人教版八年级数学上角平分线的性质.docx
《人教版八年级数学上角平分线的性质.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版八年级数学上角平分线的性质.docx(19页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
人教版八年级数学上角平分线的性质
初中数学试卷
金戈铁骑整理制作
角平分线的性质
例1.如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
图1
变式1:
如图1,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若∠BEC=70°,则∠A=?
图1
变式2:
如图3,在Rt△ABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E。
若BE=2,∠B=15°
求:
AC的长。
图3
例2.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
例3.已知:
如图6所示在
中,
,∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证:
AC=AE+CD
例4.如图所示,设BP、CQ是
的内角平分线,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。
求证:
KH∥BC
A档(巩固专练)
1.△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,两腰AB、AC的垂直平分线交于点P,则()
A、点P在△ABC内B、点P在△ABC底边上
C、点P在△ABC外D、点P的位置与△ABC的边长有关
2.如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上,则这个三角形是()
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形
3.如果三角形两角的平分线的交点落在三角形内部,则这个三角形是()
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、以上都正确
4.已知A和B两点在线段EF的中垂线上,且∠EAF=100°,∠EBF=70°,则∠AEB等于()
A、95°B、15°C、95°或15°D、170°或30°
5.如图2,四边形ABCD中,AD∥BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的长的大小关系是()
A、AB>AD+BCB、AB=AD+BC
C、AB<AD+BCD、无法确定
6.如图,△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,在以下结论中:
①△ADE≌△ADF;②△BDE≌△CDF;③△ABD≌△ACD;④AE=AF;⑤BE=CF;⑥BD=CD.其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
F
7.如图,△ABC中,∠C=90º,BD平分∠ABC交AC于D,DE是AB的垂直平分线,DE=
BD,且DE=1.5cm,则AC等于( )
A.3cmB.7.5cmC.6cmD.4.5cm
A
8.如图,△ABC中,∠CAB=120º,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,则∠EAF等于( )A.40ºB.50ºC.60ºD.80º
F
9.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD的度数为( )
A.60°B.75°C.90°D.95°
10.把16个边长为a的正方形拼在一起,如图,连接BC,CD,则△BCD是( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.任意三角形
B档(提升精练)
1.已知线段AB和它外一点P,若PA=PB,则点P在AB的____________________;若点P在AB的____________________,则PA=PB.
2.已知:
△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点P.
求证:
点P在BC的垂直平分线上.
3.如图,在△ABC中,EF是AC的垂直平分线,AF=12,BF=3,则BC=__________.
A
4.如图,Rt△ABC中,∠C=90º,BD是角平分线,DE⊥AB,垂足为E,BC=6,CD=3,AE=4,则DE=_______,AD=_______,△ABC的周长是_______.
E
5.用三角尺画角平分线:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,再分别过M、N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则这条射线即为角平分线.请解释这种做法的道理.你还能举出哪些作角平分线的方法,并说明这种做法的道理.
6.如图,三条公路围成的一个三角形区域,要在这个区域中建一个加油站,使它到三条公路的距离都相等,加油站应建在什么位置?
请用尺规作图,找出建造加油站的位置.
7.如图,△ABC中,P是角平分线AD,BE的交点.
求证:
点P在∠C的平分线上.
P
8.如图,已知点D是∠ABC的平分线上一点,点P在BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分别为A,C.
求证:
(1)AD=CD;
(2)∠ADB=∠CDB.
P
9.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.
求证:
点C在∠AOB的平分线上.
N
10.已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别为垂足.
求证:
AD垂直平分EF.
F
11.如图,已知△ABC中,∠C=90º,∠BAC=2∠B,D是BC上一点,DE⊥AB于E,DE=DC.
求证:
AD=BD.
E
12.如图,四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD,AC,BD相交于E,由这些条件你能推出哪些结论(不再添加辅助线,不再标注字母,不写推理过程,只要求写出四个你认为正确的结论)?
A
13.如图,△ABC中,AB=AC,点P、Q、R分别在AB,BC,AC上,且PB=QC,QB=RC.
求证:
点Q在PR的垂直平分线上.
