高考理科全国1卷数学.docx
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高考理科全国1卷数学
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答
在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合Mx4
x2，N{xx2
x60
，则MN=
A.{x4x3
B.{x4x2
C.
{x2x2
D.
{x2x3
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数
形结合的思想解题．
【详解】由题意得，
M
x4
x2,N
x2
x3
，则
MN
x2
x2
．故选
C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括
二者部分．
2.设复数z满足
z
i=1，z在复平面内对应的点为
（x，y），则
A.
（x+1）2
y2
1
B.（x1）2
y2
1
C.x2
（y1）2
1
D.
x2
（y+1）2
1
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点
（0，1）之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】zxyi,zix（y1）i,zi
x2
（y1）2
1,则x2
（y1）2
1．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，
渗透了直观想象和数学运算素养．
采取公式
法或几何法，利用方程思想解题．
3.已知alog20.2,b
20.2,c
0.20.3
，则
A.abc
B.
acb
C.cab
D.
bca
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量0比较a,c，运用中间量1比较b,c
【详解】alog20.2log210,b20.2
20
1,00.20.3
0.20
1,则
0c1,acb．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量
法，利用转化与化归思想解题．
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
51
2
（51≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体
2
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割
2
比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm
【答案】B
【解析】
【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则
26
26x
51
42.07cm,y5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下
x
y105
，得x
2
端的长度为26cm，所以其身高约为
42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利
用转化思想解题．
5.函数f（x）=
sinx
x
在[—π，π]的图像大致为
cosx
x2
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得
f（x）是奇函数，排除
A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正
确答案．
sin（
x）
（
x）
sinx
x
f（x），得f（x）是奇函数，其图象关
【详解】由f（x）
x）
（
x）2
cosx
x2
cos（
于原点对称．又f（）
1
2
4
2
1,f（）
20．故选D．
2
1
2
（
）
2
2
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的
组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重
卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
6个爻
5
11
21
11
A.
B.
C.
D.
16
32
32
16
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算
等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳
爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有
2中情况，一重卦的6爻有26情况，其中
6爻中恰有
3个阳爻
情况有C63，所以该重卦恰有
3个阳爻的概率为
C63=
5，故选A．
26
16
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，
首先要分析元素是否可重复，
其次要分析是排
列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，
满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
7.已知非零向量
a，b满足
a=2
b，且（a–b）
b，则a与b的夹角为
π
π
C.
2π
5π
A.
B.
3
D.
6
3
6
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、
夹角与垂直问题，渗透了转化与化
归、数学计算等数学素养．先由（ab）
b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向
量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为
（ab）b，所以（a
b）b
ab
b2
=0，所以a
bb2，所以cos=
ab
|b|2
1
a与
b
的夹角为
，故选B．
ab
2|b|2
，所以
2
3
【点睛】对向量夹角的计算，
先计算出向量的数量积及各个向量的摸，
在利用向量夹角公式
求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为
[0,]．
1
8.如图是求2
1
的程序框图，图中空白框中应填入
2
1
2
1
B.A=2
1
C.A=
1
D.A=
A.A=
A
2A
2A
1
1
1
2A
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，
渗透阅读、分析与解决问题等素养，
认真分析式子结构特
征与程序框图结构，即可找出作出选择．
1,k
1
1
，k
k
1
【详解】执行第1
次，A
12
是，因为第一次应该计算
1
=
2
2
2
2
A
1
=2，循环，执行第
2次，k
2
2
，是，因为第二次应该计算
1
=
1
，k
k
1
2
1
2
2
A
2
次，k
2
2，否，输出，故循环体为
1
，故选A．
=3
3
A
，循环，执行第
A
2
1
【点睛】秒杀速解
认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为
A
．
2
A
9.记Sn
为等差数列{an}的前n项和．已知S4
0，a5
5，则
A.
an
2n
5
B.an3n10
C.
Sn2n2
8n
D.
Sn
1
n2
2n
2
【答案】A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，a5
5，
S4
4（72）
10
0，排除B，对C，S4
0,a5
S5
S4
252
85010
5，
2
S41
5
排除C．对D，S4
0,a5
S5
52
25
0
5，排除D，故选A．
2
2
【详解】由题知，
S4
4a1
d430
a1
3
，∴an
2n5，故选A．
2
，解得
d
2
a5
a1
4d
5
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前
n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素
养．利用等差数列通项公式与前
n项公式即可列出关于首项与公差的方程，
解出首项与公差，
在适当计算即可做了判断．
10.已知椭圆C的焦点为F1（
1,0），F2（1,0），过F2的直线与C交于A，B两点.若
│AF│2
2│F2B│，│AB││BF│1，则C的方程为
A.
x2
y2
1
B.
x2
y2
1
C.
x2
y2
1
D.
