湖南省高考数学文科试题及答案.doc

1、2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)本试题卷包括选择题、填空题、解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分参考公式:(1),其中为两个基本事件,且.(2)柱体体积公式,其中为底面面积,为高. (3)球的体积公式,其中为球的半径.一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集则（ ）A. B. C. D. 2. 若为虚数单位,且,则( )A. B. C. D. 3. “”是“”的( )A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 设图1是某几何

2、体的三视图,则该几何体的体积为 ( )A. B. C. D. 5. 通过询问110名性别不同的的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表.由算得,附表如右下,参照附表,得到的正确结论( )男女总计爱好402060不爱好203050总计60501100.0500.0100.0013.8416.63510.828A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”6. 设双曲线的渐近线方程为,则的值为(

3、 )A.4 B.3 C.2 D.17. 曲线在点处的切线的斜率为( )A. B. C. D. 8. 已知函数若有,则的取值范围为( )A.2, B.(2, C. 1,3 D.(1,3) 二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)选做题(请考生在第9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)9. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为,则与的交点个数为.10. 已知某试验范围为,若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是

4、（只写出其中一个也正确）.(二)必做题(1116题)11. 若执行如图2所示的框图,输入则输出的数等于 .12. 已知为奇函数,则 .13. 设向量a,b满足|a|=,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为 .14. 设,在约束条件下,目标函数的大值为4,则的值为 。15. 已知圆直线(1)圆的圆心到直线的距离为 ;(2)圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 .16. 给定设函数满足:对于任意大于的正整数 .(1)设则其中一个函数在处的函数值为 ;(2)设且当时,则不同的函数的个数为 .三、解答题：本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题

5、满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足.()求角的大小；()求的最大值,并求取得最大值时角的大小.18. (本小题满分12分)某河流上一座水力发电站,每年六月份的发电量(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量(单位:毫米)有关.据统计,当时,;每增加10,增加5.已知近20年的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.降雨量70110140160200220频率()完成如下的频率分布表:近20年六月份降雨量频率分布表()假定今年六月份的降

6、雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.19. (本小题满分12分)如图3,在圆锥中.已知,的直径点在上,且,是的中点.()证明:平面；()求直线和平面所成角的正弦值.20. (本小题满分13分)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备,的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初的价值为上年初的75%.()求第年初的价值的表达式;()设,若大于80万元,则继续使用,否则须在第年初对更新.证明:须在第9年初对更新.21. (本小

7、题满分13分)已知平面内一动点到点的距离与点到轴距离的差等于1.()求动点的轨迹的方程;()过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于与轨迹相交于点求的最小值.22. (本小题满分13分)设函数(讨论的单调性；()若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为.问:是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.2011年湖南省文科数学参考答案题号12345678答案BCADACBB一、选择题 二、填空题 9. 2 10. 40或60 11.12. 6 13. (-4,-2) 14. 3 15.(1) 5 ; (2)16.(1) a(a为正整数) ,(2) 16 17【解析】()由正弦定理

8、得.因为,所以.从而.又,所以,则.（）由()知,于是因为所以从而当,即时,取得最大值2.综上所述,的最大值为2.此时,.降雨量70110140160200220频率18【解析】()在所给的数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为()由题知(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)=或=或=19【解析】(一法) ()因为,是的中点,所以.又底面,底面,所以.因为是平面内的两条相交直线,所以平面.()由()知,平面,而平面,所以平面平面.在平面中,过作于,则平面,连结,则是在平面上的射影.所以是直线和平面所成角.在

9、中,在中,.在中,故直线和平面所成角的正弦值为.20【解析】()当时,数列是首项为120,公差为-10的等差数列, 当时,数列是以为首项,公比为的等比数列,又,所以因此,第年初的价值的表达式()设表示数列的前项和,由等差及等比数列的求和公式得当时,当时,由于故.因为是递减数列,所以是递减数列.又所以须在第9年初对更新.21【解析】()设动点的坐标为,由题意有.化简得当时,当时,.所以,动点的轨迹的方程为和.()由题知,直线的斜率存在且不为0,设为,则直线的方程为由得设,则是上述方程的两个实根, 于是因为,所以的斜率为.设,则同理可得故 = = =当且仅当即时,取得最小值16.22【解析】()定义域为.令,其判别式.(1)当时,.故在上单调递增.(2)当时,的两根都小于0.在上,.故在上单调递增.(3)当时,的两根当时,;当时,当时,.故分别在上单调递增,在上单调递减.()由()知,因为所以,又由()知,于是若存在,使得,则即.亦即.(*)再由()知,函数在上上单调递增,而,所以.这与(*)式矛盾.故不存在,使得.2011年高考湖南卷文科数学 第7页 共7页