高数下期中考试Word格式.docx
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1e
D.I0dyeyf（x,y）dx
4.函数f（x,y）
0,
A.无定义B
（10分）设函数
z
y
（10分）讨论函数（10分）
三、
四、
五、
在曲面
sin2（xy）
~22
xy
.连续
f（u,v）可微,
0在点（0,0）处（）
y20
.有极限但不连续D.无极限
zz（x,y）是由方程zxyf（xz,yz）确定的可微函数，求
f（x,y）
J萄在（0,0）处连续性、可导性、可微性.
2y2上求一点p（X0,y°
Z0），使它到平面:
xy2z
60的距
离最短.
六、（10分）
计算I
七、（10分）
计算二重积分
x4
sindydx
2y2
x2y2dxdy,D:
sin
_sin
x2y
xdy.
x2y242
八、（4分）（学习工科数学分析者作
（1）,其余作
（2））
r
（1）求向量值函数f（x,y,z）（xcosy,yex,sin（xz））T的Jacobi矩阵.
（2）求函数zf（x,2xy,x23y）的梯度（f的偏导存在）.
9.（6分）求抛物面z1x2y2的一个切平面，使得它与抛物面及圆柱（x1）2
的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积•
（2010-5-8）
4分，共20分）
则dz（1,2,0）
•、填空题（每小题
1设u
xy
xxyz
—e
y21围成
t3
t2
t
ln、x2y2z2，贝9gradf（1,1,1）
，则它在
t1所对应点处的切线方程为
111
2xyz2，则u在点（2,1,1）处沿方向I,,的方向导数为
V3V3V3
5计算
（x2y）d
2y2R2
二、计算题（每小题7分,共63分）
1求曲面zx2y21在点（2,1,4）的切平面方程和法线方程.
sinxy,
dx.
11y
3设zxf2x,—
1
2计算dy
，其中f具有二阶连续偏导数，求
4讨论函数f（x,y）x2
x2
0在点（0,0）的偏导数及可微性•
为|的细棒AB置于容器之中，试求细棒中点的最低位置（设I1）.6（学工科数学分析者作
⑴，其他作
（2））
（1）求向量值函数f
22221
sin（xy）,ln（xz）,——22
Wz
T
在点（1,1,1）T处的导数.
⑵求由方程x22y2
Z24x2z50所确定的隐函数
z的二阶偏导数二.
y24,x0,y0}.
7计算二重积分、一x2y2d，其中D{（x,y）|2xx2
8若二元函数z（x,y）在xoy平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且
2dxdy
DxD
9设函数f（t）在［0,
2f（t）e4n
三、讨论题（共
1.计算二元函数
2x^Zx2z2dxdy，求函数z（x,y）.
）上连续，且满足方程
2Jx2y2dxdy,求f（t）.
y24t2
17分）
zf（x,y）在点P（xo,yo）处对x的偏导数fx（Xo,yo）时,可以先将yy代入f（x,y）中,再求一元函数f（x,yo）在X。
处对x的导数,即fx（x。
，y。
）df（x,Yo）
dx
为什么？
xxq
2.试通过讨论函数f（x,y）12x28xy2y4的极值点，来说明当点（x,y）在过”。
他小）的任一直线L上变动时，二元函数f（x,y）都在M0（X0,y。
）处取得极值，能否断定该函数在M0（x0,y0）处取得极值？
1.填空题（每小题
1.若函数f（x,y）2x2
zln（ex—），沿I
2.
（2009-4-26）
3分，共15分）
axxy22y在点（1,1）处取得极值，则常数a
{1,0}方向的方向导数—.
l
3.
4.
5.
曲线xcost,ysint,ztanf在点（0,1,1）处的切线方程是交换二次积分的积分次序（其中f（x,y）为连续函数）
1X222x
0dx。
f（x,y）dy1dx。
f（x,y）dy
设M（1,1,2）是曲面zf（x,y）上的
点，若fx（1,1）3,在任一点（x,y）处有
xfx（x,y）yfy（x,y）f（x,y），则曲面在M处的切平面方程是
、单项选择题（每小题
4xy
1.函数f（x,y）x2y2'
A.在原点无定义
C.在原点极限不存在
2.函数f（x,y）2xy3x2
A.取得极大值B.
3分，共
15分）
2y
B.在原点极限存在但在原点无定义
D.在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值
10在点0（0,0）处（）
0在原点（0,0）间断的原因是f（x,y）（）
取得极小值C.无极值D.不能判定是否取得极
3.设uarctanx贝Ugradu
A.丄B.
（1,1）（
C.
（鳥
4.设f（u）是连续函数，平面区域D:
0y.1x2
（|x|1），贝yf（x2y2）dv（
11y222
0dy0f（xy）dx
12
df
（2）d
00
其中D（x,y）|（x2）2（y2）2
I2D.I1a
2.求曲面xy、、z
2上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和
11
3.计算二重积分dx2—Xydy.
0X2打3J
1y
22c
esinxydxdy，其中D{（x,y）|x
6.设有一物体，它是由曲面zx2y2和z.8x2y2所围成，已知它在任意的点（x,y,z）
处的密度z，求此物体的质量m.
