几何中的最短距离docWord文件下载.docx

几何中的最短距离docWord文件下载.docx

《几何中的最短距离docWord文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何中的最短距离docWord文件下载.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

点到直线的距离是垂线段的长度，则垂线段最短。

%1.【基本图形结构】

1.泵站问题（张庄李庄一条河）：

河边有两村庄A、B,共同出资要在河边建立一个供水站，向两村庄供水，以解决两村民的用水问题。

如图，PA、PB为管道，为了节约资金，使管道的总长最短，即PA+PB最短，问泵站P应建在河边的什么位置？

.

这是基本的结构模型，在不同的地方有不同的叙述，如下：

饮马问题

早在古罗马时代，传说亚历山大城有.一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天从军营B出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的A地开会，应该怎样走才能使路程最短？

问题是一样的，解决的方法如下：

作A关于河m的对称点A'

连接AB与河n】的交点0,则0为所求的点。

如何证明？

连接A'

P.

A'

抓住基本图形的几个关键点，两个不动点，一条不动直线，不动点的对称点。

2.某地有两条河0M和ON,两诃的夹角内有一工厂P,计划在0M河边A处和ON河边B处各修建一个码头，再修建公路PA、PB、AB,连接三处方便运送物资，为了使公路总长最小，即PA+PB+AB之和最小，则AB应选在什么地方？

3.如图所示，匕MON内有两点P、Q,分别在OM、ON上作点A、B,使四边形PABQ的周长最小，则A、B应在OM、ON什么位置，并证明。

4.

如图，ZM0N外有一点A,在射线0M上找一点P,使P到射线ON的距离与PA的和最小。

如果点A在的内呢？

%1.【典型题例】

（一）实践运用：

1.如图，甲、乙两个单位分别位于--条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥.问:

（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？

（注：

桥必须与街道垂直）.

（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？

2.如图，两个村庄A和B在河m的一侧，村庄A和B实现畅通工程，必经过一座桥CD,CD为定长&

请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距离最小，即AC+CD+DB的和为最小。

3.

如图是一个台球桌，上面有一个白球A,红球B,和黑球C,三球在一条直线上，现在要用球杆击中白球，并让白球撞击桌边反弹后击中红球，且不能碰到黑球，请你设计一下白球的运动路线.

C.

（二）三角形

1.如图，在等边Z\ABC中，AB=6,AD1BC,E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE二2,求ME+MC的最小值。

2.如图，在锐角zXABC中，AB=4扼，NBAC二45“，ZBAC的平分线交BC于点I）,M、N分别是AD和

AB的动点,则求BM+MN的最小值。

3.如图,AABC中,AB=2,ZBAC=30°

若在AC、AB上各取一点M、N,BM+MN的值最小,求最小值。

4.如图，AABC中，BC=4,AC=2j§

ZACB=60°

P为BC上一点，过点P作PD//AB,交AC于D。

连结AP,问点P在BC上何处口寸，ZAPD面积最大？

（三）正方形矩形菱形

1.如图，已知正方形ABCD的边长是8,点E在BC边上，且CE=2,点P是对角线BD上的一个动点,求PE+PC的最小值.

2.如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2^3B.2>

/6C.3D.V6

3.在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,

则△PBQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）。

4.如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm,E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

5.如图，四边形ABCD是矩形，AB二10cm,BC二20cm,E为BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PE+PC的最小值。

6.已知直角梯形刀时中，AD//BCABLBC,A42,BODg,点夕在必上移动，则当0+仞取最

小值时，仞中边4P上的高为（）

a.2而b、—Vnc、ATn〃、3

171717

7.如图，四边形ABCD是菱形,AB=10cm,ZABC=45°

E为BC边上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值。

（四）圆

1.如图，己知。

0的直径MN=1,点A在圆上，旦ZAMN的度数为30°

，点B是弧AN的中点，点P

2.如图，MN是半径为1的。

。

的直径，点A在。

上，ZAMC=30°

B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是多少？

3.如图，既、69是半径为5的的两条弦，AB=8,CD=6,御是直径，ABLMN于点8'

CDVMN干点F,P为EF上的任意一点，则用+也的最小值为.

