高三精选立体几何大题(含详细解答).doc

1、立体几何大题训练1如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，ACB90，AC4cm，CD是斜边上的高沿CD把ABC折成直二面角ABC第1题图ABCD第1题图（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角ACDB是直二面角？证明你的结论（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB4cm，则二面角ACDB为直二面角 ABC是等腰直角三角形，又 ADDC，BDDC ADC是二面角ACDB的平面角（2）取ABC的中心P，连DP，则D

2、P满足条件 ABC为正三角形，且 ADBDCD 三棱锥DABC是正三棱锥，由P为ABC的中心，知DP平面ABC， DP与平面内任意一条直线都垂直（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有代入得，即半径最大的小球半径为 2如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AFA1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（）求证：D1B平面AEC；（）求三棱锥BAEC的体积；（）求二面角BAEC的正切值证（）ABCDA1B1C1

3、D1是正四棱柱，D1DABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，由三垂线定理知 D1BAC.同理，D1BAE，AEAC = A，D1B平面AEC . 解（）VBAEC = VEABC . EB平面ABC，EB的长为E点到平面ABC的距离.RtABE RtA1AB，EB =VBAEC = VEABC =SABCEB =33 = （10分） 解（）连CF， CB平面A1B1BA，又BFAE，由三垂线定理知，CFAE .于是，BFC为二面角BAEC的平面角，在RtABE中，BF =，在RtCBF中，tgBFC =， BFC = arctg.即二面角BAEC的大小为arctg. 3如图，已知

4、多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点 （）求证：AF平面BCE；（）求多面体ABCDE的体积；（）求二面角C-BE-D 的正切值 证：（）取CE中点M，连结FM，BM，则有四边形AFMB是平行四边形AF/BM，平面BCE，平面BCE，AF/平面BCE （）由于DE平面ACD，则DEAF又ACD是等边三角形，则AFCD而CDDE=D，因此AF平面CDE又BM/AF，则BM平面CDE （）设G为AD中点，连结CG，则CGAD由DE平面ACD，平面ACD，则DECG，又ADDE=D，CG平面ADEB作GHBE于H，连结

5、CH，则CHBECHG为二面角C-BE-D的平面角 由已知AB=1，DE=AD=2，则，不难算出，4已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（）求证：MNAB；（）若PD=AB，且平面MND平面PCD，求二面角PCDA的大小；（）在（）的条件下，求三棱锥DAMN的体积.（）连结AC，AN. 由BCAB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 则有BCPB. 又BN是RtPBC斜边PC的中线， 即. 由PA底面ABCD，有PAAC，则AN是RtPAC斜边PC的中线，即 又M是AB的中点， （也可由三垂线定理证明） （）由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC

6、. 则PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DNPC 又平面MND平面PCD于ND， PC平面MND PCMN，而N是PC中点，则必有PM=MC. 此时.即二面角PCDA的大小为 （），连结BD交AC于O，连结NO，则NO PA. 且NO平面AMD，由PA=a5如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求证：AMPD；（）求二面角PAMN的大小；（）求直线CD与平面AMN所成角的大小. （I）证明：ABCD是正方

7、形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD （II）解：AM平面PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N的平面角 PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD的中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 . 即二面角PAMN的大小为. （III）解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内的射影CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角 CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平

8、面AMN所成的角的大小为 6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求证：AB1BC1；（II）求二面角BAB1C的大小；（III）求点A1到平面AB1C的距离.（1）证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， ACCC1.ACBC， AC平面B1BCC1.B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.BC=CC1， 四边形B1BCC1是正方形，BC1B1C. 根据三垂线定理得， AB1BC1 （2）解：设BC1B1C=O，作OPAB1于点P，连结BP.BOAC，且BOB1 C， BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上的射影.根据

9、三垂线定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB1C的平面角 OPB1ACB1， 在RtPOB中，二面角BAB1C的大小为 （3）解：解法1 A1C1/AC，A1C1平面AB1C，A1C1/平面AB1C. 点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的距离相等.BC1平面AB1C， 线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离.点A1到平面AB1C的距离为 解法2连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h.B1C1平面ACC1A1， ，又， 点A1到平面AB1C的距离为 7在矩形ABCD中，AB4，BC3，E为DC的中点，沿AE将AED折起，使二面角DAEB为60（）求DE与平面AC

