人教版八年级数学上角平分线的性质.docx
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人教版八年级数学上角平分线的性质
初中数学试卷
金戈铁骑整理制作
角平分线的性质
例1.如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
图1
变式1：
如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？
图1
变式2：
如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。
若BE=2，∠B=15°
求：
AC的长。
图3
例2.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
例3.已知：
如图6所示在
中，
，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证：
AC＝AE＋CD
例4.如图所示，设BP、CQ是
的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。
求证：
KH∥BC
A档（巩固专练）
1.△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（）
A、点P在△ABC内B、点P在△ABC底边上
C、点P在△ABC外D、点P的位置与△ABC的边长有关
2.如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（）
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形
3.如果三角形两角的平分线的交点落在三角形内部，则这个三角形是（）
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、以上都正确
4.已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于（）
A、95°B、15°C、95°或15°D、170°或30°
5.如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是（）
A、AB＞AD＋BCB、AB＝AD＋BC
C、AB＜AD＋BCD、无法确定
6.如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：
①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
F
7.如图，△ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=
BD，且DE=1.5cm，则AC等于（ ）
A．3cmB．7.5cmC．6cmD．4.5cm
A
8.如图，△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF等于（ ）A．40ºB．50ºC．60ºD．80º
F
9.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．95°
10.把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则△BCD是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．任意三角形
B档（提升精练）
1.已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB．
2.已知：
△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P．
求证：
点P在BC的垂直平分线上．
3.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．
A
4.如图，Rt△ABC中，∠C=90º，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______．
E
5.用三角尺画角平分线：
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线．请解释这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理．
6.如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？
请用尺规作图，找出建造加油站的位置．
7.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：
点P在∠C的平分线上．
P
8.如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．
求证：
（1）AD=CD；
（2）∠ADB=∠CDB．
P
9.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．
求证：
点C在∠AOB的平分线上．
N
10.已知：
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足．
求证：
AD垂直平分EF．
F
11.如图，已知△ABC中，∠C=90º，∠BAC=2∠B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DE=DC．
求证：
AD=BD．
E
12.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？
A
13.如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．
求证：
点Q在PR的垂直平分线上．
R
C档（跨越导练）
1.如图1，在锐角△ABC中，AB=
∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是。
2.（请至少用三种不同的方法）已知△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D，求证：
AC=AB+BD
3.如图4，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①②"③,①③"②，②③"①。
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题。
4.如图5，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于O点，求证：
OA平分∠DOE
5.如图6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：
AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。
6.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分∠ABC，CE⊥BD于E
求证：
CE=
7.如图3-①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图3-②,在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图3-③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其他条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
8.如图，点D是等边△ABC中BC边所在直线上的一个动点（点D不与B、C重合），∠ADE=60°，DE交△ABC的外角∠ACF的平分线所在直线于点E。
（1）求证：
DA=DE
（2）当点D在直线BC上运动时，探究DA与DE的大小关系，画出图形，给出证明。
角平分线的性质参考答案
例1.解析：
由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此△BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.
点评：
此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，（如图2）,对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.
图2
变式1答案：
∠A=35°.变式2答案：
1
例2.证明：
在BC上截取BF=BA,连接EF.
∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A;
AB平行于CD,则:
∠A+∠D=180°;
又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
例3.分析：
在AC上截取AF＝AE。
易知
，
。
由
，知
。
，得：
证明：
在AC上截取AF＝AE
又
即
例4.分析：
由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。
同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。
从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。
证明：
延长AH交BC于N，延长AK交BC于M
∵BH平分∠ABC
又BH⊥AH
BH＝BH
同理，CA＝CM，AK＝KM
是
的中位线
即KH//BC
说明：
当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。
我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。
