高考理科全国1卷数学.docx

1、高考理科全国1卷数学2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页， 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、 考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要

2、求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Mx 4x 2 ， N x x2x 6 0，则M N=A. x 4 x 3B. x 4 x2C. x 2 x 2D. x 2 x 3【答案】 C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法， 渗透了数学运算素养 采取数轴法， 利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，Mx 4x 2 , Nx 2x 3，则M Nx 2x 2故选C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，

3、交集取公共部分， 并集包括二者部分2.设复数 z 满足zi =1， z 在复平面内对应的点为(x， y)，则A.( x+1)2y21B. ( x 1)2y21C. x2( y 1)21D.x2( y+1)21【答案】 C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（ x，y）和点(0， 1)之间的距离为 1，可选正确答案 C【详解】 z x yi , z i x ( y 1)i , z ix2( y 1)21, 则 x2( y 1)21故选 C【点睛】 本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题3.已

4、知 a log 2 0.2, b2 0.2, c0.20.3，则A. a b cB.a c bC. c a bD.b c a【答案】 B【解析】【分析】运用中间量 0 比较 a , c ，运用中间量 1比较 b , c【 详 解 】 a log2 0.2 log 2 1 0, b 20.2201, 0 0.20.30.201, 则0 c 1,a c b 故选 B【点睛】 本题考查指数和对数大小的比较， 渗透了直观想象和数学运算素养 采取中间变量法，利用转化与化归思想解题4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 12（ 5 1 0.618，称为黄金分割比例 )

5、，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 若某人满足上述两个黄金分割2比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm【答案】 B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解【 详 解 】 设 人 体 脖 子 下 端 至 腿 根 的 长 为 x cm ， 肚 脐 至 腿 根 的 长 为 y cm ， 则262 6 x5 142.07cm, y 5.15 cm 又其腿长为 105cm，头顶至脖子下xy 1 0 5，得

6、x2端的长度为 26cm，所以其身高约为4207+515+105+26=178 22，接近 175cm故选 B【点睛】本题考查类比归纳与合情推理， 渗透了逻辑推理和数学运算素养 采取类比法，利用转化思想解题5.函数 f( x)=sin xx在 ， 的图像大致为cos xx2A. B.C. D.【答案】 D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得f (x) 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案sin(x)(x)sin xxf (x) ，得 f ( x) 是奇函数，其图象关【详解】由 f ( x)x)(x)2cos xx2cos(于原点对称又 f ( )12421, f (

7、)2 0故选 D212()22【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、 直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是6 个爻5112111A.B.C.D.16323216【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题， 渗透了传统文化、 数学计算等数学素养， “重卦”中每一爻有两种情况， 基本事件计算是住店问题， 该重卦恰有 3 个阳爻是相同元素的排列问题

8、，利用直接法即可计算【详解】由题知，每一爻有2 中情况，一重卦的 6 爻有 26 情况，其中6 爻中恰有3 个阳爻情况有 C63 ，所以该重卦恰有3 个阳爻的概率为C63 =5 ，故选 A2616【点睛】 对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题7.已知非零向量a， b 满足a = 2b ，且（ab）b，则 a 与 b 的夹角为C.25A.B.3D.636【答案】 B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角

9、与垂直问题， 渗透了转化与化归、数学计算等数学素养 先由 ( a b)b 得出向量 a, b 的数量积与其模的关系， 再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为(a b) b ，所以 (ab) ba bb2=0 ，所以 ab b2 ，所以 cos =a b| b |21a 与b的夹角为，故选 Ba b2 | b |2，所以23【点睛】 对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 18.如图是求 21的程序框图，图中空白框中应填入2121B. A=21C. A=1D. A=A. A=A2 A2 A1112A【

10、答案】 A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、 分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择1 , k11， kk1【详解】执行第 1次， A1 2是，因为第一次应该计算1=2222A1=2，循环，执行第2 次， k22，是，因为第二次应该计算1=1， kk12122A2次， k22 ，否，输出，故循环体为1，故选 A=33A，循环，执行第A21【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A2A9.记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和已知 S40， a55 ，则A.an2n5B. an 3n 10C.Sn 2n28nD.Sn1n

11、22n2【答案】 A【解析】【分析】等 差 数 列 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 本 题 还 可 用 排 除 ， 对 B ， a55 ，S44(72)100 ，排除 B，对 C，S40, a5S5S42 52850105 ，2S4 15排除 C对 D， S40, a5S5522 505 ，排除 D，故选 A 22【详解】由题知，S44a1d 4 3 0a13， an2n 5 ，故选 A2，解得d2a5a14d5【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算

