高数下期中考试Word格式.docx

1、1 eD . I 0dy ey f（x,y）dx4 .函数 f （x, y）0,A .无定义 B（10分）设函数zy（10分）讨论函数 （10 分）三、四、五、在曲面sin 2（x y ）2 2x y.连续f （u,v）可微,0在点（0,0）处（ ）y2 0.有极限但不连续 D .无极限z z（x, y）是由方程z xy f （xz, yz）确定的可微函数，求f（x, y）J萄 在（0,0）处连续性、可导性、可微性.2y2上求一点p（X0,y,Z0），使它到平面 :x y 2z6 0的距离最短.六、（10分）计算I七、（10分）计算二重积分x 4sin d y d x2y 2x2 y2 d x

2、d y, D :sin_si nx 2yxdy.x2 y2 4 2八、 （4分）（学习工科数学分析者作（1）,其余作（2）r（1）求向量值函数 f （x, y, z） （xcosy, yex,sin（xz）T 的 Jacobi 矩阵.（2）求函数z f （x, 2x y, x2 3y）的梯度（f的偏导存在）.9.（6分）求抛物面z 1 x2 y2的一个切平面，使得它与抛物面及圆柱（x 1）2的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积 （2010-5-8）4分，共20分）则 dz（1,2,0）、填空题（每小题1设uxyx xyzey2 1围成t3t2tln、x2 y2 z2，贝9 grad f

3、（1,1,1），则它在t 1所对应点处的切线方程为1112xy z2，则u在点（2, 1,1）处沿方向I , 的方向导数为V 3 V3 V35计算（x2 y）d2 y2 R2二、计算题（每小题 7分,共63分）1求曲面z x2 y2 1在点（2,1,4）的切平面方程和法线方程.sin xy ,d x .11 y3 设 z xf 2x,12计算 d y，其中f具有二阶连续偏导数，求4讨论函数f （x, y） x2x20在点（0,0）的偏导数及可微性为|的细棒AB置于容器之中，试求细棒中点的最低位置（设I 1）. 6（学工科数学分析者作，其他作（2）（1）求向量值函数f2 2 2 2 1sin（x

4、 y ）,ln（x z ）,2 2W zT在点（1,1,1）T处的导数.求由方程x2 2y2Z2 4x 2z 5 0所确定的隐函数z的二阶偏导数二.y2 4,x 0, y 0.7 计算二重积分 、一 x2 y2 d ，其中 D （x,y）|2x x28若二元函数z（x, y）在xoy平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且2 dxd yD x D9设函数f（t）在0,2 f （t） e4 n三、讨论题（共1.计算二元函数2xZ x2z2 d xd y，求函数 z（x, y）.）上连续，且满足方程2 Jx2 y2 dxd y,求 f （t）.y2 4t217分）z f（x,y）在点P

5、（xo,yo）处对x的偏导数fx（Xo,yo）时,可以先将y y代 入f（x,y）中,再求一元函数f（x,yo）在X。处对x的导数,即fx（x。，y。） df（x,Yo）dx,为什么？x xq2.试通过讨论函数f （x, y） 12x2 8xy2 y4的极值点，来说明当点（x,y）在过”。他小）的 任一直线L上变动时，二元函数f（x,y）都在M0（X0,y。）处取得极值，能否断定该函数在 M0（x0,y0）处取得极值？1.填空题（每小题1.若函数 f （x, y） 2x2z ln（e x ），沿 I2.（2009-4-26）3分，共15分）ax xy2 2y在点（1, 1）处取得极值，则常数a

6、1,0方向的方向导数 .l3.4.5.曲线x cost, y sint,z tanf在点（0,1,1）处的切线方程是 交换二次积分的积分次序（其中 f（x,y）为连续函数）1 X2 2 2 x0dx。f （x, y）dy 1 dx。 f （x,y）dy设M （1, 1,2）是曲面z f （x, y）上的点，若fx（1, 1） 3 ,在任一点（x, y）处有xfx （x, y） yfy （x, y） f （x, y），则曲面在M处的切平面方程是、单项选择题（每小题4xy1.函数 f （x, y） x2 y2 A. 在原点无定义C.在原点极限不存在2.函数 f （x, y） 2xy 3x2A. 取

