空间向量二面角的向量求法专题.docx
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空间向量二面角的向量求法专题
第四讲空间向量
、定义:
（1）
那么AB（X2Xi,y2yi,Z2Zi）
「2注：
a
（4）应用：
a
（Xi,y〔,Zi）,b
（X2,y2,Z2）
rrra//bb
ra
Xiyizi
一—=—
X2y2Z2
aba
b0
X1X2yiy2
zLz20
二、空间向量解决空间立体几何问题:
i、
位置关系判定:
（i）
线线平行:
a//b
2Xl
X2
y2
Zl
Z2
线线垂直:
—（cos2
0）
XiX2
yiy2
z1z20
（2）
线面平行:
1//（其中m为了平面的法向量）
线面垂直:
a//m
（3）
面面平行:
m//n
//,其中m为了的法向量,n
的法向量
面面垂直：
mn
其中m为了的法向量,n的法向量
2、求夹角:
ob
（1）线线角：
|cos||1,其中[0,—]
|a||b|2
am_
（2）线面角：
sin|cos|||,其中[.,一]
|a||m|2
（3）二面角：
cosm',其中[0,）
|m||n|
向量法求解二面角
向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体几何里的应用更为了直接,用向量的方法格外便丁钻研空间里涉及直线和平■面的各种问题.
随着新教材中向量工具的引入,立体几何的解题更加灵活多样,这为了那些空间想象水平较差的同学提供了机遇.利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题,尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平■面所成的角和二面角）时,法向量有着它独有的优势,以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角.
.利用法向量求二面角的大小的原理
设n1,n2分别为了平■面,的法向量,二面角
l的大小为了,向量
ni,n2的火角为了,那么有
（图1）或（图2）
根本结论构成二面角的两个平■面的法向量的火角或火角的补角等丁这个二
面角的平■面角.
G（1,0,亳由此得：
GE（0,1,1）FE（1,]0）
22222
设平面的法向量为了n（x,y,z）
.如何求平■面的一个法向量
例题1:
如图3,在正方体ABCD-AiB!
CiDi中G、E、
为了AAi、AB、BC的中点,求平■面GEF的法向量.
1n?
GE-y
2
一-—1
n?
FE-x
2
令y=1取平面的一个法向量为了n（1,1,1）
评析由于平■面的法向量有无数个,方向可上可下,模可大可小,我们只要求出平面的某一个法向量（教简洁的）即可.
3.法向量的应用举例：
例题4.在长方体ABCD-AiBiCiD1中,AB=2,BC=4,AAi=2,点Q是BC的中点,求此时二面角A—AiD—Q的大小.
评析（i）用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的
三步曲：
“找一一证一一求〞直接简化成了一步曲：
“计算〞,这在一定程度上降低了学生的空间想象水平,到达不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学
生创新水平的培养,表达了教育改革的精神.
（2）此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本
题中假设令aii,那么n2（i,i,2）,••cosni,n2匕6,二二面角A—AiD一
Q的大小是ni,n2arccos—6的补角arccos—6.所以在计算之前不妨先
66
依题意直观判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角〞或取“补
例5如图5,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,AD//BC,Z
求侧面SCD与血
ABC=900,SAMABCD,SA=-,AB=BC=1,AD=-0
一2
SBA所成的二面角的大小.
评析：
（1）由于所求的二面角的交线在图中较难作出,所以用传统的方法
求二面角比拟困难,向量法在这里就表达出它特有的优势；
（2）但判断侧面
SCD与面SBA所成的二面角的平■面角是锐角还是钝角时,图形的直观性就不明显了,当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案.
4.当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时,通过判断法向量的方向来求解二面角.
原理首先我们再重新认识一下法向量火角和二面角的关系:
如上图6所示,当我们把法向量控制成“一进一出〞,此时两法向量在三个坐标平■面xoy,yoz,xoz的投影也
uvuv
可以看成是“一进一出〞,这时不难得出n1,n2的火角
其次如何控制一个平■面的法向量方向是我们想要的“向上或向下〞,“向后或向前〞,“向左或向右〞
呢？
图6
v
所以,只要我们判断两个法向量的方向是
如图7所示：
平■面ABC的法向量n
进一出〞,那么所求的二面角的平■面角就等
丁两法向量的火角,如果是“同进同出〞,那么
所求的二面角的平面角就等丁两法向量的火角的补角,掌握了这点,那么用法
向量求二面角就可以做到随心所欲.
1,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,AD//BC,ZABC=90.,SAL
面ABCD,SA=-,AB=BC=1,AD=-.求侧面SCD与面SBA所成的二面角
22
的大小.
v.
2如图,正三棱柱ABCABG的所有棱长都为了
2,D为了CCi中点.
（I）求证：
ABi上平面A,BD;
（皿）求二面角AAiBCi的大小；
3.如图,四棱锥PABCD,底面ABCD为了菱形,
PA平面ABCD,
ABC60o,E,F分别是BC,PC的中点.
（1）证明：
AEPD;
EH与平■面PAD所成最大角的正切值为了—,求二
2
（2）假设H为了PD上的动点,面角EAFC的余弦值.
4.如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,ZABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=屈,点E在PD上,且PE:
ED=2:
1.
（1）证明PAL平面ABCD;
（2）求以AC为了棱,EAC与DAC为了面的二面角的大小
AB与AB
5.如图,直三棱柱ABAA1B1C1中,ZACB=90,AC=AA=1,
相交于点D,M为了BC的中点.
（1）求证：
C6平面BDM
（2）求平面BBD与平面CB网成二面角的大小
BBi
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