人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解.doc

1、集合与函数概念11集合（一）集合的有关概念定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的

2、特征 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：大于3小于11的偶数；我国的小河流；非负奇数； 方程x

3、2+1=0的解；某校2011级新生； 血压很高的人；著名的数学家； 平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。 例如，我们A表示“120以内的所有质数”组成的集合，则有3A，4A，等等。练：A=2，4，8，16，则4A，8A，32A.（二）例题讲解：例1用“”或“”符号填空： 8 N； 0 N； -3 Z； Q； 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。练：5页题例2已知集合P的元素为, 若2P且-1P，

4、求实数m的值。练：考察下列对象是否能形成一个集合？身材高大的人 所有的一元二次方程直角坐标平面上纵横坐标相等的点 细长的矩形的全体比2大的几个数 的近似值的全体所有的小正数 所有的数学难题给出下面四个关系:R,0.7Q,00,0N,其中正确的个数是:( )A4个 B3个 C2个 D1个下面有四个命题:若-a,则a 若a,b,则a+b的最小值是2集合N中最小元素是1 x2+4=4x的解集可表示为2,2 其中正确命题的个数是( 由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?求集合2a,a2+a中元素应满足的条件?若t,求t的值.一、集合的表示方法列举法：把集合中的

5、元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；说明：书写时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序；在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；集合中的元素可以为数，点，代数式等；列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为例1用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组

6、成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3) 从51到100的所有整数的集合；(4) 小于10的所有自然数组成的集合；(5) 方程的所有实数根组成的集合； 由120以内的所有质数组成的集合。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合，

7、只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数，即代表整数集Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。写法实数集，R也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2用描述法表示下列集合：(1) 由适合x2-x-20的所有解组成的集合;(2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程的所有实数根组成的集合(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。 说明：列举法与描述法各有优点，应该根

8、据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习：5页2题1用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数2集合Ax|Z，xN，则它的元素是 。3.已知集合Ax|-3x3，xZ，B(x,y)|yx+1，xA，则集合B用列举法表示是 .判断下列两组集合是否相等？ （1）A=x|y=x+1与B=y|y=x+1; (2)A=自然数与B=正整数二、集合的分类观察下列三个集合的元素个数1. 4.8, 7.3, 3.1, -9; 2. xR0x3; 3. xRx2+1=0由此可以得到集合的分类三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即3,9,27A画

9、一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示： 表示3，9，27表示任意一个集合A 典型例题【题型一】元素与集合的关系、设集合A，a,b,B=a,a,ab,且A=B，求实数a，b.、已知集合Aa+2，（a+1)，a+3a+3若1A,求实数a的值。【题型二】元素的特征、 已知集合M=xNZ,求M已知集合C=ZxN,求C点拔：要注意M与C的区别，集合M中的元素是自然数x，满足是整数，集合C是的元素是整数，满足条件是xN练习：.给出下列四个关系式：R；Q；0N；0其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4.方程组的解组成的集合是( ) A.2,1 B.-1,2 C.（2,1） D

10、.（2,1）3. 把集合-3x3,xN用列举法表示，正确的是( ) A.3,2,1 B.3,2,1,0 C.-2,-1,0,1,2D.-3,-2,-1,0,1,2,34.下列说法正确的是( )A.0是空集B.xQZ是有限集C.xQx2+x+2=0是空集 D.2,1与1,2是不同的集合二填空题：、 以实数为元素构成的集合的元素最多有个；、 以实数a，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有个元素，则的a值为 .、集合M=yZy=,xZ,用列举法表示是M。、已知集合A2a,a2-a，则a的取值范围是。三、解答题：、设Axx2+(b+2)x+b+1=0,bR求A的所有元素之和。10.已知集合Aa,

11、2b-1,a+2bB=xx3-11x2+30x=0,若A=B，求a,b的值。集合间的基本关系比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1），；（2），；（3），观察可得：子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 记作： 读作：A包含于B，或B包含AB A表示： 当集合A不包含于集合B时，记作AB(或BA) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。 如：A=x|x

