空间向量二面角的向量求法专题.docx

1、空间向量二面角的向量求法专题第四讲空间向量、定义:(1),那么 AB (X2 Xi, y2 yi,Z2 Zi)2 注：a(4)应用：a(Xi, y, Zi), b(X2, y2, Z2)r r r a / /b br aXi yi zi一=X2 y2 Z2abab 0X1X2 yi y2zLz2 0二、空间向量解决空间立体几何问题:i、位置关系判定:(i)线线平行:a/ /b2XlX2y2ZlZ2线线垂直: (cos 20)Xi X2yi y2z1 z2 0(2)线面平行:1 / (其中m为了平面的法向量)线面垂直:a/ m(3)面面平行:m/ / n/ / ,其中m为了的法向量,n的法向量面

2、面垂直： m n,其中m为了 的法向量,n 的法向量2、求夹角:o b(1)线线角：|cos | | 1,其中 0,|a| |b| 2a m _(2)线面角：sin |cos | | |,其中 .,一|a| |m| 2(3)二面角：cos m ,其中 0,)|m| n|向量法求解二面角向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体几何里的应用更 为了直接,用向量的方法格外便丁钻研空间里涉及直线和平面的各种问题.随着新教材中向量工具的引入,立体几何的解题更加灵活多样,这为了那些 空间想象水平较差的同学提供了机遇.利用平面的法向量几乎可以解决所有的 立几计算和一些证明的问题,尤其在求点面距离、

3、空间的角（斜线与平面所成 的角和二面角）时,法向量有着它独有的优势,以下举例全面剖析在立几中如 何用法向量求二面角.利用法向量求二面角的大小的原理设n1,n2分别为了平面,的法向量,二面角l 的大小为了,向量ni,n2的火角为了,那么有（图1）或 （图2）根本结论 构成二面角的两个平面的法向量的火角或火角的补角等丁这个二面角的平面角.G(1,0 ,亳由此得：GE (0,1, 1) FE (1, 0)2 2 2 2 2设平面的法向量为了n (x, y, z).如何求平面的一个法向量例题1:如图3,在正方体ABCD-AiB!CiDi中G、E、为了AAi、AB、BC的中点,求平面 GEF的法向量.1

4、 n?GE -y2一 - 1n?FE -x2令y=1取平面的一个法向量为了n (1,1,1)评析 由于平面的法向量有无数个,方向可上可下,模可大可小,我们只 要求出平面的某一个法向量(教简洁的)即可.3.法向量的应用举例：例题 4.在长方体 ABCD-AiBiCiD 1 中,AB=2 , BC=4 , AAi=2,点 Q是 BC 的中点,求此时二面角 A AiD Q的大小.评析(i)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲：“找一一证一一求直接简化成了一步曲：“计算,这在一定程度上降 低了学生的空间想象水平,到达不用作图就可以直接计算的目的 ,更加注重对学生创新水平的培养

5、,表达了教育改革的精神.(2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中假设令 ai i,那么 n2 ( i, i, 2) , cos ni,n2 匕6,二二面角 A AiD一Q的大小是 ni ,n2 arccos6 的补角 arccos6.所以在计算之前不妨先6 6依题意直观判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角或取“补例5如图5,在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD中,AD/BC , Z求侧面SCD与血ABC=900, SAM ABCD, SA= - , AB=BC=1 , AD= - 0一 2SBA所成的二面角的大小.评析：（1）由于所求的二面角的交线在

6、图中较难作出,所以用传统的方法求二面角比拟困难,向量法在这里就表达出它特有的优势；（ 2）但判断侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时,图形的直观性就不明 显了,当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案.4.当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时,通过判断法向量的方向来求 解二面角.原理 首先我们再重新认识一下法向量火角和二面角的关系: 如上图6所示,当我们把法向量控制成“一进一出, 此时两法向量在三个坐标平面 xoy, yoz, xoz的投影也uv uv可以看成是“一进一出,这时不难得出 n1,n2的火角其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想 要的“向上或向下

7、,“向后或向前,“向左或向右呢？图6v所以,只要我们判断两个法向量的方向是如图7所示：平面ABC的法向量n进一出,那么所求的二面角的平面角就等丁两法向量的火角,如果是“同进同出, 那么所求的二面角的平面角就等丁两法向量的火角的补角,掌握了这点,那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲.1,在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD中,AD/BC , ZABC=90.,SAL面ABCD, SA= - , AB=BC=1 , AD=-.求侧面SCD与面SBA所成的二面角2 2的大小.v.2如图,正三棱柱ABC ABG的所有棱长都为了2 , D为了CCi中点.(I )求证：ABi上平面A,BD ;(皿)求

8、二面角A AiB Ci的大小；3.如图,四棱锥P ABCD ,底面ABCD为了菱形,PA 平面 ABCD ,ABC 60o, E, F分别是BC, PC的中点.(1)证明：AE PD ;EH与平面PAD所成最大角的正切值为了,求二2(2)假设H为了PD上的动点, 面角E AF C的余弦值.4 .如图,在底面是菱形的四棱锥 P ABCD中,ZABC=60, PA=AC=a, PB=PD=屈,点 E在 PD 上,且 PE:ED=2:1.(1)证明PAL平面 ABCD;(2)求以AC为了棱,EAC与DAC为了面的二面角 的大小,AB与 AB5.如图,直三棱柱 ABA A1B1C1 中,ZACB=90 ,AC=AA=1,相交于点D, M为了BC的中点.(1)求证：C6平面BDM(2)求平面 BBD与平面CB网成二面角的大小B Bi