12、即可做了判断10. 已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0) ， F2( 1,0) ，过 F2 的直线与 C 交于 A， B 两点 .若 AF22 F2 B， AB BF1，则 C 的方程为A.x2y21B.x2y21C.x2y21D.23243x2y2154【答案】 B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2 Bn ，则 AF22n , BF1AB3n，由椭圆的定义有2aBF1BF24n ,AF12aAF22n在 AF1 F2 和 BF1F2中，由余弦定理得4n242 2n 2 cos AF2 F14n2 ,BF2 F1互补，n242 n 2 cosBF2 F19n2，又 A

13、F2 F1,cosAF2 F1cosBF2F10 ，两式消去 cosAF2F1 , cosBF2 F1 ，得 3n2611n2 ，解得 n3 2a4n23 ,a3 ,b2a2c23 12 ,所求椭圆方程为2x2y21，故选 B32【详解】如图，由已知可设F2 Bn ，则 AF22n , BF1AB3n ，由椭圆的定义有2a BF1BF24n , AF12a AF22n 在 A F1 B 中 ， 由 余 弦 定 理 推 论 得cosF1 AB4n29n29n21 在 AF1F2 中，由余弦定理得4n24n22 2n 2n 14 ，2 2n 3n33解得 n3 22a4n2 3 ,a3 ,b2a2

14、c231 2 ,所求椭圆方程为x2y21，32故选 B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质， 考查数形结合思想、 转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养11. 关于函数 f (x) sin | x | | sin x |有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（ , ）单调递增2 f(x)在 , 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】化简函数 fxsin xsin x ，研究它的性质从而得出正确答案【详解】fxsinxsinxsin xsin x fx , fx为偶函数，故正确当2x时

15、， fx2sin x，它在区间,单调递减，故错误当 0 x2时 ，fx2si nx0； 当x0时 ，它有两个零点：fxsi nxsi x n，它2有x一s个i零n点：，故 fx 在,有 3个零点：0， 故 错 误 当 x 2k , 2kkN时 ， fx 2 s i nx； 当x 2 k, 2k2kN时 ， f xsi n xsi nx，0 又 fx 为 偶 函 数 ，fx的最大值为2，故正确综上所述，正确，故选 C【点睛】画出函数fxsin xsin x 的图象，由图象可得正确，故选C12. 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB=PC， ABC 是边长为 2 的正

16、三角形， E， F 分别是 PA， PB 的中点， CEF =90 ，则球 O 的体积为A. 8 6 B. 4 6 C. 26 D. 6【答案】 D【解析】【分析】先证得 PB 平面 PAC ，再求得 PA PB PC 2 ，从而得 P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解 .【详解】 解法一 :PAPBPC,ABC 为边长为 2 的等边三角形，P ABC 为正三棱锥，PBAC ，又 E ， F 分别为 PA、 AB 中点，EF /PB，EFAC ，又 EFCE ，CEACC ,EF平面 PAC ， PB平面 PAC ，PABPA PB PC2 ，PABC 为正方

17、体一部分，2R2 2 26，即 R6 ,V4R346 66 ，故选 D2338解法二 :设 PAPB PC 2x， E,F 分别为 PA, AB 中点，EF /PB，且 EF1x ，ABC 为边长为2 的等边三角形，PB21 PA xCF3又 CEF90CE3x2, AE2AEC 中余弦定理 cosEACx243x2AC于D，PA PC，2 2x，作 PDQ D 为 AC 中点， cosEACAD1x243x21PA，4 x，2x2x2x212x21x2 ，PAPBPC2 ，又 AB=BC=AC=2 ，22PA , PB , PC 两两垂直，2R2 226 ，R6 ，2V4R34666 ，故选

18、 D.338【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理， 得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 曲线 y 3( x2 x)ex 在点 (0,0) 处的切线方程为 【答案】 3x y 0 .【解析】【分析】本题根据导数的几何意义， 通过求导数， 确定得到切线的斜率， 利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解： y/3(2 x 1)ex3( x2x)ex3( x23x1)ex ,所以， k y/ |x 0 3所以，曲线 y 3( x2x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为y3x ，即 3x y 0 【点睛】 准确求导数是进一步计算的基