7.（学习工科数学分析者作①，学习工科数学分析者作②）
1求向量值函数f（x,y）xy的导数.
zFv0，求
设函数zz（x,y）由方程F（x2y2,y2z2）0所确定.其中F（u,v）可微,
zz
yx.
8.设zf（x,$），其中f具有二阶连续偏导数，求dz及z.
四、综合题（6分）
在第一卦限内作旋转抛物面z1x2y2的切平面，使得该切平面与旋转抛物面z1x2y2（x0,y0）及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标
一.解答下列各题（每小题7分,共70分）
1.设f（x,y）arcsin匚,求df（x,y）.
6.
7.
设由方程
求曲面z
求曲线r
设f连续,
2y23z2xyz90可确定zz（x,y）,求-
y21在点（2,1,4）的切平面与法线方程.
（sint,t2,2t）在t0时的切线与法线方程。
交换积分次序
1dy
（1,2,1）
计算二重积分.
设空间立体f（x,y,z）
求u2xy
11y2
2f（x,y）dx.y
1）dxdy
（x2
222
x2y2a
是由抛物面zz2.试计算它的质量.z2在点（2,1,1）处的方向导数的最大值.
（acost,asint,kt）的曲率.
siny
x2y2及平面zh0所围成，已知它的密度为
8.
9.
10.（学工科数学分析者做①，其它做②）
•）T,求Df（1,1）,df（1,1）
uv2,确定了函数uu（x,y）和vv（x,y）求—,—v
①设f（x,y）（x2
2x
2xy
②设方程组
2xy\Ty,e八
u
（8分）
设zf（x2y,y）,其中fC
（2）,求上,
三.（8分）
四.
五.
（7分）（7分）内丄
设f（x,y）x2
求曲面z1x2
yy2在点M°
（1,设函数f（x,y,z）在闭球体
1丄1丄
yz
试求函数f（x,y,z）并证明7
、解答下列各题（每小题
1、设zf（2xy,xy），
2、设zarctan#
y,e
3、求曲面21
4、设f[x2
试研究f（x,y）在（0,0）
1,3）的切平面与曲面zx2
点处的连续性、可微性.
:
xyz
②f（1,1,1）11。
f（x,y,z）13,（x,y,z）
y2所围立体的体积。
.
3上有连续的偏导数，且满足条件：
①
（2007年）
7分，总计70分）其中f具有一阶连续偏导数，求dz.
2
In.x2y2，求—z.
8,在M°
（2,2,1）处的切平面和法线方程。
]T，求Df（1,1）,df（1,1）。
（求fx3y33x23y2的极值）z6在（1,2,1）处的切线和法平面方程。
6.若f（r）为可微函数，其中r
7.在直角坐标系下，交换二次积分
xy订
5.求曲线xy
2ax
a^a2x2
~2~
a
8•设有一物体由曲面zx2y2和z.8x2y2所围成，已知它在任意一点M（x,y,z）处的密度z，求此物体的质量。
计算gradf（r）。
f（x,y）dy的积分次序。
（a0,f连续）
9.一质量分布均匀（密度为常数）求此物体的质心坐标。
10.计算dx
0x
的物体
由曲面zx2y2,x2y21及z0所围成,
二、（8分）设z
~2-
e2dyo
z（x,y）由方程
yf（?
）确定，其中f具有一阶连续偏导数,
三、（8分）设f（x,y）
22,
（x,y）
（x,y）
（0,0），试讨论f在点（0,0）处的连续性和可微
（0,0）
性.
四、（8分）在第一卦限内作旋转抛物面
物面z1x2y2（x0,y0）及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点的坐标。
五、（6分）设f（x,y）在单位圆x2y21上有连续的一阶偏导数，且在边界上取值为零,^dxdy，其中D为圆环域2y
z1x2y2的切平面，使得该切平面与旋转抛
证明:
f（o,o）
xfx
~2
x2y21.
1、
（2006年）
解答下列各题（每小题
7分，总计70分）
y,xy），其中f具有一阶连续偏导数，求
2z
z4平行的切平面方程。
f（x,2x
f（xyy），其中f具有二阶连续偏导数，求
3、求曲线；
（t）{t,t2,3t1}上一点处与平面x2y
2、
4、求曲面…<
I的平行于平面
5、交换二次积分的积分次序：
2x2yz
dz.
1的切平面方程。
°
dy
f（x,y）dx
6、计算dxe2dy
7、设f（u）是连续函数，试将
&
设函数f（x,y,z）xyzx
zyxyz
f（,x2y2
6，问在点
）dy在极坐标系下为二次积分。
M（3,4,0）处沿怎样的方向I，f的
变化率最大？
并求此最大变化率。
9、计算二重积分（x2y2）dxdy，其中D为x2y2
10、（注学习工科分析基础的作
（1），其余作
（2）
（1）证明等式
2x所围平面区域。
In22七^|[t
f（xy）dxdy〔f（u）du，其中D2
xy1,xy2所围成的位于第一象限的闭域。
（2）把正数a分成三个正数x,y,z之和，并使f（x,y,z）xy2z3取得最大值。
D是由直线yx,y2x与双曲线
二、（8分）设zy2f（x2y2,xy）其中f具有二阶连续偏导数，求
三、（8分）从平面薄圆板x2
（y1）21的内部挖去一个园孔x2（yi）2寸后，得到一个薄
：
-22
'
、xy
22,xy
五、（7分）若点M°
（X0,y0,z。
）是光滑曲面
法线必定过坐标原点.
