对策问题(四年级)Word文档下载推荐.doc

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（是否还是抢4呢？

）

例题2.两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：

两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止。

挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。

如果开始时有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。

先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。

设先移的人为甲，后移的人为乙。

甲要取胜只要取走第999根火柴。

因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；

如乙取2根甲就取6根。

依次类推，甲取的与乙取的之和为8根火柴）。

由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保证获胜。

所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。

例题3.有1987粒棋子。

甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。

现在两人通过抽签决定谁先取。

你认为先取的能胜，还是后取的能胜？

怎样取法才能取胜？

从结局开始，倒推上去。

不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。

如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。

因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。

不妨设甲先取，则甲能取胜。

甲第一次取2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。

例题4..桌面上有1999根火柴，甲乙两人轮流地取1根或2根火柴，谁取到最后一根火柴为胜。

问获胜的策略是什么？

解：

甲先取1根，此后乙若取a根（1≤a≤2），则甲取3－a根，如此下去甲必胜。

例题5.甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的自然数。

把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜。

甲欲取胜有何策略？

甲欲获胜先报7，此后乙若报a（1≤a≤8）,甲就报9－a，如此下去甲必获胜。

也就是说：

先报的第一次报到7,以后先报者根据对方报的数再报“凑够9”的数，这样先报者就先报到88了。

练习1：

1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒，谁取到最后一粒的是胜利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？

2、有1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。

甲有获胜的可能吗？

取胜的策略是什么？

3、盒子里有47粒珠子，两人轮流取，每次最多取5粒，最少取1粒，谁最先把盒子的珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后，谁胜？

例题6.两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。

甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？

这是另一类对策游戏。

我们先考虑特殊情况。

当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。

对一般情况可以化为特殊情况。

甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数相同。

然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获胜。

说明：

当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。

例题7..有两个箱子分别装有63、108个球。

甲、乙两个轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一个球的为胜。

甲先取，他应该如何取才能获胜？

甲先从108个箱子里取出45个，此后乙从任意一箱中取a个，甲便从另一箱中也取a个，甲一定获胜。

例题8.在黑板上写有999个数：

2，3，4，……，1000。

甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。

谁必胜？

必胜的策略是什么？

根据“相邻的两个数比互质”。

甲先擦去1000，剩下的998个数，分为499个数对：

（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）。

可见每一对数中的两个数互质。

如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。

所以，甲必胜。

练习2：

1、甲、乙两人轮流从分别写有1，2，3，……，99的99张卡片中任意取走一张，先取卡的人能否保证在他取走的第97张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？

2、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3，……，100，101勾去九个数。

经过这样的11次删除后，还剩下两个数。

如果这两个数的差是55，这时判第一个勾数的人获胜。

问第一个勾数的人能否获胜？

获胜的策略是什么？

3、在黑板上写n—1（n＞3）个数：

2，3，4，……，n。

甲、乙两人轮流在黑板上擦去一个数。

如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。

N分别取什么值时：

（1）甲必胜？

（2）乙必胜？

例题9.甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。

如果甲第一个写，谁一定获胜？

写出一种获胜的方法。

这里关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验。

甲不能写1，否则乙写6，乙可获胜；

甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获胜；

甲不能写4，9，10，否则乙写6，乙可获胜。

因此，甲先写6或8，才有可能获胜。

例题10.甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。

游戏规则：

不允许写黑板上已写过的数的约数。

轮到谁无法写数时，就是输者。

现甲先写，乙后写，问谁能获胜？

需要什么对策？

仍然利用对称原理。

抢先给对方制造一个对称。

只要甲先写6.

解：

甲先写6。

乙还有4、5、7、8、9、10六个数可以选择。

把他们分成三组（4,5）、（8,10）、（7,9）。

乙写某组数中的一个时，甲就写同组数中的另一个，从而一定获胜。

甲可以获胜。

如甲写6，去掉6的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10这六个数中的一个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。

练习3：

1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数。

书写规则是：

不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。

现甲先写，乙后写，谁能获胜？

应采取什么对策？

2、甲、乙两人轮流从分别写有3，4，5，……，11的9张卡片中任意取走一张，规定取卡人不能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁就输。

现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？

应采取的对策是什么？

例题11.把16枚棋子排成一行。

甲、乙两人轮流从这一行中取走棋子。

每人每次可以取走紧挨着的两枚（如果两枚棋子当中已经有其他棋子被取走，这两枚棋子就不算紧挨着，也就不能同一次取走）。

如果在甲方取走棋子后，乙方再也找不出紧挨着的两枚棋子可取，就算甲方获胜，甲有获胜的办法吗？

甲先取出正中央两枚，此时两边被平分为各7个，乙从一边取出两个，甲便从另一边对称处也取出2个。

这样下去，甲一定获胜。

例题12.两人轮流在国际象棋盘的空格内放入“象”。

一方为黑棋，一方为白棋。

任何一方放入“象”时，要保证不被对方已放的“象”吃掉。

谁先无法放棋子为输。

必胜策略是什么？

后走者必胜。

以棋盘的一条竖直平分线为对称轴，当先走者将“象”放在任何一个位置上，后走者都可将“象”放在与它对称的位置上。

例题13.一张3×

10的长方形网格纸有30个小方格。

甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一刀。

（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；

乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲……如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜。

甲要想获胜，有何策略？

送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形，知道取胜为止。

甲先剪下7×

3的一块，把3×

3的那块送给乙。

乙只能剪成1×

3和2×

3的两块。

若送给甲1×

3的那块，正好使甲剪下1×

2而获胜。

若送给甲2×

3的那块，那么甲再一刀剪成1×

2和2×

2的两块，把2×

2的送给乙。

乙只可能切成1×

2的两块。

其中一块送给甲，甲还是获胜。

例题14.在4×

4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。

甲、乙二人玩游戏。

由甲开始，二人交替地移动这粒石子。

每次只能向上、向右或向右上方移动一格。

谁把石子移到右上角谁胜。

问甲要取胜的策略是什么？

要占领右上角必须先占领图中打点的格子，甲先走入打点的格子，

乙无论如何走，甲都可以再走入打点的格子，甲一定胜。

练习4.

1、在5×

5的棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下对角线走一格。

两人交替走，谁为胜者。

2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜。

如果甲先放，那么他怎样才能取胜？

3、两人轮流在3×

3的方格中画“√”和“×

”，规定每人每次至少画一格，至多画三格，所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。

谁有获胜的策略？

4、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是1至8之内的自然数。

把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？

5、图中是一张2×

9棋盘。

甲置白子于A位，乙置黑子于B位。

随后两人轮流走子，每一步可沿一条横线或一条竖线中的一条至少走一格，并遵循如下规则：

（1）不允许和对方棋子处于同一条横线或竖线。

（2）不能越过对方棋子所在的横线或竖线。

（3）轮到谁的棋子无法移动就算失败，若甲先走，甲有胜乙的办法吗？

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