对策问题(四年级)Word文档下载推荐.doc

1、（是否还是抢4呢？）例题2. 两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次类推，甲取的与乙取的之和为8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，第7根就能保证获胜。所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移

2、走7根火柴。例题3. 有1987粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。例题4. 桌面上有1999根火柴，甲乙两

3、人轮流地取1根或2根火柴，谁取到最后一根火柴为胜。问获胜的策略是什么？解：甲先取1根，此后乙若取a根（1a2），则甲取3a根，如此下去甲必胜。例题5. 甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的自然数。把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜。甲欲取胜有何策略？甲欲获胜先报7，此后乙若报a（1a8）,甲就报9a，如此下去甲必获胜。也就是说：先报的第一次报到7,以后先报者根据对方报的数再报“凑够9”的数，这样先报者就先报到88了。练习1：1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒，谁取到最后一粒的是胜利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？2、有19

4、97根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取胜的策略是什么？3、盒子里有47粒珠子，两人轮流取，每次最多取5粒，最少取1粒，谁最先把盒子的珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后，谁胜？例题6. 两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。对一般情况可以化为

5、特殊情况。甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数相同。然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获胜。说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。例题7. 有两个箱子分别装有63、108个球。甲、乙两个轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一个球的为胜。甲先取，他应该如何取才能获胜？甲先从108个箱子里取出45个，此后乙从任意一箱中取a个，甲便从另一箱中也取a个，甲一定获胜。例题8. 在黑板上写有999个数：2，3，4，1000。甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数

6、互质，则甲胜，否则乙胜。谁必胜？必胜的策略是什么？根据“相邻的两个数比互质”。甲先擦去1000，剩下的998个数，分为499个数对：（2，3），（4，5），（6，7），（998，999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。练习2：1、甲、乙两人轮流从分别写有1，2，3，99的99张卡片中任意取走一张，先取卡的人能否保证在他取走的第97张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？2、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3，100，101勾去九个数

7、。经过这样的11次删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是55，这时判第一个勾数的人获胜。问第一个勾数的人能否获胜？获胜的策略是什么？3、在黑板上写n1（n3）个数：2，3，4，n。甲、乙两人轮流在黑板上擦去一个数。如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。N分别取什么值时：（1）甲必胜？（2）乙必胜？例题9.甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。这里关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验。甲不能写1，否则乙写6，乙可获胜；甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获

8、胜；甲不能写4，9，10，否则乙写6，乙可获胜。因此，甲先写6或8，才有可能获胜。例题10. 甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。游戏规则：不允许写黑板上已写过的数的约数。轮到谁无法写数时，就是输者。现甲先写，乙后写，问谁能获胜？需要什么对策？仍然利用对称原理。抢先给对方制造一个对称。只要甲先写6. 解：甲先写6。乙还有4、5、7、8、9、10六个数可以选择。把他们分成三组（4,5）、（8,10）、（7,9）。乙写某组数中的一个时，甲就写同组数中的另一个，从而一定获胜。甲可以获胜。如甲写6，去掉6的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10这六个数中的一个，将这六个数分成（4，

9、5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。练习3：1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数。书写规则是：不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取什么对策？2、甲、乙两人轮流从分别写有3，4，5，11的9张卡片中任意取走一张，规定取卡人不能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁就输。现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？应采取的对策是什么？例题11. 把16枚棋子排成一行。甲、乙两人轮流从这一行中取走棋子。每人每次可以取走紧挨着的两枚（如果两枚棋子当中已经有其他棋子被取走，这两枚棋子就不算紧

10、挨着，也就不能同一次取走）。如果在甲方取走棋子后，乙方再也找不出紧挨着的两枚棋子可取，就算甲方获胜，甲有获胜的办法吗？甲先取出正中央两枚，此时两边被平分为各7个，乙从一边取出两个，甲便从另一边对称处也取出2个。这样下去，甲一定获胜。例题12. 两人轮流在国际象棋盘的空格内放入“象”。一方为黑棋，一方为白棋。任何一方放入“象”时，要保证不被对方已放的“象”吃掉。谁先无法放棋子为输。必胜策略是什么？后走者必胜。以棋盘的一条竖直平分线为对称轴，当先走者将“象”放在任何一个位置上，后走者都可将“象”放在与它对称的位置上。例题13. 一张310的长方形网格纸有30个小方格。甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线

11、剪一刀。（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜。甲要想获胜，有何策略？送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形，知道取胜为止。甲先剪下73的一块，把33的那块送给乙。乙只能剪成13和23的两块。若送给甲13的那块，正好使甲剪下12而获胜。若送给甲23的那块，那么甲再一刀剪成12和22的两块，把22的送给乙。乙只可能切成12的两块。其中一块送给甲，甲还是获胜。例题14. 在44的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。甲、乙二人玩游戏。由甲开始，二人交替地移动这粒石子。

12、每次只能向上、向右或向右上方移动一格。谁把石子移到右上角谁胜。问甲要取胜的策略是什么？要占领右上角必须先占领图中打点的格子，甲先走入打点的格子，乙无论如何走，甲都可以再走入打点的格子，甲一定胜。练习4.1、在55的棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下对角线走一格。两人交替走，谁为胜者。2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样才能取胜？3、两人轮流在33的方格中画“”和“”，规定每人每次至少画一格，至多画三格，所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。谁有获胜的策略？4、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是1至8之内的自然数。把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？5、图中是一张29棋盘。甲置白子于A位，乙置黑子于B位。随后两人轮流走子，每一步可沿一条横线或一条竖线中的一条至少走一格，并遵循如下规则：（1）不允许和对方棋子处于同一条横线或竖线。（2）不能越过对方棋子所在的横线或竖线。（3）轮到谁的棋子无法移动就算失败，若甲先走，甲有胜乙的办法吗？第 4 页 共 4 页