人教版八年级数学上角平分线的性质.docx

1、人教版八年级数学上角平分线的性质初中数学试卷金戈铁骑整理制作角平分线的性质例1. 如图1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长.图1变式1：如图1，在ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BEC=70，则A=？图1变式2：如图3，在RtABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，B =15求：AC的长。图3例2. 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。例3. 已知：如图6所示在中，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求

2、证：ACAECD例4. 如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KHBCA档（巩固专练）1. ABC中，AB=AC，BAC=100，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（ ） A、点P在ABC 内 B、点P在ABC 底边上 C、点P在ABC 外 D、点P的位置与ABC 的边长有关2. 如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形3. 如果三角形两角的平分线的交点落在三角形内部，则这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上都正确

3、4. 已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且EAF=100，EBF=70,则AEB等于( ) A、95 B、15 C、95或15 D、170或305. 如图2，四边形ABCD中，ADBC，若DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分ABC，则AB的长与ADBC的长的大小关系是（ ） A、ABADBC B、ABADBC C、ABADBC D、无法确定6. 如图，ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB，DFAC，E、F为垂足，在以下结论中：ADEADF；BDECDF；ABDACD；AE=AF；BE=CF；BD=CD其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4F7. 如图，ABC中，

4、C=90，BD平分ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于（）A3cm B7.5cm C6cm D4.5cmA8. 如图，ABC中，CAB=120，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则EAF等于（）A40 B50 C60 D80 F9. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则CBD的度数为（）A60 B75 C90 D9510. 把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则BCD是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D任意三角形B档（提升精练）1. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在

5、AB的_；若点P在AB的_，则PA=PB2. 已知：ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P求证：点P在BC的垂直平分线上3. 如图，在ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=_A4. 如图，RtABC中，C=90，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_，AD=_，ABC的周长是_E5. 用三角尺画角平分线：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线请解释这种做法的道理你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理6. 如图，三

6、条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置7. 如图，ABC中，P是角平分线AD，BE的交点求证：点P在C的平分线上P8. 如图，已知点D是ABC的平分线上一点，点P在BD上，PAAB，PCBC，垂足分别为A，C求证：（1）AD=CD；（2）ADB=CDBP9. 如图，在AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C求证：点C在AOB的平分线上N10. 已知：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，E、F分别为垂足求证：AD垂直平分EFF11. 如图，已知AB

7、C中，C=90，BAC=2B，D是BC上一点，DEAB于E，DE=DC求证：AD=BDE12. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？A13. 如图，ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC求证：点Q在PR的垂直平分线上RC档（跨越导练）1. 如图1，在锐角ABC中，AB=,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是 。2.（请至少用三种不同的方法）已知ABC中，B

8、=2C， AD平分BAC交BC于D，求证：AC=AB+BD3. 如图4，在ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。AD平分BAC，DEAB，DFAC，ADEF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ,，。（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题。4. 如图5，以ABC两边AB、AC为边，向外作等边ABD和等边ACE，连接BE、CD交于O点，求证：OA平分DOE5. 如图6，在等腰RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：ADCF；（2）连接AF，试判断AC

9、F的形状，并说明理由。6. 如图，ABC中，A=90，AB=AC,BD平分ABC，CEBD于E 求证：CE=7. 如图3-所示，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图3-,在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图3-，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。8. 如图，点D是等边ABC中BC边所

10、在直线上的一个动点(点D不与B、C重合)，ADE=60，DE交ABC的外角ACF的平分线所在直线于点E。（1）求证：DA=DE（2）当点D在直线BC上运动时，探究DA与DE的大小关系，画出图形，给出证明。角平分线的性质参考答案例1. 解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.点评：此题是ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.图2变式1答案：A=35. 变式2答案：1例2. 证明：在BC上截取BF=BA,连接EF.ABE

11、=FBE,BE=BE,则ABEFBE(SAS),EFB=A;AB平行于CD,则:A+D=180;又EFB+EFC=180,则EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.例3. 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得： 证明：在AC上截取AFAE 又 即例4. 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延长AH交BC于N，则BABN，AHHN。同理，延长AK交BC于M，则CACM，AKKM。从而由三角形的中位线定理，知KHBC。 证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M BH平分ABC 又BHAH BHBH 同

12、理，CACM，AKKM 是的中位线 即KH/BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。A档（巩固专练）1. C 2. B 3. D 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. C 10. B B档（提升精练）1. 答案：垂直平分线上；垂直平分线上2. 答案：连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上3. 答案：154. 答案：3，5，245. 答案：提示：OM=ON，OP=OP，RtOMPRtONP(HL)，MOP=NOP，射线OP是A

13、OB的平分线6. 答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置7. 答案：如图，过点P作PMAB，PNBC，PQAC，垂足分别为M、N、QP在BAC的平分线AD上，PM=PQP在ABC的平分线BE上，PM=PN。PQ=PN，点P在C的平分线8. 答案：ABPCBP，AB=CB，又ABP=CBP，BD=BD，ABDCBD，AD=CD，ADB=CDB9. 答案：提示：作CEOA于E，CFOB于F，OM=ON，OE=OD，MOE=NOD，MOENOD(SAS)，SM O E =SN O D，同时去掉S四边形ODCE，得SM D C=SN E C，易证，MD=NE，CE=CF，点C在AOB的平

