几何中的最短距离docWord文件下载.docx

1、点到直线的距离是垂线段的长度，则垂线段最短。%1.【基本图形结构】1.泵站问题（张庄李庄一条河）：河边有两村庄A、B,共同出资要在河边建立一个供水站，向两村庄供水，以解决两村民的用水 问题。如图，PA、PB为管道，为了节约资金，使管道的总长最短，即PA+PB最短，问泵站P应建在 河边的什么位置？ .这是基本的结构模型，在不同的地方有不同的叙述，如下：饮马问题早在古罗马时代，传说亚历山大城有.一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马 将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营B出发，先到河边饮马， 然后再去河岸同侧的A地开会，应该怎样走才能使路程最短？问题是一样的

2、，解决的方法如下：作A关于河m的对称点A,连接A B与河n】的交点0,则0为 所求的点。如何证明？连接AP.A抓住基本图形的几个关键点，两个不动点，一条不动直线，不动点的对称点。2.某地有两条河0M和ON,两诃的夹角内有一工厂P,计划在0M河边A处和ON河边B处各修建一个 码头，再修建公路PA、PB、AB,连接三处方便运送物资，为了使公路总长最小，即PA+PB+AB之和 最小，则AB应选在什么地方？3.如图所示，匕MON内有两点P、Q,分别在OM、ON上作点A、B,使四边形PABQ的周长最小，则A、 B应在OM、ON什么位置，并证明。4.如图，ZM0N外有一点A,在射线0M上找一点P,使P到射

3、线ON的距离与PA的和最小。如果点A 在的内呢？%1.【典型题例】（一）实践运用：1.如图，甲、乙两个单位分别位于-条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥.问:（1） 桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）.（2） 桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？2.如图，两个村庄A和B在河m的一侧，村庄A和B实现畅通工程，必经过一座桥CD, CD为定长&, 请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距离最小，即AC+CD+DB的和为最小。3.如图是一个台球桌，上面有一个白球A,红球B,和黑球C,三球在一条直线上，现在要用球杆击 中白球，并让白球撞击桌边反弹后击中红球，且不能碰到

4、黑球，请你设计一下白球的运动路线.C.（二）三角形1.如图，在等边ZABC中，AB=6, AD1BC ,E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE二2,求ME+MC 的最小值。2.如图，在锐角zXABC中，AB=4扼，NBAC二45“，ZBAC的平分线交BC于点I）, M、N分别是AD和AB的动点,则求BM+MN的最小值。3.如图,A ABC中,AB=2, ZBAC=30 ,若在AC、AB上各取一点M、N, BM+MN的值最小,求最小值。4.如图，AABC 中，BC=4,AC = 2j, ZACB = 60 , P 为 BC 上一点，过点 P 作 PD/AB,交 AC 于D。连结AP,问点P在

5、BC上何处口寸，ZAPD面积最大？ （三）正方形矩形菱形1.如图，已知正方形ABCD的边长是8,点E在BC边上，且CE=2,点P是对角线BD上的一个动点, 求PE+PC的最小值.2.如图所示，正方形ABCD的面积为12, AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD + PE的和最小，则这个最小值为（ ）A. 23 B. 2/6 C. 3 D. V63.在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则PBQ周长的最小值为 cm （结果不取近似值）。4.如图，四边形ABCD是正方形，AB = 10cm, E为边

6、BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE 的最小值；5.如图，四边形ABCD是矩形，AB二10cm, BC二20cm, E为BC上的一个动点，P为BD上的一个动点， 求PE+PC的最小值。6.已知直角梯形刀时中，AD/BC ABLBC, A42, BODg,点夕在 必上移动，则当0+仞取最小值时，仞中边4P上的高为（ ）a. 2而 b、Vn c、 A Tn 、317 17 177.如图，四边形ABCD是菱形,AB=10cm, ZABC=45, E为BC边上的一个动点,P为BD上的一个动 点,求PC+PE的最小值。（四）圆1.如图，己知。0的直径MN=1,点A在圆上，旦ZAMN的度数为30

7、，点B是弧AN的中点，点P2.如图，MN是半径为1的。的直径，点A在。上，ZAMC=30 , B为AN弧的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB的最小值是多少？3.如图，既、69是半径为5的的两条弦，AB= 8, CD= 6,御是直径，ABLMN于点8, CDV MN干点F, P为EF上的任意一点，则用+也的最小值为.（五）坐标系中1.如图，在直角坐标系中，x轴上的动点M （x, 0）到两点P （5, 5）, Q（2, 1）的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,在x轴上作出M点,并求点M的坐标以及MP+MQ的最小值. P（5.5）旭，0）.g 0）2.如图，当四边形PABN的