7、得极大值 B.3分，共15 分）2yB. 在原点极限存在但在原点无定义D. 在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值10在点 0（0,0）处（ ）0在原点（0,0）间断的原因是f（x, y）（ ）取得极小值 C. 无极值 D. 不能判定是否取得极3. 设 u arctanx贝U graduA.丄 B.（1,1）（C.（鳥4.设f（u）是连续函数，平面区域 D:0 y .1 x2（|x| 1），贝y f（x2 y2）dv （1 1 y2 2 20dy 0 f（x y ）dx12d f（ 2）d0 0其中 D （x, y）|（x 2）2 （y 2）2I2 D. I1 a2.求曲面x y 、z2上任

8、一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和1 13.计算二重积分 dx 2Xy dy.0 X2 打 3 J1 y2 2 cesin x y dxdy，其中 D （ x, y） | x6.设有一物体，它是由曲面z x2 y2和z . 8 x2 y2所围成，已知它在任意的点（x,y,z）处的密度 z，求此物体的质量m .7.（学习工科数学分析者作，学习工科数学分析者作 ）1求向量值函数f （x, y） xy的导数.zFv 0，求设函数z z（x, y）由方程F（x2 y2,y2 z2） 0所确定.其中F（u,v）可微,z zy x .8.设z f（x,$），其中f具有二阶连续偏导数，求dz及 z.四、综

9、合题（6分）在第一卦限内作旋转抛物面z 1 x2 y2的切平面，使得该切平面与旋转抛物面 z 1 x2 y2（x 0,y 0）及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标一 .解答下列各题（每小题7分,共70分）1.设 f （x, y） arcsin 匚,求 df （x, y）.6.7.设由方程求曲面z求曲线r设f连续,2y2 3z2 xy z 9 0 可确定 z z（x, y）,求-y2 1在点（2,1,4）的切平面与法线方程.（sint,t2,2t）在t 0时的切线与法线方程。交换积分次序1 dy（1, 2,1）计算二重积分.设空间立体 f （x, y, z）求 u 2xy11 y22f

10、（x, y）dx. y1）dxdy（x22 2 2x2 y2 a是由抛物面z z2.试计算它的质量. z2在点（2, 1,1）处的方向导数的最大值.（acost, as in t, kt）的曲率.sin yx2 y2及平面z h 0所围成，已知它的密度为8.9.10.（学工科数学分析者做，其它做）T,求 Df （1,1）,df （1,1）uv2 ,确定了函数 u u（x, y）和 v v（x, y）求, v设 f（x,y） （x22 x2 xy设方程组2 xy T y ,e八u（8 分）设 z f（x2y,y）,其中 f C（2）,求上,三. （ 8 分）四.五.（7 分） （7 分） 内丄设

11、 f （x,y） x2求曲面z 1 x2y y2 在点 M（1, 设函数f（x, y,z）在闭球体1丄1丄y z试求函数f （x, y,z）并证明7、解答下列各题（每小题1、 设 z f （2x y,xy），2、 设 z arctan#y ,e3、 求曲面214、 设 f x2,试研究f （x, y）在（0,0）1,3）的切平面与曲面z x2点处的连续性、可微性.:x y z f（1,1,1） 11。f （x, y,z） 13, （x, y, z）y2所围立体的体积。.3上有连续的偏导数，且满足条件：（2007 年）7分，总计70分） 其中f具有一阶连续偏导数，求dz. 2In . x2 y2

