平面几何轨迹问题分类例析.doc
《平面几何轨迹问题分类例析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面几何轨迹问题分类例析.doc（5页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
平面几何轨迹问题分类例析
近年来，在各地中考中出现了一类求动点轨迹的路径长的问题，由于较难确定动点轨迹的形状，往往导致学生无从下手.本文以部分中考题为例，就如何确定动点轨迹的形状进行分类解析，供读者参考.
一、直线型动点轨迹
事实上，要说明一动点轨迹为直线型（直线、射线或线段），必须证明两点:
第一、该轨迹恒过一定点（确定位置）;第二、轨迹上任一点与该定点的连线和一定直线的夹角为定值或平行（明确方向）.
例1（2013年湖州）如图1，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点.若点是线段上的一个动点，,,则点在线段上运动时，点不变，点随之运动.求当点从点运动到点时，点运动的路径长是___.
图1
解析如图2，由点位于、时，点所对应的位置、以及点在线段上运动，可猜想点的轨迹是线段.如何证明呢?
显然，点的轨迹已经过点，下面只需证明为定值，即证明它与某一个定角相等即可.
观察可得，就是与相等的
定角，再由两角的位置特征和题设条件，不难
想到用三角形相似来证明两角相等.
由，得
又易知,得∽,
所以为定值.
故点在线段上，
即线段就是点运动的路径（或轨迹）.
同理可证∽，且相似比为，则.
图2
注例1利用角来确定动点的运动方向，还可用与定直线平行确定动点的运动方向.
例2（2010年桂林）如图3，已知=10，点、在线段上，且.是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作等边和等边，连结，设的中点为.当点从点运动到点时，点移动路径的长是.
图3
解析如图4，分别延长、交于点，由可知，当点在线段上移动时，点、分别在线段、上移动.
图4
由，知//,
同理//.
所以四边形为平行四边形，得与互相平分.
又为的中点，故为中点.
连结、，设其中点分别为、，则//，且//,
所以与所在的直线重合，故点的运动轨迹的中位线，长度为3.
二、圆弧型动点轨迹
根据圆的定义可知，要确定动点的轨迹为圆弧型，只需证明动点到某一定点的距离为定值.
例3（2011年湖州）如图5，已知正方形的边长为2，顶点、分别在、轴的正半轴上，是的中点.（0,）是线段上一动点（点除外），直线交的延长线于点.
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）;
（2）当是等腰三角形时，求的值;
（3）设过、、三点的抛物线与轴正半轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为（如图6），当点从点向点运动时，点也随之运动.请直接写出点所经过的路径长.
图5
解析
（1）;
（2）分和三种情况讨论，可求得的值为于，和;
（3）动点到哪个定点的距离为定值呢?
由和、为定点，联想到连结,取其中点，则动点到定点的距离为定值，即点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆上的一段圆弧.
显然，当点无限接近点时，点趋向无穷远，与轴接近于平行，所以点无限接近于点;当点与点重合时，对应的位置点为轨迹的另一个端点，此时，可求得抛物线的解析式为,得点的坐标为（3,0）.
图6
过点作轴的垂线于点，可得，得.
又，.
连结，由，知
.
由勾股定理，得,故点的轨迹长为.
三、图象型动点轨迹
建立适当的坐标系，求出动点坐标所满足的函数关系式，依据函数图象判定动点轨迹的形状.
例4（2012年福州）如图7，在中，，动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动.过点作//,交于点，连结分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒（）.
（1）直接用含的代数式分别表示:
=，=.
（2）是否存在的值，使四边形为菱形?
若存在，求出的值;若不存在，说明理由.并探究如何改变的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度.
（3）在整个运动过程中，求出线段中点所经过的路径长.
图7
解析
（1）;
（2）四边形不可能为菱形.
当在上运动的速度为每秒个单位时，存在秒时，四边形为菱形;
（3）如图7，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，
设点的坐标为（），过点作轴于点，则//,
∽,得.
又,
得,故,
.
消去，得.
又由，得.
所以点的轨迹是以（3,0）,（1,4）为端点的线段,
由两点之间距离公式得经过的路径长.
注本题也可直接求解:
当位于点处（即=0）时,与的中点重合，所以的轨迹必经过点.
当时，由图7，可知
则.
故,即为定值，
所以点的轨迹就是线段.
升级会员 