教案第十三十四节.docx

1、教案第十三十四节1.6 三角函数模型的简单应用(一)教学目的：1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.教学重点与难点：教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽

2、取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.教学手段与方法：探究式教学法教学过程：导入新课 思路：我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.新知探究提出问题回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描

3、述现实世界中的哪些规律的?数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?上述的数学模型是怎样建立的?怎样处理搜集到的数据?讨论结果:描述现实世界中不同增长规律的函数模型.简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.解决问题的一般程序是:1审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4还原:把数学结论还原

4、为实际问题的解答.画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.应用示例例1 如图1, 某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(x+)+b.图1(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论. 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 .(2)从图中可以看出,从614时的图象是函数y=Asin(x+)+b的半个周期的图象,A= (30-10)=10,b= (30+10)=20.=14-6,=.将x=6,y=10代入上式,解得=. 综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x6,14.

5、 点评:本例中所给出的一段图象实际上只取614即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉. 例2 （2007全国高考） 函数y=|sinx|的一个单调增区间是( )A.(,) B.(,) C.(,) D.(,2)答案:C例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为,为此时太阳直射纬度,为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是=90-|-|.当地夏半年取正值,冬半年取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼

6、房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 分析： 首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为,正午太阳高度角为,此时太阳直射纬度为,那么这三个量之间的关系是=90-|-|.当地夏半年取正值,冬半年取负值. 根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系: h0=htan. 由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.图3 解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤

7、道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度2326.依题意两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义, 有C90|40(2326)|2634, 所以MC=2.000h0, 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距. 点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道

8、题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.变式训练 某市的纬度是北纬23,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan90-(23+2326)=15tan433414.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.知能训练课本本节练习1、2.解答:1.乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处.点评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从

9、乙点传到丁点,又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过周期,乙点位置将移至它关于x轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同.2.如CCTV1新闻联播节目播出的周期是1天.点评:了解实际生活中发生的周期变化现象.课堂小结1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学

10、关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.作业.图5表示的是电流I与时间t的函数关系图5I=Asin(x+)(0,|0,0)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx+f(x),求sinxcosx的值.解:(1)f(x)为偶函数,f(x)f(x),即sin(x+)sin(x+).f(x)sin(x+)cosx.相邻两点P(x0,1),Q(x0+,1). 由题意,|PQ|=2+4.解得1.f(x)cosx.(2)由sinx+f(x),得sinx+cosx.两边平方,得sinxcosx.2.小明在直角坐标系中,用1 cm代表一个单位长度

11、作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,xR,由于纵坐标改用了2 cm代表一个单位长度,与原来1 cm代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm只能代表个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为ysinx,xR.同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的,原曲线周期就由2变为.故改变横坐标后,原曲线图

12、象的解析式变为ysin2x,xR.3.求方程lgxsinx实根的个数.解:由方程式模型构建图象模型.在同一坐标系内作出函数ylgx和ysinx的图象,如图.可知原方程的解的个数为3. 点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.知能训练课本本节练习33.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题.让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,

13、以利于学生的高效率学习.点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性.课堂小结1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意设角建立三角式进行三角变换解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.作业如图,一滑雪运动员自h=50 m高处A点滑至O点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O点保持速率v0不变,并以倾角起跳,落至B点,令OB=L,试问,当=30时,L的最大值为多少?当L取最大值时,为多大?