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1、概率论与数理统计课后答案经济数学基础课后答案(概率统计第三分册) 完整的答案 完整的答案隐藏 窗体顶端窗体底端习 题 一 1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M). 解 (1) =正面，反面 正，反 (2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反) (3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)， (4) =x；0 x m. 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A“偶数点”， B“奇数点”，C“点数小于 5”，D“小于 5

2、的偶数点”，讨论上述 各事件间的关系. = ,2,3,4,5,6, A = 2,4,6, B = ,3,5, C = ,2,3,4, D = 2,4. 1 1 1 解 A 与 B 为对立事件，即 B A ；B 与 D 互不相容；A ? D，C ? D. 3. 事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i1，2，3，B 表示至少 有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事 件 B 及 BC 的含义，并且用 Ai(i1，2，3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任 务. BC 表示三个车间都完成生产任务 4. 如图

3、 11，事件 A、B、C ABC，ACB，CAB 用 解 A + B = A + AB 图 11 B = A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 B = A1 A2 A3A1 A2 A3A1 A2 A3A1 A2 A3 C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 都相容，即 ABC，把事件 AB， 一些互不相容事件的和表示出来. A + B + C = A + AB + A BC B ? C = A1 A2 A3 AC + B = B + ABC 5.两个事件互不相容与两个事件

4、对立的区别何在，举例说明. 解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发 生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不 一定同时不发生. 在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件， 与 D 是互不相容事 C 件. 6.三个事件 A、B、C 的积是不可能事件，即 ABC，问这三个事件是否一定 互不相容?画图说明. 解 不一定. A、B、C 三个事件 互不相容是指它们中任何两个 事件均互不相容， 即两两互不相 容.如图 12，事件 ABC， 但是 A 与 B 相容. AB，DA+B，FAB. 说明事7. 事件 A 与 B 相容，记 C 图

5、12 件 A、C、D、F 的关系. C ? AB = A BC + ABC + ABC 2 解 由于 AB ? A ? A+B， AB ? A ? A+B， 与 AB 互不相容， AAB(AB). 因 AB 且 此有 AC+F，C 与 F 互不相容， 8. 袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不 同的概率. 解 记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件 A 的样本点数目 2 A C51C31 .而组成试验的样本点总数为 C5+3 ，由古典概率公式有 D ? A ? F，A ? C. P(A) # A = #? 1 1 C5C3 15 = C82

6、 28 (其中A， 分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数， 余下同) 9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率. 解 设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 B 的样本点数为 B = C52 . P( B) = 1P( B) = 1 ? C52 9 = 2 C8 14 10. 抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率. “三次中既有正面又有反面出现” 则 A 表示三次均为正面或 , 解 设事件 A 表示 三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即8， 因此 P ( A) = 1 ? P( A) = 1 ? A 2 3 =

7、 1? = #? 8 4 11. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率. 解 设事件 A 表示 “门锁能被打开” 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打 . 开门锁. P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? C2 8 A = 1 7 = 2 ? C10 15 从 9 题11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较 方便. 12. 一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事 件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色. 解 设事件 A 表示“四张花色各异” B 表示“四张中只有两种花色”.

8、 ； # 4 1 1 1 1 = C52， A = C13C13C13C13， # 2 1 3 1 2 2 # B = C（C 2 C13C13C13C13 ） 4 P( A) = P( B) = # A 134 = 4 = 0.105 # C52 # B 6 74366048 （ ） = = 0 . 300 4 # C52 13. 口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚， 3 解 求总值超过壹角的概率. 设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”. # 1 = C 10 ， C 2 C83C 2 3 C5C 32 C52 ) #A (C 3

9、 1 2 5 A 126 P( A) 0.5 252 14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下 列事件的概率： A“三次都是红球” “全红” B“全白” ， ， C“全黑” D“无红” E“无白” ， ， ， F“无黑” G“三次颜色全相同” ， ， H“颜色全不相同” I“颜色不全相同”. ， 3 解 3 27，ABC1， DEF238， GABC3， H3！6，IG24 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = P ( D) = P ( E ) = P ( F ) = 1 27 8 27 P(G ) = 3 1 6 2 24 8 = , P(

10、H ) = = , P( I ) = = 27 9 27 9 27 9 15. 一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率. 解 设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”. 1 126，A C64C12112 P( A) = # A 21780 0.0073 # 12 6 16. 事件 A 与 B 互不相容，计算 P ( A + B) . 解 由于 A 与 B 互不相容，有 AB，P(AB)0 17. 证 P( A + B) = P( AB) = 1 ? P( AB) = 1. 设事件 B ? A，求证 P(B)P(A）. B ? A P(B-A)P(B

11、) - P(A) P(B-A)0 P(B)P(A) 18. 已知 P(A)a，P(B)b，ab0 (b0.3a)， P(AB)0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P( B A ). 解 由于 AB 与 AB 互不相容，且 A(A-B)AB，因此有 P(AB)P(A)-P(A-B)0.3a P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7ab P(B-A)P(B)-P(AB)b-0.3a P( B A )1-P(AB)1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品 的概率. ，则 A 表示没有取到废品，有利于事件 A 的样本 解 设事件 A

