线面垂直的证明中的找线技巧.doc

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线面垂直的证明中的找线技巧

u

u通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1如图1，在正方体中，为的中点，AC交BD于点O，求证：

平面MBD．

证明：

连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，

∴DB⊥平面，而平面∴DB⊥．

设正方体棱长为，则，．

　　在Rt△中，．∵，∴．∵OM∩DB=O，∴⊥平面MBD．

评注：

在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

u利用面面垂直寻求线面垂直

2如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：

BC⊥平面PAC．

　证明：

在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．

评注：

已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

　　一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：

线线垂直线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：

，．

　　证明：

∵平面ABCD，

　　∴．∵，∴平面SAB．又∵平面SAB，∴．∵平面AEFG，∴．∴平面SBC．∴．同理可证．

评注：

本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：

AH⊥平面BCD．

证明：

取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵，∴．

∵，∴．

又，∴平面CDF．

∵平面CDF，∴．

又，，　

∴平面ABE，．

∵，，，

∴平面BCD．

评注：

本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：

平面AEF⊥平面PBC．

证明：

∵AB是圆Ｏ的直径，∴．

∵平面ABC，平面ABC，

∴．∴平面APC．

∵平面PBC，　

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：

证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：

AC⊥BD

证明：

过A作AO⊥平面BCD于O

同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心

7.证明：

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

证明：

连结AC

AC为A1C在平面AC上的射影

8.如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

.证：

取PD中点E，则

9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:

A'E⊥平面A'BC

分析：

弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解：

∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG

∴A'E⊥BC

设A'E=a，则ED=2a

由余弦定理得：

A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°

=3a2

∴ED2=A'D2+A'E2

∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面A'BC

10如图,在空间四边形SABC中,SA^平面ABC,ÐABC=90°,AN^SB于N,AM^SC于M。

求证:

①AN^BC;②SC^平面ANM

分析:

①要证AN^BC,转证,BC^平面SAB。

②要证SC^平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC^AM,SC^AN。

要证SC^AN,转证AN^平面SBC,就可以了。

证明:

①∵SA^平面ABC

∴SA^BC

又∵BC^AB,且ABSA=A

∴BC^平面SAB

∵AN平面SAB

∴AN^BC

②∵AN^BC,AN^SB,且SBBC=B

∴AN^平面SBC

∵SCC平面SBC

∴AN^SC

又∵AM^SC,且AMAN=A

∴SC^平面ANM

11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求证：

平面ABC⊥平面PBC

分析：

要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。

显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明：

取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形

同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=a

BC=a∴PD=a在ΔABC中AD=

=a∵AD2+PD2==a2=AP2∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC

12.如图，直角BAC在外，，，求证：

在内射影为直角。

证：

如图所示，、

为射影

确定平面

13以AB为直径的圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

解：

面AEF