PNB1=（1/3）*（S△B1PN*B1M）=（1/3）*（1/6）*（1/2）=1/36
V小部分=1/3+1/36=13/36
V小部分/V大部分=13/23
83、
所以g（x）的最小值为
因此有
2008年北大自主招生笔试数学试题
六边形AB1CA1BC1中，AB1=B1C，CA1=A1B，AC1=BC1
，角A+角B+角C=角A1+角B1+角C1,求证三角形ABC面积是六边形面积的一半
一道自主招生试题（复旦）
x,y,z为实数，（x^2+1）（y^2+2）（Z^2+8）=32xyz，求x^2+y^2+z^8
x,y,z为实数，（x^2+1）（y^2+2）（Z^2+8）=32xyz，求x^2+y^2+z^2的值
题目打错了
真是太不好意思了
分析过程自己看着办吧
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2008-11-2309:
09
[本帖最后由hnsredfox_007于2008-11-2309:
09编辑]
那就c<
a+b,a<
b+c一起来啊
把不等式整理成m和x/y的式子下面就是恒成立问题
啊~~为什么是c<
b+c呢?
而不是我说的2min{a,b,c}>
max{a,b,c}
2，3，4可以构成三角形吧
但是2min{2，3，4}=max{2，3，4}啊
换句话说
你这个不是构成三角形的充要条件啊
可是有这样一个题:
Snap1.gif（1.52KB）
2008-9-1519:
47
解答就是2minf（x）>
maxf（x）
这个应该不对吧？
4，6，9可以构成三角形吧
但是2min{4，6，9}<
max{4，6，9}啊
如果求所有的m的话，是有难度
但取m=1
显然a>
c
b+c>
a
难道这个条件还不能保证a,b,c构成三角形？
m取值区间为：
（2-sqrt（3）,2+sqrt（3））
构成三角形的充要条件为：
a-b<
c<
a+b
用这个即可求出m的范围只需注意到a²
-b²
=c²
/m²
，再利用楼上的条件即可
可以无视x,y
一道与08清华自主招生极相似的不等式题
截图00.gif（2.92KB）
2008-9-522:
04
曾记得某位高人说过把a1,a2,a3看成一个三次方程的根..然后很快就证明了..但是我忘记了那方法..请高手们指点一下!
一道复旦大学2006年自主选拔的题目
函数y=2x+根号（1-2X）的最值为______。
清华自主招生数学试题
证明：
任意给定一个四面体，则至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。
以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。
第一题，四面体上我们总能找到一条最长的棱（有多条的话任选），记为a
与a相关联的两个面，当然是两个三角形，我们对应的，把边分别记为b、c和b'
、c'
，a,b,c和a,b'
c'
已构成三角形，假如a,b,b'
和a,c,c'
都不能构成三角形，注意到a是最长的，我们有：
a;
b'
+c'
>
b+b'
<
c+c'
这是矛盾的
1、设四面体ABCD中AB=a、AC=b、AD=c、CD=p，DB=q，BC=r，若一顶点发出的三棱不能构成一三角形，则必定有
a≥b+c，a≥q+r，b≥a+c，b≥p+r，c≥a+b，c≥p+q，
p≥b+r，p≥c+q，q≥a+r，q≥c+p，r≥a+q，r≥b+p，
十二个不等式相加，并同时两边除以2，得
a+b+c+p+q+r≥2（a+b+c+p+q+r），
这显然是不成立的，因此必定有一顶点发出的三棱能构成一个三角形。
若一顶点发出的三棱能构成一三角形
你是不是一时疏忽设AC为四面体最长边则BA+BC>
AC,DA+DC>
AC
相加得（BA+DA）+（BC+DC）>
2AC
则两组中到少有一组大于AC，那一组就是所求三解形
第二题是minkowski定理的特例（那个定理说，对于平面单位正方形点格，以某个格点为对称中心面积大于4的平面凸区域其内部至少包含3个格点），Hilbert在他的直观几何一书里面给出特殊情形：
以某个格点为中心边长为2的正方形，其内部或边上还有一个格子点（由对称性，有一个就肯定还有另一个），那个证明好像占了1页多，本题长方形情形比Hilbert书里面的要稍微一般一点，不知有没有什么其他的妙法用直线法线式。
设矩形两边方程为xcosa+ysina±
p=0，由于面积为4,
则另两边为-xsina+ycosa±
1/p=0
不妨设p>
0,a为锐角，根据对称性，只需证（1,1）,（1,-1）都在矩形外矛盾便可。
只要代两式，相乘便可得-（sina-cosa）^2>