（五）坐标系中

1.如图，在直角坐标系中，x轴上的动点M（x,0）到两点P（5,5）,Q（2,1）的距离分别为MP和

MQ,那么当MP+MQ取最小值时,在x轴上作出M点,并求点M的坐标以及MP+MQ的最小值.

•P（5.5）

旭，0）.\g\0）

2.如图，当四边形PABN的周长最小时，a二

3.已知，A（-1,O）,B（3,0）,C（O,-3）,点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，求M

的坐标。

（%1）一次函数

一次函数y=kx^b的图象与x、*轴分别交于点A（2,0）,3（0,4）.

（1）求该函数的解析式；

（2）。

为坐标原点，设以、48的中点分别为CD,P为OB上一动点，求/■T+/少的最小值，并求取得最小值时尸点坐标.

（%1）二次函数

1.如图，抛物线y=^x2+bx-2与工轴交于两点，与y轴交于C点，且A（-1,O）.

（1）求抛物线的解析式及顶点。

的坐标；

）

（2）判断的形状，证明你的结论；

（3）点M（〃?

O）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求〃7的值.

B

2.如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以2右为半径

的。

A与X轴相交于点8,C,与y轴相交于点£

）,E.

（1）若抛物线y=^+bx+c经过C,。

两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；

（2）在

（1）中的抛物线的对称轴上求一点P,使得△P8D的周长最小；

3.如图，已知抛物线过点D（0,%）,且在x轴上截得一线段AB长为6,若顶点C的横坐标为4.

9

（1）求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小，求出点P的坐标；

3.（昌平二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm,点、A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点4、8和。

（4,-）.

3

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找到点M,使得M到。

、B的距离之和最小，求出点M的坐标；

5.（2012山西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

（1）求直线AC的解析式及B・D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线1〃AC交抛物线于点Q,试探兖：

随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；

若不存在，请说明理由.

（3）请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小，求出M点的坐标.

一动点，则EF+BF的最小值是多少？

延伸四：

如图所示，在边长为6的菱形ABCD中zZDAB=600,E为AB的中点，F是AC上

延伸五:

在直角坐标系XOY中x轴上的动点M（x,0）

到定点P（5,5）,Q（2,1）的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=?

2）实践运用（3）拓展迁移

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a^O）的对称轴为x=1,旦抛物线经过A（・1,0）、C（0,-3）两点，与x轴交于另一点B.

%1求这条抛物线所对应的函数关系式；

%1在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使左ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值.（结果保留根号）

（4）图

三、中考题

如图，己知RtAABC,R是斜边AB的中点，过0作D.E,±

AC于E〔,连结交CQ于0；

过0作D2E21AC于旦，连结B鸟交C0于。

3；

过已作D3E3±

AC于五3,…，

如此继续，可以依次得到点。

4，D’,…,D”分别记△BDxEv/\BD2E29/\BD3E3,/\BDnEn

的面积为S],S”S3,-SnMSn=S△湖（用含〃的代数式表示）

.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边0A在y轴的正半轴上，0C在x的正半轴上，0A=2,0C=3,过原点0作ZAOC的平分线交AB与点D,连接DC.过点D作DE_LDC交OA与点E.

%1求过点E,D,C的抛物线的解析式.

%1将NDEC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段0C交于点G..如果DF与第

（1）题中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为朋,那么EF=2G0是否成立？

请说明理由.

%1对于第

（2）题中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C,G构成的APCG是等腰三角形？

若存在，请求出点Q的坐标;

若不存在，请说明理由.

四、链接中考

1、（荆门中考）一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A（2,0）,B（0,4）。

（2）0为坐标原点，设0A、AB的中点分别为C、D,P为0上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。

2、（（2011-济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥0为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）.两村的坐标分别为A（2,3）,B（12,7）.

（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥哦多远的地方可使所用输水管道最短？

（2）水泵站建在距离大桥哦多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

3\在平面直角坐标系中，有A,B两个点，其中A（-6,3）,B（-2,5）。

（1）若一只青蛙从A点跳

到x轴上一点P处，再从P点跳到B点，则青蛙所跳的路程最短时点P的坐标是（）。

（2）若这只青蛙先从A点出发跳到B点，再从B点跳到y轴上的C点，继续从C点跳到x轴上的D点，最后从D点回到A点（青蛙每次所跳的距离不一定相等），当青蛙四步跳完的路程最短时，直线CD的解析式是（）