14、分线上10. 答案：提示：由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得DEF=DFE，AEF=AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EF11. 答案：提示：DE=DC，AD=AD，RtADERtADC，EAD=DAC=BAC，又B=BAC，EAD=B，AD=BD12. 答案：AC平分对角；ACBD；AC平分BD；ABCACD等13. 答案：提示：AB=AC，B=C，又PB=QC，QB=RC，BPQCQR，QP=QR，点Q在PR的垂直平分线上C档（跨越导练）1. 如图1，在锐角ABC中，AB=,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是 。

15、答案：42.（请至少用三种不同的方法）已知ABC中，B=2C， AD平分BAC交BC于D，求证：AC=AB+BD证法1：截长在AC上截取AE=AB，连接DEAB=AE，BAD=EAD，AD=ADABDAED（SAS）BD=DE，B=AEDAED=C+EDC B=2CC=EDCCE=DE=BDAC=AE+CE=AB+BD证法2：补短1在AB的延长线上截取BF=BD，连接DF则F=BDFABC=F+BDF=2F ABC=2CF=C又FAD=CAD ，AD =ADAFDACD（AAS）AC=AF=AB+BF=AB+BD证法3：补短2延长AB到G，使AG=AC，连接DGAG=AC，CAD=CAD，AD

16、=ADAGDACD（SAS）G=CABC=G+BDG ABC=2C=2GC=BDGBG=BDAC=AG=AB+BG=AB+BD3. 如图4，在ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。AD平分BAC，DEAB，DFAC，ADEF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ,，。（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题。答案：（1）正确的有， 错误的有 （2）证明超过现在学生水平，可用四点共圆证明，也可用下述方法。 证明：AD是角平分线BAD=CAD又DEAB，DFACAED=AFD又公共边AD=AD三角形AED与三角形AFD全等AE=AF设AD

17、、EF交点为O又公共边AO=AO，夹角AED=AFD三角形AEO与三角形AFO全等AOE=AOF又AOE+AOF=180AOE=AOF=90ADEF：设AD、EF交点为ODEAB，DFAC且ADEF（即ADEO，ADFO）EO、FO分别为直角三角形AED和AFD的高直角三角形中，存在直角三角形AOE与EOD相似直角三角形AOF与FOD相似可得相似边成比例，即OD/OE=OE/OA，OD/OF=OF/OA整理得OE2=OF2=OD*OAOE=OF又ADEF，AOE=AOF=90，公共边AO=AO三角形AEO与三角形AFO全等EAO=FAO，即BAD=CAD即：AD平分BAC4. 如图5，以ABC

18、两边AB、AC为边，向外作等边ABD和等边ACE，连接BE、CD交于O点，求证：OA平分DOE提示：证ADCABE,根据对应高相等可得结论。5. 如图6，在等腰RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：ADCF；（2）连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由。证明：（1）因为DEAB所以FDB=45又BFAC得到DBF是等腰直角三角形所以BD=BF由AC=BC所以ACD和CBF全等所以CAD=FCBCAD+ADC=FCB+ADC=90ADCF（2）由于DBF是等腰直角三角形，BE垂直于DF所以DE=EF所以直角

19、三角形ADE和AFE全等AD=AF上面得到AD=CF所以AF=CF三角形ACF为等腰三角形6. 如图，ABC中，A=90，AB=AC,BD平分ABC，CEBD于E 求证：CE=证明：延长BA、CE，两线相交于点FBECEBEF=BEC=90在BEF和BEC中FBE=CBE, BE=BE, BEF=BECBEFBEC(ASA)EF=ECCF=2CEABD+ADB=90,ACF+CDE=90又ADB=CDEABD=ACF在ABD和ACF中ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90ABDACF(ASA)BD=CFBD=2CE7. 如图3-所示，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以O

20、P所在直线为对称轴的全等三角形。同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图3-,在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图3-，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：图略 （1）FE与FD之间的数量关系为FEFD。 （2）答：（1）中的结论FEFD仍然成立。 证法一：如下图，在AC上截取AGAE，连结FG 因为12，AF为公共边 可证AEFAGF 所以 AFEAFG，FE

21、FG 由B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 可得2360 所以AFECFDAFG60 所以CFG60 由34及FC为公共边，可得CFGCFD 所以FGFD 所以FEFD 证法二：如下图， 过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H 因为B60，且AD、CE分别是BAC、BCA的平分线， 所以可得2360，F是ABC的内心 所以 GEF601，FGFH 又因为 HDFB1 所以 GEFHDF 因此可证EGFDHF 所以 FEFD8. 如图，点D是等边ABC中BC边所在直线上的一个动点(点D不与B、C重合)，ADE=60，DE交ABC的外角ACF的平分线所在直线于点E。（1）求证：DA=DE（2）当点D在直线BC上运动时，探究DA与DE的大小关系，画出图形，给出证明。证明：（1）在AB上截取AH=CD,连接DHADC=B+DAH=ADE+CDE，B=ADE=60CDE=BAHAB=ACBD=BHBDH是等边三角形AHD=120CE是外角平分线DCE=120AHD=DCEADHDCEAD=DE（2）成立，证明对照（1）（具体略）