概率论与数理统计课后答案.docx
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概率论与数理统计课后答案
经济数学基础课后答案（概率统计第三分册）
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习题一
1. 写出下列事件的样本空间：
（1）把一枚硬币抛掷一次；
（2）把一枚硬币连续抛掷两次；（3）掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；（4）一个库房在某一个时刻的库存量（假定最大容量为M）.解
（1）={正面，反面} △ {正，反}
（2）={（正、正），（正、反），（反、正），（反、反）}（3）={（正），（反，正），（反，反，正），…}（4）={x；0≤x≤m}.
2. 掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A＝“偶数点”，B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.={,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={,3,5},C={,2,3,4},D={2,4}.111解A与B为对立事件，即B＝A；B与D互不相容；A?
D，C?
D.
3.事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i＝1，2，3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B及B－C的含义，并且用Ai（i＝1，2，3）表示出来.解B表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.B－C表示三个车间都完成生产任务
4.如图1－1，事件A、B、CA＋B＋C，AC＋B，C－AB用解A+B=A+AB图1－1B=A1A2+A2A3+A1A3B=A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3C=A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3都相容，即ABC≠Φ，把事件A＋B，一些互不相容事件的和表示出来.A+B+C=A+AB+ABCB?
C=A1A2A3AC+B=B+ABC
5. 两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.在本书第6页例2中A与D是对立事件，与D是互不相容事C件.
6. 三个事件A、B、C的积是不可能事件，即ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?
画图说明.解不一定.A、B、C三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC＝Φ，但是A与B相容.AB，D＝A+B，F＝A－B.说明事
7.事件A与B相容，记C＝图1－2件A、C、D、F的关系.C?
AB=ABC+ABC+ABC2解由于AB?
A?
A+B，A－B?
A?
A+B，与A－B互不相容，A＝AB＋（A－B）.因AB且此有A＝C+F，C与F互不相容，
8.袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A的样本点数目2＃A＝C51C31.而组成试验的样本点总数为＃Ω＝C5+3，由古典概率公式有D?
A?
F，A?
C.P（A）＝#A=#?
11C5C315=C8228（其中＃A，Ω分别表示有利于A的样本点数目与样本空间的样本点总数，＃余下同）
9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B的样本点数为＃B=C52.P（B）=1－P（B）=1?
C529=2C814
10.抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.“三次中既有正面又有反面出现”则A表示三次均为正面或,解设事件A表示三次均为反面出现.而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此P（A）=1?
P（A）=1?
＃A23=1?
=#?
84
11.10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A表示“门锁能被打开”则事件A发生就是取的两把钥匙都不能打.开门锁.P（A）=1?
P（A）=1?
C28＃A=1－7=2＃?
C1015从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12.一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：
（1）四张花色各异；
（2）四张中只有两种花色.解设事件A表示“四张花色各异”B表示“四张中只有两种花色”.；#41111=C52， A=C13C13C13C13，#213122#B=C（C2C13C13＋C13C13）4P（A）=P（B）=#A134=4=0.105#C52#B67436＋6048（）==0. 3004#C5213.口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，3解求总值超过壹角的概率.设事件A表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.#1=C10， ＝C2C83＋C2 3C5＋C32C52）#A（C3125＃A126P（A）＝＝＝0.5＃252
14.袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：
A＝“三次都是红球” △ “全红”B＝“全白”，，C＝“全黑”D＝“无红”E＝“无白”，，，F＝“无黑”G＝“三次颜色全相同”，，H＝“颜色全不相同”I＝“颜色不全相同”.，3解＃Ω＝3＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，＃D＝＃E＝＃F＝23＝8，＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3，＃H＝3！
＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝24P（A）=P（B）=P（C）=P（D）=P（E）=P（F）=127827P（G）=3162248=,P（H）==,P（I）==27927927915.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件A表示“有4个人的生日在同一个月份”.1＃Ω＝126，＃A＝C64C12112P（A）=#A21780＝＝0.0073#12616.事件A与B互不相容，计算P（A+B）.解由于A与B互不相容，有AB＝Φ，P（AB）＝017.证P（A+B）=P（AB）=1?
P（AB）=1.设事件B?
A，求证P（B）≥P（A）.∵B?