A档（巩固专练）
1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.D8.C9.C10.B
B档（提升精练）
1.答案：
垂直平分线上；垂直平分线上．
2.答案：
连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上．
3.答案：
15．
4.答案：
3，5，24
5.答案：
提示：
OM=ON，OP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴射线OP是∠AOB的平分线．
6.答案：
提示：
作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置．
7.答案：
如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ．P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN。
∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．
8.答案：
△ABP≌△CBP，∴AB=CB，又∠ABP=∠CBP，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB．
9.答案：
提示：
作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD（SAS），∴S△MOE=S△NOD，同时去掉S四边形ODCE，得S△MDC=S△NEC，易证，MD=NE，∴CE=CF，∴点C在∠AOB的平分线上．
10.答案：
提示：
由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得∠DEF=∠DFE，∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EF．
11.答案：
提示：
DE=DC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴∠EAD=∠DAC=
∠BAC，又∠B=
∠BAC，∴∠EAD=∠B，∴AD=BD．
12.答案：
AC平分对角；AC⊥BD；AC平分BD；△ABC≌△ACD等．
13.答案：
提示：
AB=AC，∴∠B=∠C，又PB=QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR，∴QP=QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．
C档（跨越导练）
1.如图1，在锐角△ABC中，AB=
∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是。
答案：
4
2.（请至少用三种不同的方法）已知△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D，求证：
AC=AB+BD
证法1：
截长
在AC上截取AE=AB，连接DE
∵AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD
∴⊿ABD≌⊿AED（SAS）
∴BD=DE，∠B=∠AED
∵∠AED=∠C+∠EDC
∠B=2∠C
∴∠C=∠EDC
∴CE=DE=BD
∴AC=AE+CE=AB+BD
证法2：
补短1
在AB的延长线上截取BF=BD，连接DF
则∠F=∠BDF
∵∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F
∠ABC=2∠C
∴∠F=∠C
又∵∠FAD=∠CAD，AD=AD
∴⊿AFD≌⊿ACD（AAS）
∴AC=AF=AB+BF=AB+BD
证法3：
补短2
延长AB到G，使AG=AC，连接DG
∵AG=AC，∠CAD=∠CAD，AD=AD
∴⊿AGD≌⊿ACD（SAS）
∴∠G=∠C
∵∠ABC=∠G+∠BDG
∠ABC=2∠C=2∠G
∴∠C=∠BDG
∴BG=BD
∴AC=AG=AB+BG=AB+BD
3.如图4，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①②"③,①③"②，②③"①。
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题。
答案：
（1）正确的有①②"③，②③"①错误的有①③"②
（2）②③"①证明超过现在学生水平，可用四点共圆证明，也可用下述方法。
证明：
①②"③：
∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠CAD
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD
又公共边AD=AD
∴三角形AED与三角形AFD全等
∴AE=AF
设AD、EF交点为O
又公共边AO=AO，夹角∠AED=∠AFD
∴三角形AEO与三角形AFO全等
∴∠AOE=∠AOF
又∠AOE+∠AOF=180°
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
②③"①：
设AD、EF交点为O
∵DE⊥AB，DF⊥AC且AD⊥EF（即AD⊥EO，AD⊥FO）
∴EO、FO分别为直角三角形AED和AFD的高
直角三角形中，存在
直角三角形AOE与EOD相似
直角三角形AOF与FOD相似
∴可得相似边成比例，即OD/OE=OE/OA，OD/OF=OF/OA
整理得OE2=OF2=OD*OA
∴OE=OF
又∵AD⊥EF，∠AOE=∠AOF=90°，公共边AO=AO
∴三角形AEO与三角形AFO全等
∴∠EAO=∠FAO，即∠BAD=∠CAD
即：
AD平分∠BAC
4.如图5，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于O点，求证：
OA平分∠DOE
提示：
证△ADC
△ABE,根据对应高相等可得结论。
5.如图6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：
AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。
证明：
（1）因为DE⊥AB
所以∠FDB=45°
又BF∥AC
得到△DBF是等腰直角三角形
所以BD=BF
由AC=BC
所以△ACD和△CBF全等
所以∠CAD=∠FCB
∠CAD+∠ADC=∠FCB+∠ADC=90°
AD⊥CF
（2）
由于DBF是等腰直角三角形，BE垂直于DF
所以DE=EF
所以直角三角形ADE和AFE全等
AD=AF
上面得到AD=CF
所以AF=CF
三角形ACF为等腰三角形
6.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分∠ABC，CE⊥BD于E
求证：
CE=
证明：
延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC（ASA）
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
∴BD=2CE
7.如图3-①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图3-②,在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图3-③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其他条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
解：
图略
（1）FE与FD之间的数量关系为FE＝FD。
（2）答：
（1）中的结论FE＝FD仍然成立。
证法一：
如下图，在AC上截取AG＝AE，连结FG
因为∠1＝∠2，AF为公共边
可证△AEF≌△AGF
所以∠AFE＝∠AFG，FE＝FG
由∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
可得∠2＋∠3＝60°
所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°
所以∠CFG＝60°
由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD
所以FG＝FD
所以FE＝FD
证法二：
如下图，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H
因为∠B＝60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
所以可得∠2＋∠3＝60°，F是△ABC的内心
所以∠GEF＝60°＋∠1，FG＝FH
又因为∠HDF＝∠B＋∠1
所以∠GEF＝∠HDF
因此可证△EGF≌△DHF
所以FE＝FD
8.如图，点D是等边△ABC中BC边所在直线上的一个动点（点D不与B、C重合），∠ADE=60°，DE交△ABC的外角∠ACF的平分线所在直线于点E。
（1）求证：
DA=DE
（2）当点D在直线BC上运动时，探究DA与DE的大小关系，画出图形，给出证明。
证明：
（1）在AB上截取AH=CD,连接DH
∵∠ADC=∠B+∠DAH=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°
∴∠CDE=∠BAH
∵AB=AC
∴BD=BH
∴△BDH是等边三角形
∴∠AHD=120°
∵CE是外角平分线
∴∠DCE=120°
∴∠AHD=∠DCE
∴△ADH≌△DCE
∴AD=DE
（2）成立，证明对照
（1）（具体略）
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