平面几何轨迹问题分类例析.doc

1、平面几何轨迹问题分类例析 近年来，在各地中考中出现了一类求动点轨迹的路径长的问题，由于较难确定动点轨迹的形状，往往导致学生无从下手.本文以部分中考题为例，就如何确定动点轨迹的形状进行分类解析，供读者参考. 一、直线型动点轨迹 事实上，要说明一动点轨迹为直线型(直线、射线或线段)，必须证明两点:第一、该轨迹恒过一定点(确定位置);第二、轨迹上任一点与该定点的连线和一定直线的夹角为定值或平行(明确方向). 例1 (2013年湖州)如图1，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点.若点是线段上的一个动点，, ,则点在线段上运动时，点不变，点随之运动.求当点从点运动到点时，点运动的路径

2、长是_. 图1 解析 如图2，由点位于、时，点所对应的位置、以及点在线段上运动，可猜想点的轨迹是线段.如何证明呢? 显然，点的轨迹已经过点，下面只需证明为定值，即证明它与某一个定角相等即可. 观察可得，就是与相等的定角，再由两角的位置特征和题设条件，不难想到用三角形相似来证明两角相等. 由，得 又易知 ,得, 所以为定值. 故点在线段上， 即线段就是点运动的路径(或轨迹). 同理可证，且相似比为，则. 图2 注 例1利用角来确定动点的运动方向，还可用与定直线平行确定动点的运动方向. 例2 (2010年桂林)如图3，已知=10，点、在线段上，且. 是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作等边和

3、等边，连结，设的中点为.当点从点运动到点时，点移动路径的长是 . 图3 解析 如图4，分别延长、交于点，由可知，当点在线段上移动时，点、分别在线段、上移动. 图4 由，知/, 同理/. 所以四边形为平行四边形，得与互相平分.又为的中点，故为中点.连结、，设其中点分别为、，则/，且/, 所以与所在的直线重合，故点的运动轨迹的中位线，长度为3. 二、圆弧型动点轨迹 根据圆的定义可知，要确定动点的轨迹为圆弧型，只需证明动点到某一定点的距离为定值. 例3 (2011年湖州)如图5，已知正方形的边长为2，顶点、分别在、轴的正半轴上，是的中点.(0,)是线段上一动点(点除外)，直线交的延长线于点. (1)

4、求点的坐标(用含的代数式表示); (2)当是等腰三角形时，求的值; (3)设过、三点的抛物线与轴正半轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为(如图6)，当点从点向点运动时，点也随之运动.请直接写出点所经过的路径长. 图5 解析 (1) ; (2)分和三种情况讨论，可求得的值为于，和; (3)动点到哪个定点的距离为定值呢?由和、为定点，联想到连结,取其中点，则动点到定点的距离为定值，即点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆上的一段圆弧.显然，当点无限接近点时，点趋向无穷远，与轴接近于平行，所以点无限接近于点;当点与点重合时，对应的位置点为轨迹的另一个端点，此时，可求得抛物线的解析式为,得点的坐标为(3,0)

5、.图6 过点作轴的垂线于点，可得，得. 又，.连结，由，知.由勾股定理，得,故点的轨迹长为. 三、图象型动点轨迹 建立适当的坐标系，求出动点坐标所满足的函数关系式，依据函数图象判定动点轨迹的形状. 例4 (2012年福州)如图7，在中，动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动.过点作/,交于点，连结分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒(). (1)直接用含的代数式分别表示:= ，= . (2)是否存在的值，使四边形为菱形?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.并探究如何改变的速度(匀速运动)，使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度. (3)在整个运动过程中，求出线段中点所经过的路径长. 图7解析 (1); (2)四边形不可能为菱形. 当在上运动的速度为每秒个单位时，存在秒时，四边形为菱形; (3)如图7，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 设点的坐标为()，过点作轴于点，则/, ,得.又,得, 故,.消去，得. 又由，得. 所以点的轨迹是以(3,0),(1,4)为端点的线段, 由两点之间距离公式得经过的路径长. 注 本题也可直接求解: 当位于点处(即=0)时,与的中点重合，所以的轨迹必经过点.当时，由图7，可知则.故, 即为定值，所以点的轨迹就是线段.