湖南省高考数学文科试题及答案.doc
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）
本试题卷包括选择题、填空题、解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分
参考公式:
（1）,其中为两个基本事件,且.
（2）柱体体积公式,其中为底面面积,为高.
（3）球的体积公式,其中为球的半径.
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集则（）
A.B.C.D.
2.若为虚数单位,且,则（）
A.B.C.D.
3.“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（）
A.B.C.D.
5.通过询问110名性别不同的的大学生是否爱好某项运动,得到如下
的列联表.由算得,
附表如右下,参照附表,得到的正确
结论（）
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
6.设双曲线的渐近线方程为,则的值为（）
A.4B.3C.2D.1
7.曲线在点处的切线的斜率为（）
A.B.C.D.
8.已知函数若有,则的取值范围为（）
A.[2,]B.（2,C.[1,3]D.（1,3）
二、填空题:
本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分）
9.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数）,在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中,曲线的方程为,则与的交点个数为 .
10.已知某试验范围为,若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是 （只写出其中一个也正确）.
（二）必做题（11～16题）
11.若执行如图2所示的框图,输入
则输出的数等于.
12.已知为奇函数,,,
则.
13.设向量a,b满足|a|=,b=（2,1）,且a与b的方向相反,
则a的坐标为.
14.设,在约束条件下,目标函数
的大值为4,则的值为。
15.已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为;
（2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为.
16.给定设函数→满足:
对于任意大于的正整数
.
（1）设则其中一个函数在处的函数值为;
（2）设且当时,,则不同的函数的个数为.
三、解答题：
本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值,并求取得最大值时角的大小.
18.（本小题满分12分）
某河流上一座水力发电站,每年六月份的发电量（单位:
万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量（单位:
毫米）有关.据统计,当时,;每增加10,增加5.已知近20年的值为:
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（Ⅰ）完成如下的频率分布表:
近20年六月份降雨量频率分布表
（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率.
19.（本小题满分12分）
如图3,在圆锥中.已知,⊙的直径点在
上,且,是的中点.
（Ⅰ）证明:
⊥平面；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备,的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初的价值为上年初的75%.
（Ⅰ）求第年初的价值的表达式;
（Ⅱ）设,若大于80万元,则继续使用,否则须在第年初对更新.证明:
须在第9年初对更新.
21.（本小题满分13分）
已知平面内一动点到点的距离与点到轴距离的差等于1.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;
（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于与轨迹相交于点求的最小值.
22.（本小题满分13分）
设函数
（Ⅰ讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为.问:
是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
2011年湖南省文科数学参考答案
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
C
A
D
A
C
B
B
一、选择题
二、填空题
9.2 10.40或60 11. 12.6 13.（-4,-2） 14.3 15.
（1）5;
（2）
16.
（1）a（a为正整数）,
（2）16
17．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得.因为,所以.从而
.又,所以,则.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,于是
因为所以从而当,即时,取得最大值2.综上所述,的最大值为2.此时,.
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
18．【解析】（Ⅰ）在所给的数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为
（Ⅱ）由题知
（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）
=或=或=
=
19．【解析】（一法）
（Ⅰ）因为,是的中点,所以.
又底面⊙,底面⊙,所以.因为
是平面内的两条相交直线,所以平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,平面,而平面,
所以平面平面.
在平面中,过作于,则平面,连结,则是在平面上的射影.所以是直线和平面所成角.
在中,
在中,.
在中,,故直线和平面所成角的正弦值为.
20．【解析】（Ⅰ）当时,数列是首项为120,公差为-10的等差数列,
当时,数列是以为首项,公比为的等比数列,又,所以
因此,第年初的价值的表达式
（Ⅱ）设表示数列的前项和,由等差及等比数列的求和公式得
当时,
当时,由于
故
.因为是递减数列,所以是递减数列.又
所以须在第9年初对更新.
21．【解析】（Ⅰ）设动点的坐标为,由题意有.化简得当时,当时,.
所以,动点的轨迹的方程为和.
（Ⅱ）由题知,直线的斜率存在且不为0,设为,则直线的方程为
由得
设,则是上述方程的两个实根,
于是
因为,所以的斜率为.设,
则同理可得
故
==
=
=
当且仅当即时,取得最小值16.
22．【解析】（Ⅰ）定义域为.
令,其判别式.
（1）当时,.故在上单调递增.
（2）当时,,的两根都小于0.在上,.故在上单调递增.
（3）当时,,的两根
当时,;当时,当时,.
故分别在上单调递增,在上单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,因为
所以,
又由（Ⅰ）知,于是
若存在,使得,则即.亦即
.（*）
再由（Ⅰ）知,函数在上上单调递增,而,所以
.这与（*）式矛盾.故不存在,使得.
2011年高考◆湖南卷文科数学第7页共7页
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