高三精选立体几何大题(含详细解答).doc
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立体几何大题训练
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．
A
B
C
第1题图
A
B
C
D
第1题图
（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？
证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．
解：
（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．
∵△ABC是等腰直角三角形，
又∵AD⊥DC，BD⊥DC．
∴∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．
（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件
∵△ABC为正三角形，且AD＝BD＝CD．
∴三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC，
∴DP与平面内任意一条直线都垂直．
（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有代入得，即半径最大的小球半径为．
2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：
D1B⊥平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；
（Ⅲ）求二面角B—AE—C的正切值
证（Ⅰ）∵ABCD —A1B1C1D1是正四棱柱，
∴D1D⊥ABCD.
连AC，又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
由三垂线定理知D1B⊥AC.
同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，
∴D1B⊥平面AEC.
解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.
∵EB⊥平面ABC，
∴EB的长为E点到平面ABC的距离.
∵Rt△ABE~Rt△A1AB，
∴EB=
∴VB－AEC=VE－ABC=S△ABC·EB
=××3×3×
=（10分）
解（Ⅲ）连CF，
∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，
由三垂线定理知，CF⊥AE.
于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，
在Rt△ABE中，BF=，
在Rt△CBF中，tg∠BFC=，
∴∠BFC=arctg.
即二面角B—AE—C的大小为arctg.
3．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：
AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；
（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．
证：
（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有．
∴四边形AFMB是平行四边形．
∴AF//BM，
∵平面BCE，
平面BCE，
∴AF//平面BCE．
（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，
则DE⊥AF．
又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．
又BM//AF，则BM⊥平面CDE．
．
（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．
由DE⊥平面ACD，平面ACD，
则DE⊥CG，又AD∩DE=D，
∴CG⊥平面ADEB．
作GH⊥BE于H，连结CH，则CH⊥BE．
∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角．
由已知AB=1，DE=AD=2，则，
∴．
不难算出．
∴，∴．
∴．
4．已知：
ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（Ⅰ）求证：
MN⊥AB；
（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.
（Ⅰ）连结AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在
底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.
又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，
即.
由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，
则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，
即
又∵M是AB的中点，
（也可由三垂线定理证明）
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.
则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角
由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，
则有DN⊥PC
又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND∴PC⊥MN，
而N是PC中点，则必有PM=MC.
此时.
即二面角P—CD—A的大小为
（Ⅲ），∥
＝
连结BD交AC于O，连结NO，则NOPA.且NO⊥平面AMD，由PA=a
5．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.
（Ⅰ）求证：
AM⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；
（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.
（I）证明：
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.
∴CD⊥平面PAD
∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.
∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.
∴AM⊥平面PCD.
∴AM⊥PD
（II）解：
∵AM⊥平面PCD（已证）.
∴AM⊥PM，AM⊥NM.
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角
∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.
在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.
∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，
PM=PD=
由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴.
即二面角P—AM—N的大小为.
（III）解：
延长NM，CD交于点E.
∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影
∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角
∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.
在Rt△PMN中，
∴CD与平面AMN所成的角的大小为
6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°.BC=CC1=a，AC=2a.
（I）求证：
AB1⊥BC1；
（II）求二面角B—AB1—C的大小；
（III）求点A1到平面AB1C的距离.
（1）证明：
∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1.
∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1.
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.
∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，
∴BC1⊥B1C.根据三垂线定理得，
AB1⊥BC1
（2）解：
设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，
连结BP.∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，
∴BO⊥平面AB1C.
∴OP是BP在平面AB1C上的射影.
根据三垂线定理得，AB1⊥BP.
∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角
∵△OPB1~△ACB1，∴∴
在Rt△POB中，，
∴二面角B—AB1—C的大小为
（3）解：
[解法1]∵A1C1//AC，A1C1平
面AB1C，∴A1C1//平面AB1C.∴点A1到
平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的
距离相等.∵BC1⊥平面AB1C，
∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的
距离.
∴点A1到平面AB1C的距离为
[解法2]连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h.
∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴，
又，
∴∴点A1到平面AB1C的距离为
7．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60 ．
（Ⅰ）求DE与平面AC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角D－EC－B的大小．
A
D
B
C
E
A
B
C
E
D
第10题图
答案：
如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D－AE－B的平面角，∠DMN＝60 ，AE⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则AC⊥平面DMN．
（Ⅰ）在平面DMN内，作DO⊥MN于O，
∵平面AC⊥平面DMN，
∴DO⊥平面AC．
连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角．
如图1，在直角三角形ADE中，AD＝3，DE＝2，
如图2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，，则
∴DE与平面AC所成的角为
（Ⅱ）如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DF，
∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D－EC－B的平面角．
如图1，作OF⊥DC于F，则Rt△EMD∽Rt△OFD，
∴
如图2，在Rt△DOM中，OM＝DMcos∠DMO＝DM·cos60 ＝．
如图1，
在Rt△DFO中，
∴二面角D－EC－B的大小为．
8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E是BB1的中点，
D∈AB，∠A1DE＝90°.
（Ⅰ）求证：
CD⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求二面角D－A1C－A的大小.
（Ⅱ）解：
9．如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影
A
B
B1
C1
A1
D
C
恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。
（I）求证：
BC⊥平面A1ACC1；
（II）求点A1到AB的距离
（III）求二面角B—AA1—C的正切值
解：
答案：
如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影
恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。
（I）求证：
BC⊥平面A1ACC1；（II）求点A1到AB的距离
（III）求二面角B—AA1—C的正切值
解：
（1）由题意，A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥BC。
又AC⊥BC，∴BC⊥平面A1ACC1
（II）过D作DH⊥AB于H，又A1D⊥平面ABC，∴AB⊥A1H
∴A1H是H1到AB的距离
∵BA1⊥AC1，BC⊥平面A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得A1C⊥AC1
∴A1ACC1是菱形∴A1A=AC=a,A1D=.
10．
如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.
（1）求此三棱柱的高；
（2）求二面角C—AF—B的大小.
解：
（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，
连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因
FN//HC，则△HMC∽△FMK，因H为BC中点
BC=AB=2，则KN=，∴
则HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1，
解得HC1=，C1C=2.
另解：
取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h，则C（0，1，0），F（），D（），E（0，0，h），∴，由CF⊥DE，得，解得h=2.
（2）连CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，连CG，
由三垂线定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B
的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=，
从而DG=∴tan∠CGD=，
故二面角C—AF—B大小为arctan.
11.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，，M、N分别是AD、PB的中点。
（Ⅰ）求证：
平面MNC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。
解：
（I）连PM、MB∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥MD…1分
∴PM=BM又PN=NB∴MN⊥PB………3分
得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC……5分平面PBC
∴平面MNC⊥平面PBC……6分
（II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC，
A点与E点到平面MNC的距离相等…7分
取NC中点F，连EF，则EF平行且等于BN
∵BN⊥平面MNC∴EF⊥平面MNC，EF长为E
点到平面MNC的距离……9分∵PD⊥平面ABCD，
BC⊥DC∴BC⊥PC.
即点A到平面MNC的距离为……12分
12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：
直线BC1//平面AB1D；
（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.
（Ⅰ）证明：
CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，
∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.
又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，
∴直线BC1//平面AB1D.
（Ⅱ）解：
过B作BE⊥AD于E，连结EB1，
∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，
在Rt△B1BE中，
∴∠B1EB=60°。
即二面角B1—AD—B的大小为60°
（Ⅲ）解法一：
过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=
即三棱锥C1—ABB1的体积为
解法二：
在三棱柱ABC—A1B1C1中，
即三棱锥C1—ABB1的体积为
13．如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。
（I）求二面角P—CD—A的正切值；
（II）求点A到平面PBC的距离。
解：
（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE
∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：
PE⊥CD
∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角………………2分
在中，
………………4分
在中，
∴二面角P—CD—A的正切值为………………6分
（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB
∴平面PBC⊥平面PAB
∴AH⊥平面PBC
故AH的长即为点A到平面PBC的距离………………10分
在等腰直角三角形PAB中，，所以点A到平面PBC的距离为
…………12分
14．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.
（Ⅰ）求证：
AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，
CD=3，求点F到平面PCE的距离.
（Ⅰ）取PC中点M，连结ME、MF.
