解决排列组合的21种策略2.0版本(学生版)资料下载.pdf

1、【变式 2】10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插第 2页（共 6页）解决排列组合应用题的策略4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A6 种B9 种

2、C11 种D23 种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是A1260 种B2025 种C2520 种D5040 种【变式 1】12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有A4441284C C C种B44412843C C C种C4431283C C A种D444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例 6.4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有

3、多少种？【变式 1】5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A480 种B240 种C120 种D96 种7.名额分配问题隔板法:例 7.10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9.由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其

4、中个位数字小于十位数字的共有A210 种B300 种C464 种D600 种将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为11mnC第 3页（共 6页）解决排列组合应用题的策略【变式 1】从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？【变式 2】从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？10.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个

5、元素；再排其它的元素。例 10.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？11.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 11.6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是A36 种B120 种C720 种D1440 种【变式 1】8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法【变式 2】有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是.12.圆排问题单排法:把n个不同元素放

6、在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：12323411,;,;,nnnna a aa a a aaa aaLLLL在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有!nn种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n元素全排列.例 12.8 人围桌而坐,共有多少种坐法?【变式 1】6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈【变式 2】5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？13.“至少”“至多”问题用间接排

7、除法或分类法:例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有1mnAn第 4页（共 6页）解决排列组合应用题的策略A140 种B80 种C70 种D35 种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 14.四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【变式 1】9 名乒乓

8、球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15.以正方体的顶点为顶点的四面体共有A70 种B64 种C58 种D52 种【变式 1】四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有A150 种B147 种C144 种D141 种16.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法.例 16.把 6 名实习生

9、分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？【变式 1】某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为【变式 2】某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法17.复杂排列组合问题构造模型法:例 17.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【变式 1】某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？18.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

10、例 18.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？19.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果第 5页（共 6页）解决排列组合应用题的策略例 19.30030 能被多少个不同偶数整除？【变式 1】正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？20.利用

11、对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 20.圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？【变式 1】某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？【变式 2】25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？21.平均分组问题除法策略例 21.6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？【变式 1】将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队,有多少分法？【变式 2】10 名学生分成 3 组

12、,其中一组 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法【变式 3】某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_22.合理分类与分步策略例 22.在一次演唱会上共 10 名演员，其中 8 人能能唱歌，5 人会跳舞，现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少选派方法平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nnA（n为均分的组数）避免重复计数。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，

13、分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题第 6页（共 6页）解决排列组合应用题的策略23.数字排序问题查字典策略例 23.由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？【变式 1】用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是.24.树图策略例 24.3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_【变式 1】分别编有

14、 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（54321,i）的不同坐法有多少种？25.复杂分类问题表格策略例 25.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法26.住酒店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 26.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.27.交叉问题集合法：某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集，可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式（）（）（）（）n ABn An Bn AB.例 27.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效