R
C档(跨越导练)
1.如图1,在锐角△ABC中,AB=
∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是。
2.(请至少用三种不同的方法)已知△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC交BC于D,求证:
AC=AB+BD
3.如图4,在△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点。
①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF,以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②"③,①③"②,②③"①。
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题。
4.如图5,以△ABC两边AB、AC为边,向外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD交于O点,求证:
OA平分∠DOE
5.如图6,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由。
6.如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD于E
求证:
CE=
7.如图3-①所示,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
同时请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图3-②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图3-③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其他条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
8.如图,点D是等边△ABC中BC边所在直线上的一个动点(点D不与B、C重合),∠ADE=60°,DE交△ABC的外角∠ACF的平分线所在直线于点E。
(1)求证:
DA=DE
(2)当点D在直线BC上运动时,探究DA与DE的大小关系,画出图形,给出证明。
角平分线的性质参考答案
例1.解析:
由线段垂直平分线定理得出AE=BE,由此△BCE的周长等于AC+BC,进而可以求得BC的长为23.
点评:
此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时,(如图2),对应的是△ACE的周长,它的周长也等于AC+BC.图形变化,但结论不变.
图2
变式1答案:
∠A=35°.变式2答案:
1
例2.证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB平行于CD,则:
∠A+∠D=180°;
又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
例3.分析:
在AC上截取AF=AE。
易知
,
。
由
,知
。
,得:
证明:
在AC上截取AF=AE
又
即
例4.分析:
由已知,BH平分∠ABC,又BH⊥AH,延长AH交BC于N,则BA=BN,AH=HN。
同理,延长AK交BC于M,则CA=CM,AK=KM。
从而由三角形的中位线定理,知KH∥BC。
证明:
延长AH交BC于N,延长AK交BC于M
∵BH平分∠ABC
又BH⊥AH
BH=BH
同理,CA=CM,AK=KM
是
的中位线
即KH//BC
说明:
当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。
我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。
A档(巩固专练)
1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.D8.C9.C10.B
B档(提升精练)
1.答案:
垂直平分线上;垂直平分线上.
2.答案:
连结PA,PB,PC,PB=PA=PC,所以,点P在BC的垂直平分线上.
3.答案:
15.
4.答案:
3,5,24
5.答案:
提示:
OM=ON,OP=OP,∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL),∴∠MOP=∠NOP,∴射线OP是∠AOB的平分线.
6.答案:
提示:
作两个角的平分线,交点即为建加油站的位置.
7.答案:
如图,过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,PQ⊥AC,垂足分别为M、N、Q.∵P在∠BAC的平分线AD上,∴PM=PQ.P在∠ABC的平分线BE上,∴PM=PN。
∴PQ=PN,∴点P在∠C的平分线.
8.答案:
△ABP≌△CBP,∴AB=CB,又∠ABP=∠CBP,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD,∠ADB=∠CDB.
9.答案:
提示:
作CE⊥OA于E,CF⊥OB于F,OM=ON,OE=OD,∠MOE=∠NOD,∴△MOE≌△NOD(SAS),∴S△MOE=S△NOD,同时去掉S四边形ODCE,得S△MDC=S△NEC,易证,MD=NE,∴CE=CF,∴点C在∠AOB的平分线上.
10.答案:
提示:
由角平分线的性质定理,可得DE=DF,进而求得∠DEF=∠DFE,∠AEF=∠AFE,所以AE=AF,所以AD垂直平分EF.
11.答案:
提示:
DE=DC,AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADC,∴∠EAD=∠DAC=
∠BAC,又∠B=
∠BAC,∴∠EAD=∠B,∴AD=BD.
12.答案:
AC平分对角;AC⊥BD;AC平分BD;△ABC≌△ACD等.
13.答案:
提示:
AB=AC,∴∠B=∠C,又PB=QC,QB=RC,∴△BPQ≌△CQR,∴QP=QR,∴点Q在PR的垂直平分线上.