=1要证覆盖了另外两个点，你说（1,1）和（1,-1）不会都在矩形内，怎么说有一个点在矩形内？
为什么一些名校都热衷于自主招生，上个世纪是几乎没有的事
原因在于高考，数学高考试卷的难度已经远远不能适应这些名校对生源的要求了，于是只好另起炉灶
为了掩盖扩招的失败，只好改教材，为证明教材改得成功，只好降低高考难度，低到以前会考的难度
名校吃了几年生源亏之后，觉醒了，跳出这个循环，另起炉灶了
鼓吹教育产业化的官僚们应该统统下台．
大学应该是优质学生的专利，而不是有钱人的专利，尤其是名牌大学北大自主招生第5题
5（理科）O-XYZ坐标系内
xoy平面系内0<
=y<
=2-x^2绕y轴旋转一周构成一个不透光立体
在点（1,0,1）设置一光源
xoy平面内有一以原点为圆心的圆C
被光照到的长度为2π
求C上未被照到的长度
2.jpg（11.86KB）
2008-1-910:
20
[本帖最后由oldgun于2008-1-910:
20编辑]
请教个问题
游戏（如图）玩法：
现有中间带孔的圆木片，
这些圆木片以从大到小的次序穿在一根竹竿A上，
现在的任务是将这堆圆木片穿到其他一根竹竿
（B或C）上，但必须遵循如下规则：
①圆木片只能一一搬动；
②大的木片只能放在小的木片下面；
③搬动的次数尽可能少。
现用表示把块圆木片移动到另一根竹竿上
至少需要移动的次数，如则，
数列的通项公式为_____________
an应该是２的n次方减１吧
f
（1）=1,
f
（2）=3,
f（3）=7,
且f（k+1）=2*f（k）+1。
f（n）=2^n-1
这题做得很郁闷,最后还没得到答案,不知道是题错了还是我完全想错了.
这里尽量避免用空间解析几何以及微分几何的东西，先看旋转前
2.bmp（91.93KB）
2008-1-522:
21
这里紫色的，是抛物线及y=0框起来的部分，旋转体的一个截面，蓝色的是过抛物线两个端点的切线，与y轴交于（0,4），我应该没算错吧。
绕y轴旋转后，对每一个a：
平面y=a（0<
=a<
=2）截旋转体所得的截面都是圆，特别的，y=0也就是xoz平面，截面上圆周的方程为x^2+z^2=2
（y=0），而点光源（1,0,1）恰好就在这个圆周上。
1.bmp（568.27KB）
3.bmp（584.36KB）
于是可以知道，过该点有一条切线通过点（0,4,0），而限制在xoz平面，过该点作x^2+z^2=2的切线，x轴上的截距是2，也就是（2,0,0）这个点，于是对于整个旋转体来说，过（1,0,1）的切平面与xoy平面至少有两个交点：
（0,4,0）与（2,0,0），所以切平面和xoy平面的交线是2x+y=4。
平面xoy上，所有y<
0的区域，显然都是光线照得到的（因为旋转体整个在xoz平面及其上方），对于y>
0的区域，则只有在直线2x+y=4的上方，也就是2x+y>
4的部分能被光线照到。
所以，现在就是找这样的圆，在可照到的区域所有的弧长之和是2π，容易知道圆半径比2小，但是接下来的方程没法用代数解，所以做不下去了
4.bmp（360.81KB）
大家帮忙看看，哪里出问题了？
恩,是Mathematica画的,同一个图,转了转方向贴了两个上来
方程：
我用Mathematica帮助算了一下,到了这里,呃....还没化简,...是不是一样的?
超越.gif（72.79KB）
2008-1-523:
43
北大自主招生第三题
[本帖最后由oldgun于2008-1-422:
58编辑]
附件
1.gif（4.41KB）
2008-1-422:
58
[公告]2006届清华大学自主招生数学试题，解解看！
8、在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC+BD的最大值，并证明．
复旦自主招生题目：
定义域为（0,1），值域为[0,1]，而且对任意一个x属于（0,1），都有且只有一个f（x）属于[0,1]与之对应。
请举出两个这样的函数。
（1）3,I=i/3根号3
（3）0
（4）{1,2,3}
（6）1/2
（2）第二题也可以考虑应用三角换元法去解：
即令a=（cosx）^2,b=（sinx）^2,代入所求式，利用配方及二倍角公式，转化为区间上二次函数值域的求法去解决，也很简单啊！
第8题很奇怪，但既然是清华出的，又不能说它有错。
不是常规认为的正四面体，此时AC+BD=1/3（定长）
可以构造一四面体，AC+BD→1/2（定长）
从研究平面四边形对角线长度着手。
用条件概率思路做。
设取n个整数
第1个数为偶数概率0.5
第1个数不是偶数，第2个数是偶数概率0.5×
0.5
前2个数不是偶数，第3个数是偶数概率0.5×
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