8、周长最小时，a二3.已知，A（-1,O）, B（3, 0）, C（O, -3）, 点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，求M的坐标。（%1）一次函数一次函数y = kxb的图象与x、*轴分别交于点A （2, 0）, 3（0, 4）.（1）求该函数的解析式；（2）。为坐标原点，设以、48的中点分别为C D, P为OB上一动点，求 /T+/少的最小值，并求取得最小值时尸点坐标.（%1）二次函数1.如图，抛物线y = x2+bx-2与工轴交于两点，与y轴交于C点，且A（-1,O）.（1）求抛物线的解析式及顶点。的坐标；）（2）判断的形状，证明你的结论；（3）点M（?,O）是x轴上的一个动点，当M

9、C + MD的值最小时，求7的值.B2.如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以2右为半径的。A与X轴相交于点8, C ,与y轴相交于点）, E.（1）若抛物线y = +bx + c经过C,。两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线 上；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P,使得P8D的周长最小；3.如图，已知抛物线过点D（0, %）,且在x轴上截得一线段AB长为6,若顶点C的横坐标为4.9（1）求二次函数的解析式； 在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小，求出点P的坐标；3.（昌平二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm,点、A、C分别在 y轴

10、和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点4、8和。（4,-）.3（1） 求抛物线的解析式；（2） 在抛物线的对称轴上找到点M,使得M到。、B的距离之和最小，求出点M的坐标；5.（2012山西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= - x2+2x+3与x轴交于A. B两点，与y轴 交于点C,点D是该抛物线的顶点.（1） 求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2） 点P是x轴上一个动点，过P作直线1AC交抛物线于点Q,试探兖：随着P点的运动，在 抛物线上是否存在点Q,使以点A. P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.（3）

11、请在直线AC上找一点M,使BDM的周长最小，求出M点的坐标.一动点，则EF+BF的最小值是多少？延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD中zZDAB=600, E为AB的中点，F是AC 上延 伸五:在直角坐标系XOY中x轴上的动点M（x,0）到定点P（5, 5）, Q （2, 1）的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐 标x=?2）实践运用（3）拓展迁移如图，已知抛物线y=ax2+bx+c （aO）的对称轴为x=1,旦抛物线经过A （1, 0）、C （0, -3）两点，与x轴交于另一点B.%1求这条抛物线所对应的函数关系式；%1在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,

12、使左ACM周长最小，请求出此时点M的 坐标与ACM周长最小值.（结果保留根号）（4）图三、中考题如图，己知RtAABC , R是斜边AB的中点，过0作D.E, AC于E,连结交CQ于0 ；过0作D2E21 AC于旦，连结B鸟交C0于。3；过已作D3E3 A C于五3,，如此继续，可以依次得到点。4，D,D”分别记 BDxEv/BD2E29/BD3E3, /BDnEn的面积为S, S” S3, -SnMSn=S湖（用含的代数式表示）.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边0A在y轴的正半轴上，0C在x的正半轴 上，0A=2, 0C=3,过原点0作ZAOC的平分线交AB与点D,连接DC.过点D

13、作DE_L DC交OA与点E.%1求过点E, D, C的抛物线的解析式.%1将NDEC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线 段0C交于点G.如果DF与第（1）题中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为朋, 那么EF=2G0是否成立？请说明理由.%1对于第（2）题中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线 GQ与AB的交点P与点C, G构成的APCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标; 若不存在，请说明理由.四、链接中考1、（荆门中考）一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A （2, 0）, B （0, 4）。（2） 0为坐标原点，设0

14、A、AB的中点分别为C、D, P为0上一动点，求 PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。2、（2011-济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河 道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后，工程人员设计图纸时， 以河道上的大桥0为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）.两村的坐标分别 为 A （2, 3）, B （12, 7）.（1） 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥哦多远的地方可使所用输水管道最短？（2） 水泵站建在距离大桥哦多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？3在平面直角坐标系中，有A, B两个点，其中A （-6,3）, B（-2,5）。 （1）若一只青蛙从A点跳到x轴上一点P处，再从P点跳到B点，则青蛙所跳的路程最短时点P的坐标是（）。（2）若这只青蛙先从A点出发跳到B点，再从B点跳到y轴上的C点，继续从C点跳到x轴上的D 点，最后从D点回到A点（青蛙每次所跳的距离不一定相等），当青蛙四步跳完的路程最短时，直线 CD的解析式是（）