A∴P（B-A）＝P（B）-P（A）∵P（B-A）≥0∴P（B）≥P（A）18.已知P（A）＝a，P（B）＝b，ab≠0（b＞0.3a），P（A－B）＝0.7a，求P（B+A），P（B-A），P（B＋A）.解由于A－B与AB互不相容，且A＝（A-B）＋AB，因此有P（AB）＝P（A）-P（A-B）＝0.3aP（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.7a＋bP（B-A）＝P（B）-P（AB）＝b-0.3aP（B＋A）＝1-P（AB）＝1-0.3a19.50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.，则A表示没有取到废品，有利于事件A的样本解设事件A表示“取到废品”43点数目为＃A＝C46，因此P（A）＝1-P（A）＝1-＃A＝1－C4633＃C50＝0.225520.已知事件B?
A，P（A）＝lnb≠0，P（B）＝lna，求a的取值范围.解因B?
A，故P（B）≥P（A），即lna≥lnb,?
a≥b，又因P（A）＞0，P（B）≤1，可得b＞1，a≤e，综上分析a的取值范围是：
1＜b≤a≤e21.设事件A与B的概率都大于0，比较概率P（A），P（AB），P（A+B），P（A）+P（B）的大小（用不等号把它们连接起来）.解由于对任何事件A，B，均有AB?
A?
A+B且P（A+B）＝P（A）＋P（B）-P（AB），P（AB）≥0，因此有P（AB）≤P（A）≤P（A+B）≤P（A）＋P（B）22.一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）.解设事件A表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A的样本点数目为＃A＝364100，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为P（A）=1?
P（A）=1?
#A364100=1?
#?
365100=0.239923.从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.P（A）=1111#AC54C2C2C2C280==4#C1021024.某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：
（1）该职工至少订阅一种报纸或期刊；
（2）该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A表示“任找的一名职工订阅报纸”B表示“订阅杂志”，，依题意P（A）＝0.92，P（B）＝0.93，P（B｜A）＝0.85P（A＋B）＝P（A）＋P（AB）＝P（A）＋P（A）P（B｜A）＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P（AB）＝P（A＋B）-P（B）＝0.988－0.93＝0.05825.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A表示数学成绩优秀，表示外语成绩优秀，P（A）＝P（B）＝0.4，（AB）＝0.28，P（A｜B若P求B），P（B｜A），P（A＋B）.解P（A｜B）＝P（AB）=0.28=0.7P（B）0.4P（B｜A）＝P（AB）=0.7P（A）P（A）=1?
P（A）=0.62P（A＋B）＝P（A）＋P（B）-P（AB）＝0.5226.设A、B是两个随机事件.0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，5P（A｜B）＋P（A｜B）＝1.求证P（AB）＝P（A）P（B）.证∵P（A｜B）＋P（A｜B）＝1且P（A｜B）＋P（A｜B）＝1∴P（A｜B）＝P（A｜B）P（AB）P（AB）P（A）?
P（AB）==P（B）1?
P（B）P（B）P（AB）〔1-P（B）〕＝P（B）〔P（A）-P（AB）〕整理可得P（AB）＝P（A）P（B）27.设A与B独立，P（A）＝0.4，P（A＋B）＝0.7，求概率P（B）.解P（A＋B）＝P（A）＋P（AB）＝P（A）＋P（A）P（B）?
0.7＝0.4＋0.6P（B）?
P（B）＝0.528.设事件A与B的概率都大于0，如果A与B独立，问它们是否互不相容，为什么?
解因P（A），P（B）均大于0，又因A与B独立，因此P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故A与B不可能互不相容.29.某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.，解设事件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”i＝1，2，3，显然A1，A2，A3相互独立，事件A表示“三个元件中最多只坏了一个”则A＝A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3，，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝0.8P（A）＝[P（A1）]3+3[P（A1）]2P（A1）＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件A表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格.P（A）＝（1－0.3）（1－0.2）（1－0.2）＝0.44831.某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率（m为任何正整数）.解设事件Ai表示“第i次能打通”i＝1，2，…，m，则，P（A1）＝（1－0.4）（1－0.3）＝0.42P（A2）＝0.58×0.42＝0.2436P（Am）＝0.58m－1×0.4232.一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设Ai表示“第i人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4.P（Ai）＝1，设事件B4表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然B则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”.且B＝A1＋A2＋A3＋A4.P（B）＝P（A1＋A2＋A3＋A4）4＝∑p（Ai）?
∑P（AiAi）+∑P（AiAjAk）?
P（A1A2A3A4）i=11≤i＜j≤41≤i＜j＜k≤46P（AiAj）=P（Ai）P（Aj｜Ai）=1×1=431（1≤i＜j≤4）12P（AiAjAk）=P（Ai）P（Aj｜Ai）P（Ak｜AiAj）=1×1×1=1（1≤i＜j＜k≤4）P（A1A2A3A4）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）×P（A4｜A1A2A3）4321111523P（B）=4×?