10、所成角的大小；（）求二面角DECB的大小ADBCEABCED第10题图答案：如图1，过点D作DMAE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DMAE，MNAE保持不变，翻折后，如图2，DMN为二面角DAEB的平面角，DMN60，AE平面DMN，又因为AE平面AC，则AC平面DMN （）在平面DMN内，作DOMN于O，平面AC平面DMN，DO平面AC连结OE，DOOE，DEO为DE与平面AC所成的角如图1，在直角三角形ADE中，AD3，DE2，如图2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，则DE与平面AC所成的角为 （）如图2，在平面AC内，作OFEC于F，连结DF，DO平面AC，DFEC

11、，DFO为二面角DECB的平面角如图1，作OFDC于F，则RtEMDRtOFD，如图2，在RtDOM中，OMDMcosDMODMcos60如图1，在RtDFO中，二面角DECB的大小为 8直三棱柱ABCA1B1C1中，ACCBAA12，ACB90，E是BB1的中点，DAB，A1DE90.（）求证：CD平面ABB1A1；（）求二面角DA1CA的大小.（）解：9如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影ABB1C1A1DC恰为AC的中点D，BA1AC1。（I）求证：BC平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离（III）求二面角BAA1C

12、的正切值 解：答案：如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BA1AC1。（I）求证：BC平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离（III）求二面角BAA1C的正切值 解：（1）由题意，A1D平面ABC，A1DBC。又ACBC，BC平面A1ACC1（II）过D作DHAB于H，又A1D平面ABC，ABA1HA1H是H1到AB的距离BA1AC1，BC平面A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得A1CAC1 A1ACC1是菱形 A1A=AC=a, A1D=.10如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1

13、的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角CAFB的大小.解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因FN/HC，则HMCFMK，因H为BC中点BC=AB=2，则KN=，则HM=，在RtHCC1，HC2=HMHC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h，则C（0，1，0），F（），D（），E（0，0，h），由CFDE，得，解得h=2. （2）连CD，易得CD面AA1B1B，作DGAF，连CG，由三垂线定理得

14、CGAF，所以CGD是二面角CAFB的平面角，又在RtAFB中，AD=1，BF=1，AF=，从而DG=tanCGD=，故二面角CAFB大小为arctan.11.已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，M、N分别是AD、PB的中点。（）求证：平面MNC平面PBC；（）求点A到平面MNC的距离。解：（I）连PM、MB PD平面ABCD PDMD1分PM=BM 又PN=NB MNPB3分得NCPBPB平面MNC5分 平面PBC平面MNC平面PBC6分（II）取BC中点E，连AE，则AE/MCAE/平面MNC，A点与E点到平面MNC的距离相等7分取NC中点F，连EF，则EF平行且等于BN

15、 BN平面MNC EF平面MNC，EF长为E点到平面MNC的距离9分 PD平面ABCD，BCDC BCPC. 即点A到平面MNC的距离为12分12如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC. （）求证：直线BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱锥C1ABB1的体积. （）证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平面AB1D.（）解：过B作BEAD于E，连结EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是

16、二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小为60 （）解法一：过A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱锥C1ABB1的体积为13如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，ADBC，ABC90，且，又PA平面ABCD，AD3AB3PA3a。 （I）求二面角PCDA的正切值； （II）求点A到平面PBC的距离。解：（1）在底面ABCD内，过A作AECD，垂足为E，连结PE PA平面ABCD，由三垂

17、线定理知：PECD PEA是二面角PCDA的平面角2分 在中， 4分 在中， 二面角PCDA的正切值为6分 （II）在平面APB中，过A作AHPB，垂足为H PA平面ABCD，PABC 又ABBC，BC平面PAB 平面PBC平面PAB AH平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离10分 在等腰直角三角形PAB中，所以点A到平面PBC的距离为12分14如图，PA平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.（）求证：AF平面PCE；（）若二面角PCDB为45，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离.（）取PC中点M，连结ME、MF. ，即四边形AFME是平行四边形，