12、表示“取到废品” 4 3 点数目为 A C46 ，因此 P(A)1-P( A )1- A 1 C46 3 3 C50 0.2255 20. 已知事件 B ? A，P(A)lnb 0，P(B)lna，求 a 的取值范围. 解 因 B ? A，故 P(B)P(A)，即 lnalnb, ? ab，又因 P(A)0，P(B)1， 可得 b1，ae，综上分析 a 的取值范围是： 1bae 21. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来). 解 由于对任何事件 A，B，均有 AB ? A ? A+B 且 P(A

13、+B)P(A)P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有 P(AB)P(A)P(A+B)P(A)P(B) 22. 一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一 年以 365 天计算). 解 设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目 为 A 3 6 4 1 0 0 ， 而 样 本 空 间 中 样 本 点 总 数 为 365100，所求概率为 P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? #A 364100 = 1? #? 365100 = 0.2399 23. 从 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副

14、的概率. 解 设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则 A 表示“四只手 套中任何两只均不能配成一副”. P ( A) = 1 1 1 1 # A C54C2C2C2C2 80 = = 4 # C10 210 24. 某单位有 92的职工订阅报纸，93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中 仍有 85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸. 解 设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” B 表示“订阅杂志” ， ，依题意 P(A)0.92，P(B)0.93，P(B A )0.85 P(AB

15、)P(A)P( A B)P(A)P( A )P(B A ) 0.920.080.850.988 P(A B )P(AB)-P(B)0.9880.930.058 25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学 成绩优秀， 表示外语成绩优秀， P(A)P(B)0.4， (AB)0.28， P(A B 若 P 求 B)，P(BA)，P(AB). 解 P(AB) P( AB) = 0.28 = 0.7 P( B) 0 .4 P(BA) P( AB) = 0.7 P ( A) P ( A) = 1 ? P ( A) = 0.62 P(AB)P(A)P(B)-P(AB)0.

16、52 26. 设 A、B 是两个随机事件. 0P(A)1，0P(B)1， 5 P(AB)P( A B )1. 求证 P(AB)P(A)P(B). 证 P ( A B )P ( A B )1 且 P ( AB )P( A B )1 P ( AB )P (A B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ? P ( AB ) = = P( B) 1 ? P( B) P( B) P(AB)1-P(B)P( B)P( A)-P( AB)整理可得 P(AB)P( A) P( B) 27. 设 A 与 B 独立，P( A)0.4，P( AB)0.7，求概率 P (B). 解 P( AB)P(

17、A)P( A B)P( A)P( A ) P( B) ? 0.70.40.6P( B ) ? P( B )0.5 28. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为 什么? 解 因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故 A 与 B 不可能互不相容. 29. 某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用 1000 小时后，最多只坏了一个的概率. ， 解 设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” i1，2，3，

18、显然 A1，A2，A3 相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一 个” 则 AA1A2A3 A1 A2A3A1 A2 A3A1A2 A3 ， ， 上面等式右边是四个两两互不相容事 件的和，且 P(A1)P(A2)P(A3)0.8 P( A) P( A1 )3 + 3P( A1 )2 P( A1 ) 0.8330.820.2 0.896 30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别 为 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关， 求零件的合格率. 解 设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格. P

19、(A)(10.3)(10.2)(10.2)0.448 31. 某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二 者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打 通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解 设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” i1，2，m，则 ， P(A1)(10.4)(10.3)0.42 P(A2)0.58 0.420.2436 P(Am)0.58m1 0.42 32. 一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼 镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率. 解 设 Ai 表示“第 i 人

20、拿到自己眼镜”，i1,2,3,4. P ( Ai ) 1 ，设事件 B 4 表示 “每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然 B 则表示 “至少有一人拿到自己的 眼镜”. 且 B A1A2A3A4. P( B )P(A1A2A3A4) 4 p( Ai ) ? P( Ai Ai ) + P( Ai A j Ak ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) i =1 1ij 4 1ijk 4 6 P(AiAj) = P(Ai)P(AjAi) =11 = 4 3 1 (1 ij 4) 12 P(AiAjAk)=P(Ai)P(AjAi)P(AkAiAj) = 1 1 1 = 1 （1ijk4） P(A1A2

21、A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A4A1A2A3) 4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P ( B ) = 4 ? C 4 + C4 ? = 4 12 24 24 8 3 P( B) = 1 ? P( B) = 8 4 3 2 24 = 1 1 1 1 = 1 24 33. 在 1，2，3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am“该数可以被 m 整 除”，m2，3，求概率 P(A2A3)，P(A2A3)，P(A2A3). 解 依题意 P(A2) 1 ，P(A3) 1 2 3 P(A2A3)P(A6) 1 6 P(A2A3)P(A2)P(A3)P(A