，即四边形AFME是平行四边形，……2/；‘。
。
。
。
分
∴AF//EM，∵AF平在PCE，∴AF∥平面PCE.……4分
（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，根据三垂线定理知，CD⊥PD∴∠PDA是二面角
P—CD—B的平面角，则∠PDA=45°……6分于是，△PAD是等腰直角三角形，
AF⊥PD，又AF⊥CD∴AF⊥面PCD.而EM//AF,∴EM⊥面PCD.又EM平面PEC,
∴面PEC⊥面PCD.……8分
在面PCD内过F作FH⊥PC于H，则FH为点F到平面PCE的距离.……10分
由已知，PD=2，PF=
∵△PFH∽△PCD∴……12分
15．如图，正方体，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．
（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？
（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；
（3）求异面直线与所成的角的取值范围．
（1），当时，三棱锥的体积最大．
（2）取EF中点O，由，所以就是二面角的平面角．在Rt△中
． （3）在AD上取点H使AH＝BF＝AE，则，
，，所以（或补角）是异面直线与所成的角在Rt△中，，在Rt△中，，在Rt△HAE中，，在△中，因为，所以，，，
16．
已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为.
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；
（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；
（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.
解法一：
（I）由已知
∴PG=4…………2′
如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，
则
B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）
故E（1，1，0）
∴异面直线GE与PC所成的角为arccos……………………4′
（II）平面PBG的单位法向量
∴点D到平面PBG的距离为……………………8′
（III）设F（0，y,z）
在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则
……………………………………………………………………12′
解法二：
（I）由已知
∴PG=4…………2′
在平面ABCD内，过C点作CH//EG
交AD于H，连结PH，则
∠PCH（或其补角）就是异面直线GE
与PC所成的角.………………3′
在△PCH中，
由余弦定理得，cos∠PCH=
∴异面直线GE与PC所成的角为arccos……………………4′
（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG
∴平面PBG⊥平面ABCD
在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG
∴DK的长就是点D到平面PBG的距离…………………………6′
在△DKG，DK=DGsin45°=
∴点D到平面PBG的距离为……………………………………8′
（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG
由GM⊥MD得：
GM=GD·cos45°=…………………………10′
…………12′
17．
如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.
（Ⅰ）求证：
AM⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；
（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.
（I）证明：
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.
∴CD⊥平面PAD……………………………………3分
∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.
∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.
∴AM⊥平面PCD.
∴AM⊥PD.…………………………………………5分
（II）解：
∵AM⊥平面PCD（已证）.
∴AM⊥PM，AM⊥NM.
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角.…………………………7分
∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.
在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.
∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=PD=
由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴.
…………10分
即二面角P—AM—N的大小为.
（III）解：
延长NM，CD交于点E.
∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影
∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.…………12分
∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.
在Rt△PMN中，
∴CD与平面AMN所成的角的大小为…………15分
18．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，，D为棱CC1
上的一动点，M、N分别为的重心．
（1）求证：
；
（2）若二面角C—AB—D的大小为，求点C1到平面A1B1D的距离；
（3）若点C在上的射影正好为M，试判断点C1在的射影是否
为N？
并说明理由．
解：
（1）连结并延长，分别交于，连结，
分别为的重心，则分别为的中点
在直三棱柱中，
（2）连结
即为二面角的平面角
在中，
P
Q
连结
同上可知，
设
P
Q
C
C1
D
N
M
（3）
∽
.
（另解）[9（B）]空间向量解法：
以C1为原点，如图建立空间直角坐标系。
（1）设，依题意有：
因为M、N分别为的重心．
所以
∵∴
（2）因为平面ABC的法向量，设平面ABD的法向量
令，设二面角C—AB—D为，则由
因此
设平面A1B1D的法向量为，则
设C1到平面A1B1D的距离为，则
（3）若点C在平面ABD上的射影正好为M，则
·
即（舍）
因为D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。
19．在RtABC中，ACB=30，B=90，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，
将ABD沿BD折起，二面角A－BD－C大小记为。
B
A
P
C
F
D
O
E
P
A
E
C
D
F
B
（1）求证：
面AEF面BCD；
（2）为何值时，ABCD。
（1）证明：
在RtABC中，C=30，D为AC的中点，则ABD是等边三角形又因E是BD的中
点，BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E，BD面AEFBD面BCD，面AEF 面BCD。
（2）过A作AP面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，令AB=1，则ABD
是边长为1的等边三角形，若ABCD，则BQCDPE=AE=又AE=
折后有cosAEP==
由于AEF=就是二面角A－BD－C的平面角，
当=－arccos时，ABCD
20．已知三棱锥P—ABC中PB⊥底面ABC，，
PB=BC=CA=a，E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA.
（1）求证：
平面PAC⊥PBC；
（2）求平面BEF与底面ABC所成角（用一个反三角函数值表示）
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