高考试题分类解析(圆锥曲线方程.doc
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2006年高考试题分类解析（圆锥曲线方程2）
31．（2006年重庆卷）已知一列椭圆Cn:
x2 +=1.0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：
bn≤（n≥1）;
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：
S1＜S1且Sn＜Sn+3（n≥3）.
图（２２）图
证：
（1）由题设及椭圆的几何性质有
设
因此，由题意应满足
即
即,
从而对任意
（Ⅱ）设点
得两极，从而易知f（c）在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.
现在由题设取是增数列.又易知
故由前已证，知
32．（2006年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：
航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：
当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解：
（1）设曲线方程为，
由题意可知，.
.……4分
曲线方程为.……6分
（2）设变轨点为，根据题意可知
得，
或（不合题意，舍去）.
.……9分
得或（不合题意，舍去）.点的坐标为，……11分
.
答：
当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.……14分
33．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．
解：
（Ⅰ）由已知条件，得F（0，1），λ＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．由＝λ，
即得 （－x1，1－y）＝λ（x2，y2－1），
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1（x－x1）＋y1，y＝x2（x－x2）＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为（，）＝（，－1）．……4分
所以·＝（，－2）·（x2－x1，y2－y1）＝（x22－x12）－2（x22－x12）＝0
所以·为定值，其值为0． ……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．
|FM|＝＝
＝
＝＝＋．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝（＋）2．
于是 S＝|AB||FM|＝（＋）3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
34．（2006年四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积
解析：
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。
满分12分。
解：
由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知
故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又∵
依题意得整理后得
∴或但∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点
将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为
到的距离为
∴的面积
35．（2006年全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。
求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ）的最小值。
解：
（I）根据题意，椭圆半焦距长为，半长轴长为，半短轴长，即椭圆的方程为。
设点P坐标为（，）（其中），则
切线C的方程为：
点A坐标为：
（，0），点B坐标为（0，）
点M坐标为：
（，）
所以点M的轨迹方程为：
（且）
（II）等价于求函数 （其中）的最小值
当时等号成立，此时即。
因此，点M坐标为（，）时，所求最小值为。
36．（2006年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解：
（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
，∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（II）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
，∴，
，故所求双曲线的标准方程为-。
点评：
本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力
37.（2006年湖北卷）设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.
（此题不要求在答题卡上画图）
解析：
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
解：
（Ⅰ）依题意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.故椭圆的方程为.
（Ⅱ）解法1：
由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.
∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.
又点M异于顶点A、B，∴－2P（4，）.从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.
将代入，化简得·＝（2－x0）.
∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内。
解法2：
由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），
则－2依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
－＝（－2）2＋（）2－[（x1－x2）2＋（y1－y2）2]
＝（x1－2）（x2－2）＋y1y1
又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，
而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，
∴，即y2＝
又点M在椭圆上，则，即
于是将、代入，化简后可得－＝.
从而，点B在以MN为直径的圆内。
38．（2006年江西卷）如图，椭圆Q：
（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点
（1）求点P的轨迹H的方程
（2）在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0解：
如图，
（1）设椭圆Q：
（a>b>0）
上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则
1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，
由
（1）－
（2）得
b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
\b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：
b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l
的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0则＝＝2sin（＋）
当q＝时，上式达到最大值。
此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1
设椭圆Q：
上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积
S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|
设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0
由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝，
4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝
令t＝k2＋1³1，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。
因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。
39．（2006年天津卷）
如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。
过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．
（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，证明．
（1）证明：
由题设条件知，，故，即．
因此，，
解：
在中，．
于是，直线的斜率．设直线的斜率为，则．
这时，直线的方程为，令，则．
所以直线与轴的交点为．
（2）证明：
由
（1），得直线的方程为，且．②
由已知，设，，则它们的坐标满足方程组③
由方程组③消去，并整理得．④
由式①、②和④，．
由方程组③消去，并整理得．⑤
由式②和⑤，．
综上，得到．
注意到，得
．
40．（2006年辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
（I）证明线段是圆的直径;
（II）当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。
（I）证明1:
整理得:
设M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:
整理得:
……..
（1）
设（x,y）是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点满足上方程,展开并将
（1）代入得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得:
……
（1）
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将
（1）代入得:
故线段是圆的直径
（II）解法1:
设圆C的圆心为C（x,y）,则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值,由题设得
.
解法2:
设圆C的圆心为C（x,y）,则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,
所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将
（2）代入（3）得
解法3:
设圆C的圆心为C（x,y）,则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
又因
当时,d有最小值,由题设得
.
点评：
本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
41．（2006年北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
解：
（Ⅰ）由知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，实半轴长．
又半焦距，故虚半轴长．
所以的方程为．
（Ⅱ）设的坐标分别为，
当轴时，，从而．
当与轴不垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去得
．
故．
所以
又因为，所以，从而．
综上，当轴时，取得最小值2．
42．（2006年上海卷）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：
“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出
（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
证明：
（1）设过点的直线交抛物线于点．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点，．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中．
由得，则．
又，
．
综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题．
解：
（2）逆命题是：
设直线交抛物线于两点，如果，那么该直线过点．该命题是一个假命题．
例如：
取抛物线上的点，此时，
直线的方程是，而不在直线上．
说明：
由抛物线上的点满足，可得或．如果，可证得直线过点；如果，可证得直线过点，而不过点．
43．（2006年浙江卷）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0,1）的直线有且只有一个公共点T，
且椭圆的离心率e=.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：
∠ATM=∠AFT.
解
（1）过点的直线方程为，
由题意得有唯一解，
即有唯一解，
，
故．
，即，
．
从而得，．
故所求的椭圆方程为．
（2）由
（1）得，
故，．
从而
由解得，
所以．
因为，
又，，得．
因此．
点评：
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
44.（2006年湖南卷）已知椭圆C1:
抛物线C2:
且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？
若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.
解：
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（Ⅱ）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.
由消去y得.……①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
A
y
B
O
x
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以，且
.
从而.
所以，即.
解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为.
由消去y得. ……①
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入①有.
即.……②
设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,
则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝.解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法三 设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,
因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，
所以.
即.……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②
且直线AB的方程是,
所以.……③
又因为，所以.……④
将①、②、③代入④得，即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
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