22、2A3) 1+1?1 = 2 2 3 6 3 2 6 3 P(A2A3)P(A2)P(A2A3) 1 ? 1 = 1 34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8， 0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中. 解 设事件 A、B、C 分别表示“甲投中”“乙投中”“丙投中” 、 、 ，显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” i0,1,2,3,依题意， ， P( A0 ) = P( A B C ) = P( A) P( B ) P(C ) P ( A3 )=P ( ABC )

23、=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.80.70.6 = 0.336 P(A2)=P(AB C )P(A B C)P( A BC) =0.80.70.40.80.30.60.20.70.6 = 0.452 (1) P(A1)1P(A0)P(A2)P(A3) 10.0240.4520.3360.188 (2) P(A0A1)P(A0)P(A1)0.0240.1880.212 (3) P(ABC)P( A0 )1P (A0)0.976 35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5，问 谁先投中的概率较大，为什么? 解 设事件 A2n-1B2n

24、分别表示“甲在第 2n1 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ，显然 A1，B2，A3，B4，相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”. P( A) = P( A1 ) + P( A1 B 2 A3 ) + P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) + = 0.40.6 0.5 0.4(0.6 0.5) 2 0.4 = 0.20.30.4 = 0.024 7 = 计算得知 P(A)0.5，P( A )0.5，因此甲先投中的概率较大. 36. 某高校新生中，北京考生占 30，京外其他各地考生占 70，已知在北京学生 中，以英语为第一外语的占 80，而京外学生以英语为第一外语的占 95， 今从全校

25、新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率. 解 设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” B 表示“任选一名学生，以英 ， 语为第一外语”. 依题意 P(A)0.3，P( A )0.7，P(BA)0.8，P(B A ) 0.95. 由全概率公式有 P(B)P(A)P(BA)P( A )P(B A ) 0.30.80.70.950.905 37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为 4，2， 5，求 A 地的甲种疾病的发病率. 解 设事件 A1，A2，A3 分别表示从 A 地任选一名

26、居民其为南、北、中行政小区， 易见 A1，A2，A3 两两互不相容，其和为 .设事件 B 表示“任选一名居民其患 有甲种疾病” ，依题意： P(A1)0.45，P(A2)0.35，P(A3)0.2， P(BA1)0.004，P(BA2)0.002，P(BA3)0.005 3 P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 0 .4 4 = 1 ? 0 .3 7 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.005 0.0035 38. 一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求

27、这个机床停机 的概率. 解 设事件 A 表示“机床加工零件 A” ，则 A 表示“机床加工零件 B” ，设事件 B 表示“机床停工”. P ( B ) = P ( A ) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A) 1 2 = 0.3 + 0.4 = 0.37 3 3 39. 有编号为、的 3 个口袋，其中号袋内装有两个 1 号球，1 个 2 号 球与 1 个 3 号球，号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球，号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球，现在先从号袋内随机地抽取一个球，放入与球 上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几 号球的

28、概率最大，为什么? 解 设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” Bi 表示第二次取到 i 号球，i1，2， ， 3.依题意，A1，A2，A3 构成一个完全事件组. P ( A1 ) = 1 1 , P ( A2 ) = P ( A3 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A1 ) = P ( B3 | A1 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A2 ) = P ( B3 | A2 ) = 2 4 1 1 1 , P ( B2 | A3 ) = , P ( B3 | A3 ) = 2 3 6 P ( B1 | A1 ) = P ( B1 | A2 ) = P ( B1 |

29、A3 ) = 8 应用全概率公式 P( B j ) = P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次计算出 P( B1 ) = 1 , 3 i =1 2 P ( B2 ) = 13 11 , P( B3 ) = 48 48 . 因此第二次取到 1 号球的概率最大. 40. 接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5(即一个 甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为 5)；对无甲种疾病的人用此 检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1，在一次健康普查中，某人经此检 验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率. 解 设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病” B 表示“受

30、检人被查有甲种疾病” ， ，由 37 题计算可知 P(A)0.0035，应用贝叶斯公式 P( A | B) = P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) 0.0035 0.95 = 0.0035 0.950.9965 0.01 = 0.25 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比 为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为 94，90，95， 现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概 率. 解 设事件 A1，A2，A3 分别表示“受检零件为甲机床加工”“

31、乙机床加工”“丙 ， ， 机床加工” B 表示“废品” ， ，应用贝叶斯公式有 P( A1 | B) = P( A1 ) P( B | A1 ) i =1 P( Ai ) P( B | Ai ) = 3 0.5 0.06 3 = 0.5 0.060.3 0.10.2 0.05 7 4 P( A1 | B) = 1 ? P( A1 | B) = 7 42. 某人外出可以乘坐飞机、 火车、 轮船、 汽车 4 种交通工具， 其概率分别为 5， 15，30，50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100， 70，60与 90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率. 解 设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示外出人“乘坐飞机”“乘坐火车”“乘坐轮 ， ， 船”“乘坐汽车” B 表示“外出人如期到达”. ， ， P( A2 |