12、，求z .8 ,在M（2,2,1）处的切平面和法线方程。T，求 Df （1,1）,df （1,1）。（求 f x3 y3 3x2 3y2 的极值） z 6在（1, 2,1）处的切线和法平面方程。6.若f（r）为可微函数，其中r7 .在直角坐标系下，交换二次积分xy订5.求曲线x y2a xa a2 x22a8设有一物体由曲面z x2 y2和z . 8 x2 y2所围成，已知它在任意一点M（x,y,z） 处的密度 z，求此物体的质量。,计算 gradf （r）。f （x, y）dy的积分次序。（a 0, f连续）9.一质量分布均匀（密度为常数） 求此物体的质心坐标。10.计算 dx0 x的物体由

13、曲面z x2 y2,x2 y2 1及z 0所围成,二、（8分）设z2-e2 dy oz（x, y）由方程yf（?）确定，其中f具有一阶连续偏导数,三、（8 分）设 f （x, y）2 2 ,（x,y）（x, y）（0,0），试讨论f在点（0,0）处的连续性和可微（0,0）性.四、 （8分）在第一卦限内作旋转抛物面物面z 1 x2 y2（x 0, y 0）及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点的坐标。五、 （6分）设f（x,y）在单位圆x2 y2 1上有连续的一阶偏导数，且在边界上取值为零, dxdy，其中D为圆环域2 yz 1 x2 y2的切平面，使得该切平面与旋转抛证明:f（o,o）xf

14、x2x2 y2 1 .1、（2006 年）解答下列各题（每小题7分，总计70分）y,xy），其中f具有一阶连续偏导数，求2 zz 4平行的切平面方程。f （x,2 xf（xy y），其中f具有二阶连续偏导数，求3、求曲线；（t） t, t2,3t 1上一点处与平面x 2y2、4、 求曲面 I的平行于平面5、 交换二次积分的积分次序：2x 2y zdz.1的切平面方程。dyf （x, y）dx6、 计算 dx e2 dy7、 设f（u）是连续函数，试将& 设函数 f（x,y,z） xy zxzy x y zf（,x2 y26，问在点）dy在极坐标系下为二次积分。M （3,4,0）处沿怎样的方向I

15、， f的变化率最大？并求此最大变化率。9、 计算二重积分 （x2 y2）dxdy，其中D为x2 y210、 （注学习工科分析基础的作（1），其余作（2）（1）证明等式2x所围平面区域。In 2 2 七 | tf （xy）dxdy f （u）du，其中 D 2xy 1,xy 2所围成的位于第一象限的闭域。（2）把正数a分成三个正数x, y,z之和，并使f（x,y, z） xy2z3取得最大值。D是由直线y x,y 2x与双曲线二、（8分）设z y2 f （x2 y2, xy）其中f具有二阶连续偏导数，求三、（8分）从平面薄圆板x2（y 1）2 1的内部挖去一个园孔x2 （y i）2寸后，得到一个

16、薄：-2 2、x y2 2 , x y五、（7 分） 若点M（X0,y0,z。）是光滑曲面法线必定过坐标原点.板，若其上名点处的密度为四、（7分）证明：f （x, y）1求曲线x a cost, y，求此薄板的质量。（X, y）（0,0）在点（0,0）处偏导数存在但不可微。F（x,y,z） 0上与原点距离最近的点，试证过点Mo的2 .将I（2004 年）12分）bsin t, z ct在点?a,b, c处的切线方程.2 2 6r /r2 x2Rdx f（x, y）dy化为极坐标系中先对 r后对 的二次积6分，总计R 忌 02dx 0 f （x, y）dy分1.在曲线 、求曲面（8分）6分，总计

17、12分）3t2上求点，使该点处曲线的切线平行于平面 8x 7y 4z 1.3在点（1,1,1）处的切平面方程.y2 21 dxdy，其中 D : x2 y2 3.（7 分）x t,y 2t ,z3 2x y xz z 计算I |X2设z f（x）g（y）, f （x） 0,其中f ,g为可微函数，求设函数f（t,s）具有连续的一阶偏导数，而 u f（xz，xyz），求 du .六、证明：f（x,y）4, （x, y）0, （x, y）（0,0）在点（0,0）处不连续，但存在一阶偏导数.在椭球面96八、（9分）设y y（x）, z z（x）是由方程z xf （x y）和F （x, y, z） 0