C档(跨越导练)
1.如图1,在锐角△ABC中,AB=
∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是。
答案:
4
2.(请至少用三种不同的方法)已知△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC交BC于D,求证:
AC=AB+BD
证法1:
截长
在AC上截取AE=AB,连接DE
∵AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD
∴⊿ABD≌⊿AED(SAS)
∴BD=DE,∠B=∠AED
∵∠AED=∠C+∠EDC
∠B=2∠C
∴∠C=∠EDC
∴CE=DE=BD
∴AC=AE+CE=AB+BD
证法2:
补短1
在AB的延长线上截取BF=BD,连接DF
则∠F=∠BDF
∵∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F
∠ABC=2∠C
∴∠F=∠C
又∵∠FAD=∠CAD,AD=AD
∴⊿AFD≌⊿ACD(AAS)
∴AC=AF=AB+BF=AB+BD
证法3:
补短2
延长AB到G,使AG=AC,连接DG
∵AG=AC,∠CAD=∠CAD,AD=AD
∴⊿AGD≌⊿ACD(SAS)
∴∠G=∠C
∵∠ABC=∠G+∠BDG
∠ABC=2∠C=2∠G
∴∠C=∠BDG
∴BG=BD
∴AC=AG=AB+BG=AB+BD
3.如图4,在△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点。
①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF,以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②"③,①③"②,②③"①。
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题。
答案:
(1)正确的有①②"③,②③"①错误的有①③"②
(2)②③"①证明超过现在学生水平,可用四点共圆证明,也可用下述方法。
证明:
①②"③:
∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠CAD
又∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD
又公共边AD=AD
∴三角形AED与三角形AFD全等
∴AE=AF
设AD、EF交点为O
又公共边AO=AO,夹角∠AED=∠AFD
∴三角形AEO与三角形AFO全等
∴∠AOE=∠AOF
又∠AOE+∠AOF=180°
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
②③"①:
设AD、EF交点为O
∵DE⊥AB,DF⊥AC且AD⊥EF(即AD⊥EO,AD⊥FO)
∴EO、FO分别为直角三角形AED和AFD的高
直角三角形中,存在
直角三角形AOE与EOD相似
直角三角形AOF与FOD相似
∴可得相似边成比例,即OD/OE=OE/OA,OD/OF=OF/OA
整理得OE2=OF2=OD*OA
∴OE=OF
又∵AD⊥EF,∠AOE=∠AOF=90°,公共边AO=AO
∴三角形AEO与三角形AFO全等
∴∠EAO=∠FAO,即∠BAD=∠CAD
即:
AD平分∠BAC
4.如图5,以△ABC两边AB、AC为边,向外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD交于O点,求证:
OA平分∠DOE
提示:
证△ADC
△ABE,根据对应高相等可得结论。
5.如图6,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由。
证明:
(1)因为DE⊥AB
所以∠FDB=45°
又BF∥AC
得到△DBF是等腰直角三角形
所以BD=BF
由AC=BC
所以△ACD和△CBF全等
所以∠CAD=∠FCB
∠CAD+∠ADC=∠FCB+∠ADC=90°
AD⊥CF
(2)
由于DBF是等腰直角三角形,BE垂直于DF
所以DE=EF
所以直角三角形ADE和AFE全等
AD=AF
上面得到AD=CF
所以AF=CF
三角形ACF为等腰三角形
6.如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD于E
求证:
CE=
证明:
延长BA、CE,两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
7.如图3-①所示,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
同时请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图3-②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图3-③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其他条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
解:
图略
(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD。
(2)答:
(1)中的结论FE=FD仍然成立。
证法一:
如下图,在AC上截取AG=AE,连结FG
因为∠1=∠2,AF为公共边
可证△AEF≌△AGF
所以∠AFE=∠AFG,FE=FG
由∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
可得∠2+∠3=60°
所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°
所以∠CFG=60°
由∠3=∠4及FC为公共边,可得△CFG≌△CFD
所以FG=FD
所以FE=FD
证法二:
如下图,
过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H
因为∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
所以可得∠2+∠3=60°,F是△ABC的内心
所以∠GEF=60°+∠1,FG=FH
又因为∠HDF=∠B+∠1
所以∠GEF=∠HDF
因此可证△EGF≌△DHF
所以FE=FD
8.如图,点D是等边△ABC中BC边所在直线上的一个动点(点D不与B、C重合),∠ADE=60°,DE交△ABC的外角∠ACF的平分线所在直线于点E。
(1)求证:
DA=DE
(2)当点D在直线BC上运动时,探究DA与DE的大小关系,画出图形,给出证明。
证明:
(1)在AB上截取AH=CD,连接DH
∵∠ADC=∠B+∠DAH=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=60°
∴∠CDE=∠BAH
∵AB=AC
∴BD=BH
∴△BDH是等边三角形
∴∠AHD=120°
∵CE是外角平分线
∴∠DCE=120°
∴∠AHD=∠DCE
∴△ADH≌△DCE
∴AD=DE
(2)成立,证明对照
(1)(具体略)