高考试题分类解析(圆锥曲线方程.doc

1、2006年高考试题分类解析（圆锥曲线方程2）31 ( 2006年重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0bn1,n=1,2.若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是PnFn与PnCn的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（）试证：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1S1且SnSn+3 (n3).图()图证：（1）由题设及椭圆的几何性质有 设 因此，由题意应满足即即,从而对任意（）设点 得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.现在由题设取是增数列.又易知故由前已证，知32（2006年上海春卷）学校科技小组在计算

2、机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（1）设曲线方程为，由题意可知，. . 4分 曲线方程为. 6分 （2）设变轨点为，根据题意可知 得 ， 或（不合题意，舍去）. . 9分 得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为， 11分 .答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指

3、令. 14分33（2006年全国卷II）已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值解：()由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线

4、的交点M的坐标为(，)(，1) 4分所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为07分()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且当1时，S取得最小值434（2006年四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积解析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的

5、能力。满分12分。解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得又 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点将点的坐标代入曲线的方程，得 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为到的距离为 的面积35（2006年全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值。解：（I）根据题意，椭圆半焦距长为，半长轴长为

6、，半短轴长，即椭圆的方程为。设点P坐标为（，）（其中），则切线C的方程为：点A坐标为：（，0），点B坐标为（0，）点M坐标为：（，）所以点M的轨迹方程为：（且）（II）等价于求函数（其中）的最小值当时等号成立，此时即。因此，点M坐标为（，）时，所求最小值为。36（2006年江苏卷）已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）。（）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。， ，故所求椭圆的标准方程为+；（II）点P（5，2）、（6，0）、（6，0）关于直线yx的对

7、称点分别为：、（0，-6）、（0，6）设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距， ，故所求双曲线的标准方程为-。点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力37. （2006年湖北卷）设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.（）求椭圆的方程；（）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.（此题不要求在答题卡上画图）解析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（）依题意得 a2c，4，解得a

8、2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.M点在椭圆上，y0（4x02）. 又点M异于顶点A、B，2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x2b0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点（1） 求点P的轨迹H的方程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0b0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y

9、），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2a2y2b2cx0（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x，原点距l的距离为，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0q）则2sin（）当q时，上式达到最大值。此时a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S|y1|y2|y1y2|设直线m的方程为xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韦达定理

10、得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk211，得4S2，当t1，k0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。39（2006年天津卷）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点连结交小圆于点设直线是小圆的切线（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，证明（1）证明：由题设条件知，故，即因此，解：在中，于是，直线的斜率设直线的斜率为，则这时，直线的方程为，令，则所以直线与轴的交点为（2）证明：由（1），得直线的方程为，且由已知，设，则它们的坐标

11、满足方程组由方程组消去，并整理得由式、和，由方程组消去，并整理得由式和，综上，得到注意到，得40（2006年辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得:故线段是圆

12、的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得.解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为将(2)代入(3)得解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则又因当时,d有最小值,由题设得.点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合

13、运用解析几何知识解决问题的能力.41（2006年北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（）求的方程；（）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.解：（）由知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，实半轴长又半焦距，故虚半轴长所以的方程为（）设的坐标分别为，当轴时，从而当与轴不垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去得故所以 又因为，所以，从而综上，当轴时，取得最小值242（2006年上海卷）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由证明：（1）设过点的

14、直线交抛物线于点当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中由得，则 又，综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题 解：（2）逆命题是：设直线交抛物线于两点，如果，那么该直线过点该命题是一个假命题 例如：取抛物线上的点，此时， 直线的方程是，而不在直线上 说明：由抛物线上的点满足，可得或如果，可证得直线过点；如果，可证得直线过点，而不过点43（ 2006年浙江卷）如图，椭圆1（ab0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中

15、点，求证：ATM=AFT.解（1）过点的直线方程为，由题意得有唯一解，即有唯一解，故，即，从而得，故所求的椭圆方程为（2）由（1）得，故，从而由解得，所以因为，又，得因此点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力44. ( 2006年湖南卷）已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.()当AB轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；()是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.解：（）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m0，

16、直线AB的方程为 x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，）. 因为点A在抛物线上，所以，即. 此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上. （）解法一当C2的焦点在AB时，由（）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去y得. 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,则x1,x2是方程的两根，x1x2.AyBOx因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以，且.从而.所以，即.解得.因为C2的焦点在直线上，所以.即.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为.解法二当C2的焦点在AB时，由（）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去y得. 因为C2的焦点在直线上，所以，即.代入有.即. 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,则x1,x2是方程的两根，x1x2.由消去y得. 由于x1,x2也是方程的两根，所以x1x2.从而. 解得.因为C2的焦点在直线上，所以.即.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为. 解法三设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，所以.即. 由（）知，于是直线AB的斜率， 且直线AB的方程是,所以. 又因为，所以. 将、代入得，即.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为.