解决排列组合的21种策略2.0版本(学生版)资料下载.pdf

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【变式2】10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插第2页（共6页）解决排列组合应用题的策略4.标号排位问题分步法:

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A6种B9种C11种D23种5.有序分配问题逐分法:

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A1260种B2025种C2520种D5040种【变式1】12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A4441284CCC种B44412843CCC种C4431283CCA种D444128433CCCA种6.全员分配问题分组法:

例6.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

【变式1】5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A480种B240种C120种D96种7.名额分配问题隔板法:

例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

9.多元问题分类法：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A210种B300种C464种D600种将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC第3页（共6页）解决排列组合应用题的策略【变式1】从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

【变式2】从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

10.定位问题优先法：

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；

再排其它的元素。

例10.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

11.多排问题单排法:

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例11.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A36种B120种C720种D1440种【变式1】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法【变式2】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是.12.圆排问题单排法:

把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：

12323411,;

;

nnnnaaaaaaaaaaaLLLL在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有!

nn种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n元素全排列.例12.8人围桌而坐,共有多少种坐法?

【变式1】6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈【变式2】5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研一般地,n个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!

种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn第4页（共6页）解决排列组合应用题的策略A140种B80种C70种D35种14.选排问题先取后排:

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

【变式1】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

15.部分合条件问题排除法:

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.以正方体的顶点为顶点的四面体共有A70种B64种C58种D52种【变式1】四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A150种B147种C144种D141种16.可重复的排列求幂法:

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法.例16.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

【变式1】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为【变式2】某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法17.复杂排列组合问题构造模型法:

例17.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

【变式1】某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？

18.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例18.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

19.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果第5页（共6页）解决排列组合应用题的策略例19.30030能被多少个不同偶数整除？

【变式1】正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

20.利用对应思想转化法:

对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例20.圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

【变式1】某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？

【变式2】25人排成55方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

21.平均分组问题除法策略例21.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

【变式1】将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？

【变式2】10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法【变式3】某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_22.合理分类与分步策略例22.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nnA（n为均分的组数）避免重复计数。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题第6页（共6页）解决排列组合应用题的策略23.数字排序问题查字典策略例23.由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

【变式1】用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是.24.树图策略例24.3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_【变式1】分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（54321,i）的不同坐法有多少种？

25.复杂分类问题表格策略例25.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法26.住酒店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例26.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.27.交叉问题集合法：

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式（）（）（）（）nABnAnBnAB.例27.从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效