人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解.doc
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集合与函数概念
§1．1集合
（一）集合的有关概念
⒈定义：
一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：
集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：
构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：
（元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种）
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。
5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.
整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R；
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：
给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：
“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”
（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性：
一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.
如:
方程（x-2）（x-1）2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2
⑶无序性：
即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
⑴大于3小于11的偶数； ⑵我国的小河流；
⑶非负奇数； ⑷方程x2+1=0的解；
⑸某校2011级新生； ⑹血压很高的人；
⑺著名的数学家； ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点
7.元素与集合的关系：
（元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种）
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。
练：
A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.
（二）例题讲解：
例1．用“∈”或“”符号填空：
⑴8N；⑵0N；⑶-3Z；⑷Q；
⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。
练：
5页１题
例2．已知集合P的元素为,若2∈P且-1P，求实数m的值。
练：
⑴考察下列对象是否能形成一个集合？
①身材高大的人②所有的一元二次方程
③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体
⑤比2大的几个数⑥的近似值的全体
⑦所有的小正数⑧所有的数学难题
⑵给出下面四个关系:
R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:
（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
⑶下面有四个命题:
①若-aΝ,则aΝ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2
③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}
⑶其中正确命题的个数是（
⑷由实数-a,a,,2,-5为元素组成的集合中,最多有几个元素?
分别为什么?
⑸求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?
⑹若{t},求t的值.
一、集合的表示方法
⒈列举法：
把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。
如：
{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
说明：
⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；
⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；
⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。
当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为
例1．用列举法表示下列集合：
（1）小于5的正奇数组成的集合；
（2）能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；
（3）从51到100的所有整数的集合；
（4）小于10的所有自然数组成的集合；
（5）方程的所有实数根组成的集合；
⑹由1~20以内的所有质数组成的集合。
⒉描述法：
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
。
方法：
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：
如：
{x|x-3>2}，{（x,y）|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；
说明:
描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{（x,y）|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：
{整数}，即代表整数集Z。
辨析：
这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。
写法{实数集}，{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意：
１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？
２、元素具有怎么的属性？
当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
例2．用描述法表示下列集合：
（1）由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;
（2）到定点距离等于定长的点的集合;
（3）方程的所有实数根组成的集合
（4）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明：
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，
一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
练习：
5页2题
1．用适当的方法表示集合：
大于0的所有奇数
2．集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是。
3.已知集合A＝{x|-3 ４.判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};
（2）A={自然数}与B={正整数}
二、集合的分类
观察下列三个集合的元素个数
1.{4.8,7.3,3.1,-9};
2.{xR∣03.{xR∣x2+1=0}
由此可以得到
集合的分类
三、文氏图
集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即
3,9,27
A
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：
表示{3，9，27}
表示任意一个集合A
典型例题
【题型一】 元素与集合的关系
１、设集合A＝｛１，a,b｝,B=｛a,a２,ab｝,且A=B，求实数a，b.
２、已知集合A＝｛a+2，（a+1）２，a２+3a+3｝若1∈A,求实数a的值。
【题型二】 元素的特征
１、⑴已知集合M=｛x∈N∣∈Z｝,求M
⑵已知集合C=｛∈Z∣x∈N｝,求C
点拔：
要注意M与C的区别，集合M中的元素是自然数 x，满足是整数，集合
C是的元素是整数，满足条件是x∈N
练习：
１.给出下列四个关系式：
①∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
２.方程组 的解组成的集合是（）
A.｛2,1｝B.｛-1,2｝C.（2,1）D.｛（2,1）｝
3.把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是（）
A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝
4.下列说法正确的是（）
A.｛0｝是空集 B. ｛x∈Q∣∈Z｝是有限集
C.｛x∈Q∣x2+x+2=0｝是空集D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合
二填空题：
５、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个；
６、以实数a２，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有２个元素，则的a值为.
７、集合M=｛y∈Z∣y=,x∈Z｝,用列举法表示是M＝ 。
８、已知集合A＝｛2a,a2-a｝，则a的取值范围是 。
三、解答题：
９、设A＝｛x∣x2+（b+2）x+b+1=0,b∈R｝求A的所有元素之和。
10.已知集合A＝｛a,2b-1,a+2b｝B=｛x∣x3-11x2+30x=0｝,若A=B，求a,b的值。
集合间的基本关系
比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3），
观察可得：
⒈子集：
对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
读作：
A包含于B，或B包含A
B
A
表示：
当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B（或B⊉A）
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
⒉集合相等定义：
如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B
中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。
如：
A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。
⒊真子集定义：
若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。
记作：
AB（或BA）读作：
A真包含于B（或B真包含A）
4.空集定义：
不含有任何元素的集合称为空集。
记作：
用适当的符号填空：
；0；{}；{}
5.几个重要的结论：
⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。
⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一个集合是它本身的子集；
⑷对于集合A，B，C，如果，且，那么。
练习：
填空：
⑴2N；N；A;
⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则
AB；AC；{2}C；2C
说明：
⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；
⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
⑶结论：
一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，
特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
（二）例题讲解：
【题型１】集合的子集问题
１、写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。
２、已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M
３、已知集合A＝｛x|x2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝若BA，则实数a的值构成的集合是（ ）
A.｛-1,0,｝B.｛-1,0｝C.｛-1,｝D.｛,0｝
4.设集合A=｛２，８，a｝B=｛2,a2-3a+4｝且BA，求a的值。
5.已知集合且，
求实数m的取值范围。
（）
练习：
1、判断下列集合的关系.