C4×+C4×?
=412242483P（B）=1?
P（B）=843224=1×1×1×1=12433.在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设Am＝“该数可以被m整除”，m＝2，3，求概率P（A2A3），P（A2＋A3），P（A2－A3）.解依题意P（A2）＝1，P（A3）＝123P（A2A3）＝P（A6）＝16P（A2＋A3）＝P（A2）＋P（A3）－P（A2A3）＝1+1?
1=22363263P（A2－A3）＝P（A2）－P（A2A3）＝1?
1=1
34.甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：
（1）只有一人投中；
（2）最多有一人投中；（3）最少有一人投中.解设事件A、B、C分别表示“甲投中”“乙投中”“丙投中”、、，显然A、B、C相互独立.设Ai表示“三人中有i人投中”i＝0,1,2,3,依题意，，P（A0）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）P（A3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.8×0.7×0.6=0.336P（A2）=P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452
（1）P（A1）＝1－P（A0）－P（A2）－P（A3）＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188
（2）P（A0＋A1）＝P（A0）＋P（A1）＝0.024＋0.188＝0.212（3）P（A＋B＋C）＝P（A0）＝1－P（A0）＝0.97635.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?
解设事件A2n-1B2n分别表示“甲在第2n－1次投中”与“乙在第2n次投中”，显然A1，B2，A3，B4，…相互独立.设事件A表示“甲先投中”.P（A）=P（A1）+P（A1B2A3）+P（A1B2A3B4A5）+…=0.4＋0.6×0.5×0.4＋（0.6×0.5）2×0.4＋…=0.2×0.3×0.4×=0.0247=计算得知P（A）＞0.5，P（A）＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36.某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A表示“任选一名学生为北京考生”B表示“任选一名学生，以英，语为第一外语”.依题意P（A）＝0.3，P（A）＝0.7，P（B｜A）＝0.8，P（B｜A）＝0.95.由全概率公式有P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（A）P（B｜A）＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537.A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9:
7:
4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A地的甲种疾病的发病率.解设事件A1，A2，A3分别表示从A地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A1，A2，A3两两互不相容，其和为Ω. 设事件B表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：
P（A1）＝0.45，P（A2）＝0.35，P（A3）＝0.2，P（B｜A1）＝0.004，P（B｜A2）＝0.002，P（B｜A3）＝0.0053＝∑P（Ai）P（B|Ai）i=10.44=1?
0.37＝0.45×0.004+0.35×0.002+0.2×0.005＝0.003538.一个机床有三分之一的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3，加工零件B时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A表示“机床加工零件A”，则A表示“机床加工零件B”，设事件B表示“机床停工”.P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）12=0.3×+0.4×=0.373339.有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?
解设事件Ai表示“第一次取到i号球”Bi表示第二次取到i号球，i＝1，2，，3.依题意，A1，A2，A3构成一个完全事件组.P（A1）=11,P（A2）=P（A3）=2411,P（B2|A1）=P（B3|A1）=2411,P（B2|A2）=P（B3|A2）=24111,P（B2|A3）=,P（B3|A3）=236P（B1|A1）=P（B1|A2）=P（B1|A3）=8应用全概率公式P（Bj）=∑P（Ai）P（Bj|Ai）可以依次计算出P（B1）=1,3i=12P（B2）=1311,P（B3）=4848.因此第二次取到1号球的概率最大.40.接37题，用一种检验方法，其效果是：
对甲种疾病的漏查率为5％（即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％）；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件A表示“受检人患有甲种疾病”B表示“受检人被查有甲种疾病”，，由37题计算可知P（A）＝0.0035，应用贝叶斯公式P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）0.0035×0.95=0.0035×0.95＋0.9965×0.01=0.2541.甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5:
3:
2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A1，A2，A3分别表示“受检零件为甲机床加工”“乙机床加工”“丙，，机床加工”B表示“废品”，，应用贝叶斯公式有P（A1|B）=P（A1）P（B|A1）i=1∑P（Ai）P（B|Ai）=30.5×0.063=0.5×0.06＋0.3×0.1＋0.2×0.0574P（A1|B）=1?
P（A1|B）=742.某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件A1，A2，A3，A4分别表示外出人“乘坐飞机”“乘坐火车”“乘坐轮，，船”“乘坐汽车”B表示“外出人如期到达”.，，P（A2|
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