线面垂直的证明中的找线技巧.doc

1、线面垂直的证明中的找线技巧uu 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD证明：连结MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 设正方体棱长为，则， 在Rt中， OMDB=O， 平面MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明u 利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC 证明：在平面PAC内作ADPC交PC于D因为平面PAC平面PBC，且两平面交于PC，平面PAC，且ADPC， 由面面垂直的性质，得AD平面PBC 又

2、平面PBC，ADBC PA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC （另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC平面PAC） 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会

3、灵活应用这些定理证明问题下面举例说明3 如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：，证明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可证评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4 如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时

4、，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5 如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC若AEPC ，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，平面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系6. 空间四边形ABCD中，若ABCD，BCAD，求证：ACBD 证明：过A作AO平面BCD于O 同理B

5、CDO O为ABC的垂心 7. 证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影 8. 如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证： . 证：取PD中点E，则 9如图在ABC中， ADBC， ED=2AE， 过E作FGBC， 且将AFG沿FG折起，使AED=60，求证:AE平面ABC分析： 弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： FGBC，ADBCAEFGAEBC设AE=a，则ED=2a由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60 =3a2ED2=AD2+AE2ADAEAE

6、平面ABC10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM分析: 要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM11已知如图，P平面ABC，PA

7、=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求证：平面ABC平面PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明：取BC中点D 连结AD、PD PA=PB；APB=60 PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD为直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC12. 如图，直角BAC在外，求证：在内射影为直角。证：如图所示，、 为射影 确定平面 13 以AB为直径的圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AEPB于E，AFPC于F，试判断图中还有几组线面垂直。解：面AEF