1、一题多解 激活解题思维数学解题不在多,关键在精,精解一题,醒悟全局是每个学子梦寐以求的事。怎样才能实现这一目标,实践告诉我们,必须从平时的思维习惯做起,只要在平时的解题时做到勤思、巧变、对比、联想,常此以往自然能激活自己的思维,实现抓一纲而带全局的梦想必然能够实现。下面以一道等差数列的求值为例,探讨如何如何落实“勤思、巧变、对比、联想”的思维要点。例题:在等差数列中,若,则为( )Am-n B0 C D说明:这是一道十分常见的数列求值题,阅读完题设,自然会联想、对比,根据题设,选择公式,通过拓展,建立与知识间的联系,实现解题与发展能力的双丰收。思考1:直接利用等差数列的通项公式,求出首项和公差
2、d,然后求。解1:设等差数列的首项为,公差为d,根据等差数列的通项公式得: 解之得 =m+n-1-(m+n-1)=0。故选B。点评:这是一种直接的思维方式,思维形式简单、方便,但是解题过程不并一定简单。思考2:根据等差数列的通项公式知,当nm时,。即用数列中的特定项来表示数列中的项。在此基础上进一步变形可得:,。解2:设等差数列的首项为和公差d。 。故选B。点评:该解法体现了巧变的思维特征,这种思维不受公式自身的限制,而是在理解公式概念的基础上,将所学的知识进一步升华,体现了思维的灵活性和创造性,这是一种能力的体现,也是高考的能力要求。思考3:根据数列的函数性,我们知道等差数列的通项是关于项数
3、n的一次函数,若在直角坐标系描出点(n, ),则点(n, )必在一次函数的图象上。根据这一思想得以下解法。解3: ,若令A(m,n),B(n,m),则点A,B关于直线y=x对称。而直线AB的方程为y-m=-(x-n),即y=-x+(m+n),当x=m+n时,y=0。故选B。点评:这里展示的是一种纵向思维方式,体现了数形结合的思想,它告诉我们不仅要学会解题,更重要的是学会应用相关的知识进行解题,学会建立不同知识间的联系,学会创新思维,只有这样,才能发展自己的能力。思考4:进一步地继续审题,不难发现这里m和n是任意的正整数,不管它们的取值如何,只要满足,的值是不发生变化的;再进一步想,不论是怎样的数列(等差),只要满足题设条件,其最终结果都是相同的。既然如此何必舍近求远呢?这里不妨取特殊的等差数列2,1,0,。显然=0。故选B。点评:这里使用了一种走捷径的解题办法,也是解选择题的一种行之有效的方法。体现了思维的灵活性。总之,不管问题多么复杂,条件如何变化,只要我们理解题意,把握内涵,掌握知识间的联系,科学地使用所学的知识,任何问题都难不倒我们。