（1）N_____Z;
（2）N_____Q;（3）R_____Z;（4）R_____Q;
（5）A={x|（x-1）2=0}，B={y|y2-3y+2=0};（6）A={1,3}，B={x|x2-3x+2=0};
（7）A={-1,1}，B={x|x2-1=0};（8）A={x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}。
2、设A={0，1}，B={x|xA}，问A与B什么关系？
3、判断下列说法是否正确？
（1）NZQR；
（2）AA；（3）{圆内接梯形}{等腰梯形}；
（4）NZ；（5）{}；（6）{}
4.有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。
解答题：
1.已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。
2.已知三个元素集合A＝｛x,xy,x-y｝,B=｛0,∣x∣,y｝且A=B，求x与y的值。
1.1.3集合间的基本运算（共1课时）
考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：
（1），；
（2），；
1.并集：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B
的并集，即A与B的所有部分，
记作A∪B，读作：
A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
Venn图表示：
说明：
定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
讨论：
A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝,A∪Ф＝,A∪BB∪A
A∪B＝A,A∪B＝B.
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝;
②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝;
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝。
2.交集定义：
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset），
记作：
A∩B读作：
A交B即：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
（阴影部分即为A与B的交集）
Venn图表示：
常见的五种交集的情况：
A
B
A（B）
BA
AB
B
A
说明：
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个
集合没有交集
讨论：
A∩B与A、B、B∩A的关系？
A∩A＝A∩＝A∩BB∩A
A∩B＝AA∩B＝B
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝;
②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝;
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝。
3.一些特殊结论
⑴若A,则A∩B=A；⑵若B,则AB=A；
⑶若A，B两集合中，B=，,则A∩=,A=A。
【题型一】 并集与交集的运算
【例1】-1
1
2
3
设A={x|-1解：
A∪B={x|-1【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。
-2
3
解：
在数轴上作出A、B对应部分如图
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2【例3】已知集合A＝｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,B=｛y|y=-x2+2x+13,x∈R｝求A∩B、A∪B
【题型二】 并集、交集的应用
例：
设集合A＝｛∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1}，当A∩B={２，３}时，求A∪B
解：
∵∣a+1∣＝2∴a＝1或-3
当a＝1时，集合B的元素a2+2a＝3，2a+1＝3，
由集合的元素应具有互异性的要求可知a≠1.
当a＝-3时，集合B={-5，２，３}
∴A∪B={-5，２，３，5}
练：
.已知｛3,4，m2-3m-1｝∩{２m，-３}=｛-3｝,则m＝ 。
练习：
１.设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∩B＝ 。
{x|x是等腰直角三角形}。
２设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B＝ 。
３设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，则A∪B＝ 。
4.已知集合M＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M∩N等于 。
４设A＝｛不大于20的质数｝，B＝{x|x＝2n+1,n∈N*}，用列举法写出集合A∩B＝ 。
6.已知集合M＝{x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么M∩N等于（ ）
A. B.N C.M D.R
7、若集合A＝｛1，3，x｝,B=｛1,x2｝,A∪B＝｛1，3，x｝,则满足条件的实数x的个数有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.满足条件M∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M的个数是。
9.已知集合A＝｛x|-1≤x≤2｝,B=｛x|2a＜x＜a+3｝,且满足A∩B＝，则实数a的聚取值啊范
围是。
集合的基本运算㈡
思考1．U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、
B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
（一）.全集、补集概念及性质：
⒈全集的定义：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么
就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
⒉补集的定义：
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集
合A相对于全集U的补集,
记作：
，读作：
A在U中的补集，即
Venn图表示：
（阴影部分即为A在全集U中的补集）
说明：
补集的概念必须要有全集的限制
讨论：
集合A与之间有什么关系？
→借助Venn图分析
巩固练习（口答）：
①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则=，=；
②．设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|（x-2）（x-4）（x-5）＝0}，则＝；
③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则＝。
【题型1】求补集
【例1】．设全集，
求，．
【例2】设全集，求，
，。
（结论：
）
【例3】设全集U为R，，若
，求。
（答案：
）
【例4】设全集U＝｛x|-1≤x≤3｝,A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x2-2x-3=0｝,求，并且判断和集合B的关系。
【题型1】集合的混合运算
已知全集为R，集合P=｛x|x＝a2+4a+1,a∈R｝,Q=｛y|y＝-b2+2b+3,b∈R｝求P∩Q和P∩。
（III）课堂练习：
⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA={2}；
⑵若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB={直角三角形或钝角三角形}；
⑶若S={1，2，4，8}，A=ø，则CSA=S；
⑷若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a=；-1
⑸已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B={1，4}；
⑹设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值；（m=-4或m=2）
⑺已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、m；（答案：
CUA={2，3}，m=4；CUA={1，4}，m=6）
⑻已知全集U=R,集合A={x|0⑼已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B。
[A∩B={（1,1）},A∪B={（1,1），（1,2），（2,1）}]
⑽已知集合M{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有（）；
A3个B4个C6个D5个
⑾设集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B,且B,求a,b的值
提高内容：
⑴已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且，试
求p、q；
⑵集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q；
⑶A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB={3，7}，求B
22.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。
集合中元素的个数
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。
我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示集合A中元素的个数。
例如：
集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card（A）=3.
结论:
已知两个有限集合A，B，有：
card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.
例1学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
解设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}，
A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生}
因此card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）=8+12-3=17.
答：
两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.
１.在某校高一（5）班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则这个班的学生总人数是
A.70 B.55 C.50 D.无法确定
２.给出
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