18、所确定的函数，其中f和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 生.七、（9 分）y2 z2 1上求距离平面3x 4y 12z 288的最近点和最远点.z（x）是由方程z九、（9分）设球体x2 y2 z2 2az （a 0）中每点的质量密度与该点到坐标原点的距离平 方成反比.试求该球体的质量与质心.十、（9分）试求正数 的值，使得曲面xyz 与曲面务2 y b2十、（8分）设由y ln x, y 0及x e所围的均匀薄板（密度 直于x轴的直线旋转时转动惯量最小？（2003 年）一、解答下列各题（每小题5分，总计15分）r u r1、设 a i j， bi j 4k， c i j，求（a b

19、） c.勺1在某点相切.c1）求此薄板绕哪一条垂2、 求曲线x t2, y cost,z sint在点（一，？,三）处的切线方程.16 2 22 2 x3、 设f （x, y）为连续函数，交换累次积分 dx f（x, y）dy的积分次序二、解答下列各题（每小题6分，总计12分）1、 试求平行于x轴，且过点（3, 1,2）及（0,1,0）的平面方程.2、 试求曲面z ez 2xy 3在点（1,2,0）处的切平面方程.三、（8分）设区域D由x22 “ 2 2 y 1,x y2x及y0所确定，计算二重积分1- 2 2v x y d四、（7 分）设 f （x, y） x（y 1） arccos ，求丄

20、f（0,1） , （0,1）.五、（7 分）设z （1 xy）x，求 d z.六、（7分）直线在平面x 2y 0 上,且和两直线l1:x y z 1,1 4 112：- 4 口都相交，求该直线的方程.2 0 1七、 （9分）求函数z x3 - y2 3xy 6x 3在闭域D:0 x 2,0 y 2上的最小值和最大值.八、 （9分）设u f （x, y, z）, （x2,ey,z） 0, y sin x ,其中f,具有一阶连续的偏导数，且 0du，求一.九、 （9分）计算由曲面z x2 y2, y 1, z 0, y x2围成的曲顶柱体的体积.十、（9分）求函数u x2 y2 z2在点M（ 1,

21、0,3）处沿椭球面 仏 1外法线方向的方向23 18导数.十一、（8分）设fx（x,y）在（X0,y）点处连续，fy（X0,y）存在，试证f （x,y）在（x。）点处可微.（2002年）解答下列各题（每小题6分，共60分）1.求向量p，使其与a 4,2,3与b 0,1,3都垂直，模为26,且与y轴成钝角.2. 求过点M1 （1,0,1）, M 2（0, 1,2）且垂直于平面x y z 0的平面方程.3. 一直线在xoz坐标面上，且通过原点，又垂直于直线 丄三兰，求它的对32 1称式方程.4. 设z f（x, y），其中y y（x）由方程（x,y） 0确定，而f,具有连续的一阶偏导数， 且y 0

22、,求dz.5.设 z （ln x）cosy，求 dz.6. 求曲线xyz J在（1,1,1）点处的切线和法平面方程.7. 求函数z x2 xy y2 2x y极值.、 0 a a a8. 改变二次积分 dx f （x, y）dy dx 2 f （x, y）dy （a 0）的积分次序，其中f （x, y）连a x 0 x续.四、 （10分）设半径为r的球面（SJ其球心位于定球面（S）:x2 y2 z2 a2上，试求r的值, 使得球面（SJ位于定球面（S）内部的那一部分面积取得最大值.五、 （10分）证明：抛物面z x2 y2 1上任一点处的切平面与曲面 z x2 y2所围成的立 体的体积为一定值