2
3
2
4
3
x2
y2
1
5
4
【答案】B
【解析】
【分析】
可以运用下面方法求解：
如图，由已知可设
F2B
n，则AF2
2n,BF1
AB
3n
，
由椭圆的定义有
2a
BF1
BF2
4n,
AF1
2a
AF2
2n
．在△AF1F2和△BF1F2
中，
由余弦定理得
4n2
4
22n2cosAF2F1
4n2,
BF2F1互补，
n2
4
2n2cos
BF2F1
9n2
，又AF2F1,
cos
AF2F1
cos
BF2F1
0，两式消去cos
AF2F1,cos
BF2F1，得3n2
6
11n2，
解得n
3．2a
4n
2
3,
a
3,
b2
a2
c2
31
2,
所求椭圆方程为
2
x2
y2
1
，故选B．
3
2
【详解】如图，由已知可设
F2B
n，则AF2
2n,BF1
AB
3n，由椭圆的定义有
2aBF1
BF2
4n,AF1
2aAF2
2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得
cos
F1AB
4n2
9n2
9n2
1．在△AF1F2中，由余弦定理得
4n2
4n2
22n2n1
4，
22n3n
3
3
解得n
3．
2
2a
4n
23,
a
3,
b2
a2
c2
3
12,
所求椭圆方程为
x2
y2
1，
3
2
故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，
很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
11.关于函数f（x）sin|x||sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数②f（x）在区间（,）单调递增
2
③f（x）在[,]有4个零点④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A.①②④B.②④C.①④D.①③
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数f
x
sinx
sinx，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
f
x
sin
x
sin
xsinx
sinxf
x,f
x
为偶函数，故①
正确．当
2
x
时，f
x
2sinx，它在区间
单调递减，故②错误．当0x
2
时，
f
x
2
s
inx
0
；当
x
0
时，
，它有两个零点：
f
x
s
in
x
s
ixn
，它2有x一s个i零n点：
，故f
x在
有3
个零点：
0
，故③错误．当x2k,2k
k
N
时，f
x2sinx；当
x2k
2k
2
kN
时，fx
sinx
sinx
，0又f
x为偶函数，
f
x
的最大值为
2
，故④正确．综上所述，①④
正确，故选C．
【点睛】画出函数
f
x
sinx
sinx的图象，由图象可得①④正确，故选
C．
12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三
角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A.86B.46C.26D.6
【答案】D
【解析】
【分析】
先证得PB平面PAC，再求得PAPBPC2，从而得PABC为正方体一部分，
进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:
PA
PB
PC,
ABC为边长为2的等边三角形，
PABC为正三
棱锥，
PB
AC，又E，F分别为PA、AB中点，
EF//PB，
EF
AC，又EF
CE，CE
AC
C,
EF
平面PAC，PB
平面PAC，
PAB
PAPBPC
2，
P
ABC为正方体一部分，
2R
222
6，即R
6,
V
4
R3
4
66
6，故选D．
2
3
3
8
解法二:
设PA
PBPC2x
，E,F分别为PA,AB中点，
EF//PB，且EF
1
x，
ABC为边长为
2的等边三角形，
PB
2
1PAx
CF
3又CEF
90
CE
3
x2
AE
2
AEC中余弦定理cos
EAC
x2
4
3
x2
AC于D，
PAPC，
22
x
，作PD
QD为AC中点，cos
EAC
AD
1
x2
4
3
x2
1
PA
，
4x
，
2x
2x
2x2
1
2
x2
1
x
2，
PA
PB
PC
2，又AB=BC=AC=2，
2
2
PA,PB,PC两两垂直，
2R
22
2
6，
R
6，
2
V
4
R34
6
6
6，故选D.
3
3
8
【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到
三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y3（x2x）ex在点（0,0）处的切线方程为．
【答案】3xy0.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得
切线方程
【详解】详解：
y/
3（2x1）ex
3（x2
x）ex
3（x2
3x
1）ex,
所以，ky/|x03
所以，曲线y3（x2
x）ex在点（0,0）处的切线方程为
y
3x，即3xy0．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基
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