18、2/；。分AF/EM，AF平在PCE，AF平面PCE.4分（）PA平面AC，CDAD，根据三垂线定理知，CDPD PDA是二面角PCDB的平面角，则PDA=456分 于是，PAD是等腰直角三角形，AFPD，又AFCDAF面PCD.而EM/AF, EM面PCD.又EM平面PEC, 面PEC面PCD.8分在面PCD内过F作FHPC于H，则FH为点F到平面PCE的距离.10分由已知，PD=2，PF=PFHPCD 12分15如图，正方体，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AEBFx（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；（3）求异面直线与所成的角的取值

19、范围（1），当时，三棱锥的体积最大（2）取EF中点O，由，所以就是二面角的平面角在Rt中（3）在AD上取点H使AHBFAE，则，所以（或补角）是异面直线与所成的角在Rt中，在Rt中，在RtHAE中，在中，因为，所以，16 已知，如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BGGC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体PBCG的体积为.（）求异面直线GE与PC所成的角；（）求点D到平面PBG的距离；（）若F点是棱PC上一点，且DFGC，求的值.解法一： （I）由已知PG=42如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系oxyz，则B（2，

20、0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）异面直线GE与PC所成的角为arccos4（II）平面PBG的单位法向量点D到平面PBG的距离为8（III）设F（0，y , z）在平面PGC内过F点作FMGC，M为垂足，则12解法二： （I）由已知PG=42在平面ABCD内，过C点作CH/EG交AD于H，连结PH，则PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.3在PCH中，由余弦定理得，cosPCH=异面直线GE与PC所成的角为arccos4（II）PG平面ABCD，PG平面PBG平面PBG平面ABCD在平面ABCD内，过D作DKBG，交BG延长线于K，则DK平面PBGDK

21、的长就是点D到平面PBG的距离6在DKG，DK=DGsin45=点D到平面PBG的距离为8（III）在平面ABCD内，过D作DMGC，M为垂足，连结MF，又因为DFGCGC平面MFD， GCFM由平面PGC平面ABCD，FM平面ABCD FM/PG由GMMD得：GM=GDcos45=101217如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求证：AMPD；（）求二面角PAMN的大小；（）求直线CD与平面AMN所成角的大小. （I）证明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD3分AM平面

22、PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD.5分 （II）解：AM平面PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N的平面角.7分PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD的中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 .10分即二面角PAMN的大小为. （III）解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内的射影CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.12分CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平面AMN所成的角的大小为15分18如图，直三棱

23、柱ABCA1B1C1中，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为的重心（1）求证：；（2）若二面角CABD的大小为，求点C1到平面A1B1D的距离；（3）若点C在上的射影正好为M，试判断点C1在的射影是否 为N？并说明理由解：（1）连结并延长，分别交于，连结，分别为的重心，则分别为的中点在直三棱柱中，（2）连结即为二面角的平面角在中，PQ 连结同上可知，设PQCC1DNM（3） .（另解）9(B)空间向量解法：以C1为原点，如图建立空间直角坐标系。（1） 设，依题意有： 因为M、N分别为的重心所以 （2） 因为平面ABC的法向量， 设平面ABD的法 向量 令，设二面角CABD为，则由因此 设平面A

24、1B1D的法向量为，则设C1到平面A1B1D的距离为，则（3）若点C在平面ABD上的射影正好为M，则 即（舍） 因为D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。19在RtABC中，ACB=30，B=90，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将ABD沿BD折起，二面角ABDC大小记为。BAPCFDOEPAECDFB（1） 求证：面AEF面BCD；（2） 为何值时，ABCD。（1）证明：在RtABC中，C=30，D为AC的中点，则ABD是等边三角形又因E是BD的中点， BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E， BD面AEF BD面BCD，面AEF面BCD。（2）过A作AP面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，令AB=1，则ABD是边长为1的等边三角形，若ABCD，则BQCDPE=AE=又AE=折后有cosAEP=由于AEF=就是二面角ABDC的平面角，当=arccos时，ABCD20已知三棱锥PABC中PB底面ABC，PB=BC=CA=a，E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA. （1）求证：平面PACPBC； （2）求平面BEF与底面ABC所成角（用一个反三角函数值表示）