12、=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此时有A=B。真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：用适当的符号填空： ； 0 ； ； 5.几个重要的结论： 空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集； 任何一个集合是它本身的子集； 对于集合A，B，C，如果，且，那么。练习：填空： 2 N； N； A; 已知集合Ax|x3x20，B1,2，Cx|x3，Bx|x3，Bx|x6，则AB 。 3.一些特殊结论 若A,则AB=A； 若B,

13、则AB=A；若A，B两集合中，B=，,则A=, A=A。【题型一】并集与交集的运算【例1】-1123设A=x|-1x2,B=x|1x3,求AB。 解：AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x-2，B=x|x-2x|x3=x|-2x3。【例3】已知集合Ay|y=x2-2x-3,xR,B=y|y=-x2+2x+13,xR求AB、AB【题型二】并集、交集的应用例：设集合Aa+1,3,5,B=2a+1,a2+2a,a2+2a-1，当AB=，时，求AB解：a+12 a1或-3当a1时，集合B的元素a2+2a3，2a+13，由集合的元素应具有互异性的要求可知a1.当a-3时，集合B=-5， AB=-5，5

14、练：.已知3,4，m2-3m-1m，-=-3,则m。练习：. 设A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，则AB。 x|x是等腰直角三角形。设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，则AB。 设A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形，则AB。4. 已知集合Mx|x-20,则MN等于。 设A不大于20的质数，Bx|x2n+1,nN*，用列举法写出集合AB。6.已知集合Mx|y=x2-1,N=y|y=x2-1,那么MN等于（）A.B.NC.MD.R7、 若集合A1，3，x,B=1,x2,AB1，3，x,则满足条件的实数x的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8. 满足条

15、件M11，2，3的集合M的个数是 。9. 已知集合Ax|-1x2,B=x|2axa+3,且满足AB，则实数a的聚取值啊范 围是 。集合的基本运算思考1 U=全班同学、A=全班参加足球队的同学、B=全班没有参加足球队的同学，则U、A、B有何关系？ 集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作：，读作：A在U中的补集，

16、即 Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集） 说明：补集的概念必须要有全集的限制讨论：集合A与之间有什么关系？借助Venn图分析 巩固练习（口答）：U=2,3,4，A=4,3，B=，则= ，= ；设Ux|x8，且xN，Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0，则 ； 设U三角形，A锐角三角形，则 。 【题型1】求补集【例1】设全集， 求，【例2】设全集，求， ，。 （结论：）【例3】设全集U为R，若 ，求。（答案：）【例4】设全集Ux|-1x3,A=x|-1x3,B=x|x2-2x-3=0,求，并且判断和集合B的关系。【题型1】集合的混合运算已知全集为R，集合P=x|xa2+4a+1,

17、aR,Q=y|y-b2+2b+3,bR求PQ和P。（III）课堂练习： 若S=2，3，4，A=4，3，则CSA=2 ；若S=三角形，B=锐角三角形，则CSB=直角三角形或钝角三角形 ； 若S=1，2，4，8，A=，则CSA= S ； 若U=1，3，a2+2a+1，A=1，3，CUA=5，则a= ；-1已知A=0，2，4，CUA=-1，1，CUB=-1，0，2，求B=1，4；设全集U=2，3，m2+2m-3，A=|m+1|，2，CUA=5，求m的值；（m= - 4或m=2） 已知全集U=1，2，3，4，A=x|x2-5x+m=0，xU，求CUA、m；（答案：CUA=2，3，m=4；CUA=1，4

18、，m=6）已知全集U=R,集合A=x|00,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，试 求p、q；集合A=x|x2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0,若AB=-2，0，1，求p、q；A=2，3，a2+4a+2，B=0，7，a2+4a-2，2-a，且AB =3，7，求B22.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。集合中元素的个数在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的

19、个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A=a,b,c中有三个元素，我们记作card(A)=3. 结论:已知两个有限集合A，B，有：card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB). 例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 解设A=田径运动会参赛的学生，B=球类运动会参赛的学生，AB=两次运动会都参赛的学生,AB=所有参赛的学生因此card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=8+12-3=17.答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则 这个班的学生总人数是A. 70 B. 55 C. 50 D. 无法确定. 给出