板，若其上名点处的密度为
四、（7分）证明：
f（x,y）
1求曲线
xacost,y
，求此薄板的质量。
（X,y）
（0,0）在点（0,0）处偏导数存在但不可微。
F（x,y,z）0上与原点距离最近的点，试证过点Mo的
2.将I
（2004年）
12分）
bsint,zct在点—?
a,b,c处的切线方程.
226
r/r2x2
Rdx°
f（x,y）dy化为极坐标系中先对r后对的二次积
6分，总计
R忌02dx0f（x,y）dy
分
1.在曲线、求曲面
（8分）
6分，总计12分）
3t2上求点，使该点处曲线的切线平行于平面8x7y4z1.
3在点（1,1,1）处的切平面方程.
y221dxdy，其中D:
x2y23.
（7分）
xt,y2t,z
32
xyxzz计算I|X2
设z[f（x）]g（y）,f（x）0,其中f,g为可微函数，求
设函数f（t,s）具有连续的一阶偏导数，而uf（x
z，xyz），求du.
六、
证明：
f（x,y）
—4,（x,y）
0,（x,y）
（0,0）在点（0,0）处不连续，但存在一阶偏导数.
在椭球面—
96
八、（9分）设yy（x）,zz（x）是由方程zxf（xy）和F（x,y,z）0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求生.
七、
（9分）
y2z21上求距离平面3x4y12z288的最近点和最远点.
z（x）是由方程z
九、（9分）设球体x2y2z22az（a0）中每点的质量密度与该点到坐标原点的距离平方成反比.试求该球体的质量与质心.
十、（9分）试求正数的值，使得曲面xyz与曲面务
2yb2
十、（8分）设由ylnx,y0及xe所围的均匀薄板（密度直于x轴的直线旋转时转动惯量最小？
（2003年）
一、解答下列各题（每小题5分，总计15分）
rur
1、设aij，bij4k，cij，求（ab）c.
勺1在某点相切.
c
1）求此薄板绕哪一条垂
2、求曲线xt2,ycost,zsint在点（一，？
三）处的切线方程.
1622
22x
3、设f（x,y）为连续函数，交换累次积分dxf（x,y）dy的积分次序
二、解答下列各题（每小题6分，总计12分）
1、试求平行于x轴，且过点（3,1,2）及（0,1,0）的平面方程.
2、试求曲面zez2xy3在点（1,2,0）处的切平面方程.
三、（8分）设区域D由x2
2“22y1,xy
2x及y
0所确定，计算二重积分1
-22
vxyd
四、（7分）设f（x,y）x
（y1）arccos—
，求丄
f
（0,1）,—（0,1）.
五、（7分）设z（1xy）x
，求dz.
六、（7分）直线在平面
x2y0上,
且和两直线l1:
xyz1,
141
12：
-4□口都相交，求该直线的方程.
201
七、（9分）求函数zx3-y23xy6x3在闭域D:
0x2,0y2上的最小值和最大值.
八、（9分）设uf（x,y,z）,（x2,ey,z）0,ysinx,其中f,具有一阶连续的偏导数，且0
du
，求一.
九、（9分）计算由曲面zx2y2,y1,z0,yx2围成的曲顶柱体的体积.
十、（9分）求函数ux2y2z2在点M（1,0,3）处沿椭球面—仏—1外法线方向的方向
2318
导数.
十一、（8分）设fx（x,y）在（X0,y°
）点处连续，fy（X0,y°
）存在，试证f（x,y）在（x。
」。
）点处可微.
（2002年）
解答下列各题（每小题6分，共60分）
1.求向量p，使其与a{4,2,3}与b{0,1,3}都垂直，模为26,且与y轴成钝角.
2.求过点M1（1,0,1）,M2（0,1,2）且垂直于平面xyz0的平面方程.
3.一直线在xoz坐标面上，且通过原点，又垂直于直线」丄」三兰，求它的对
321
称式方程.
4.设zf（x,y），其中yy（x）由方程（x,y）0确定，而f,具有连续的一阶偏导数，且y0,求dz.
5.设z（lnx）cosy，求dz.
6.求曲线xyzJ在（1,1,1）点处的切线和法平面方程.
7.求函数zx2xyy22xy极值.
、0aaa
8.改变二次积分dxf（x,y）dydx2f（x,y）dy（a0）的积分次序，其中f（x,y）连
ax0x
续.
四、（10分）设半径为r的球面（SJ其球心位于定球面（S）:
x2y2z2a2上，试求r的值,使得球面（SJ位于定球面（S）内部的那一部分面积取得最大值.
五、（10分）证明：
抛物面zx2y21上任一点处的切平面与曲面zx2y2所围成的立体的体积为一定值•
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