平稳时间序列模型及其特征Word文档格式.docx

1、 有时，序列Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即Xt=t-1t-1-2t-2-qt-q （2.1.4）此模型常称为序列Xt的滑动平均模型，记为MA（q）， 其中q为滑动平均的阶数，1，2q为参滑动平均的权数。相应的序列Xt称为滑动平均序列。 使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成Xt=（1-1B-2B2- qBq）qt=（B）t （2.1.5）三、自回归滑动平均模型 如果序列Xt的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外

2、部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q （2.1.6）简记为ARMA（p, q）。利用滞后算子，此模型可写为 （B）Xt=（B）t （2.1.7）第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性 首先介绍两个概念。1 序列的传递形式：设Yt为随机序列，t为白噪声，若Yt可表示为：Yt=t+G1t-1+G2t-2+Gkt-k+=G（B） t 且，则称Yt具有传递形式，此时Yt是平稳的。系数Gk称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。2 序列的逆转形式：若Yt可表示为：t= Yt-1 Yt-1-

3、2 Yt-2-k Yt-k-=（B） Yt，则称Yt具有逆转形式（或可逆形式）。一、 MA模型1. MA模型本身就是传递形式。2. MA（q）总是平稳的（由上一章的例），MA（）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。3. MA（q）模型的可逆性条件。先以MA（1）（Yt=t-1t-1）为例进行分析。 MA（1）的可逆性条件为：。如果引入滞后算子表示MA（1），则Yt=（1-1B）t，可逆条件等价于（B）=1-1B=0的根全在单位圆外。 对于一般的MA（q）模型，利用滞后算子表示有： Yt=（1-1B-2B2- qBq）t = （B）t 其可逆的充要条件是：（B） =0的根全在单位圆外（证明见Box-

4、Jenkins，P79）。在可逆的情况下，服从MA（q）模型的序列可以表示成无穷阶的AR模型：-1（B）Yt=tMA（q）的可逆域：使（B） =0的根全在单位圆之外的系数向量（1，2，q）所形成的集合。 例：求MA（2）的可逆域。解：由，其特征方程为：该方程的两个根为：由二次方程根与系数的关系，有当MA（2）平稳时，根的模都必须大于1，因此必有：由根与系数的关系，可以推出如下式子：由于是实数，必同为实数或共轭复数。又因为，因此故反之，如果，且那么从可以推出至少有一个，例如，假设，则根据可推出，由可以推出，从而因此，的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）。二、 AR模型1. AR（P）模型本身就

5、是一种逆转形式。2. 平稳性。先以AR（1）（ Yt=1Yt-1+t）,进行分析。AR（1）平稳的条件为，它等价于（B）=1-1B=0的根在单位圆外。3、在平稳的情况下，AR（1）有传递形式： （1-1B）Yt=t 一般地，对于AR（P）模型：（B） Yt=t，序列Yt平稳的充要条件是：（B）=0的根全在单位圆外。此时，Yt有传递形式：Yt=-1（B） t AR（P）的平稳域：使（B）=0的根全在单位圆外的AR系数向量（1，2，p，）的全体形成的集合。 练习：求AR（1）与AR（2）的平稳域。三、ARMA（p,q）模型1、 平稳性与传递形式首先考察ARMA（1，1）的平稳性: Yt1Yt-1=

6、t1t-1 Yt平稳 11 （与AR（1）的平稳域相同） 此结论表明，ARMA（1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。而且平稳条件与AR（1）的平稳条件相同。在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt 平稳的充要条件是：（B）=0的根全在单位圆外。在平稳的条件下，Yt有传递形式 Yt=-1（B）（B）t2、 可逆性对于ARMA（1,1），假定可逆形式为t=（B）Yt=（11B2B2k B k ）Yt 代入ARMA（1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得 t= Yt（11）Yt-11（11）Yt-21

7、 k-1（11）Yt- k 根据前面的定义（可逆性定义），应有11。因此，ARMA（1,1）可逆的条件是11，它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。而且可逆条件与MA（1）的可逆条件相同。一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt，其具有可逆性的条件是： （B）=0的根全在单位圆外。在可逆的条件下，Yt的逆转形式为 t=-1（B）（B）Yt3、 传递性与可逆性的重要意义第三节 线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数一、 自相关函数1、 MA（q）模型的自相关函数设Yt服从:Yt=（B）t =t1t-1qt-q= jt-j , 0= 1 则Yt的s阶自协方差函数为： s =js+j2=

8、2（0s+1s+1+q-sq） （sq） （0= -1 ） 0 （sq）由上式，有0=2（1+12+q2）故Yt的自相关函数（ACF）为：s=s0=上式表明，MA（q）模型的记忆仅有q个时段，Yt的自协方差函数或自相关函数（ACF）q步截尾。这是MA（q）模型的典型特征。MA（q）的典型特征：s 在q步截尾。2、 AR（p）模型的自相关函数首先考察AR（1） （Yt=1Yt-1+t ）的自相关函数的特征。 Yt的自协方差函数为：s=Cov（Yt, Yt+s） =1s-1从而 s=1s-1=12s-2=1s0自相关函数（ACF）为： s=s0=1s当11，s0,即自相关函数s随s的增大而衰减至零

9、。这种现象称为拖尾性。对于一般的AR（p），序列的自相关函数的特征分析如下： 设 Yt=1Yt-1+2Yt-2+pYt-p+t=（B） Yt+t 则自协方差函数：s=1s-1+2s-2+ps-p这是一个关于的线性差分方程。 上式两边同除0，得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。 s=1s-1+2s-2+ps-p在AR（p）平稳的条件下，（B）=0有p个在单位圆外的根1、2，p 。根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF）服从的线性差分方程（B）s=0的通解为： s=c11-s+ c22-s + cpp-s由于j1，因此s将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡衰减（复根情形）。这种特性称

10、为AR（p）的拖尾性。 AR（p）的典型特征是：s拖尾（衰减）3、ARMA（p,q）的自相关函数设ARMA（p,q）的形式为： Yt=1Yt-1+2Yt-2+pYt-p+t1t-1qt-q则Yt的s阶自协方差函数为：s =1s-1+2s-2+ps-p+E（Ytt+S） 1E（Ytt+S-1） qE（Ytt+S-q）当0sq时，t+S，t+S-1， ，t+S-q中有一部分位于t时刻以前（t+ s-it s-i0），Yt与这一部分外部冲击有关，从而s除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。当sq时，s-q0，t+s-qt，从而t+S，t+S-1， ，t+S-q全在t时刻以后，由于Y

11、t与未来的外部冲击不相关，因此s中后面的项全为零。 s=1s-1+2s-2+ps-p它只同自回归系数有关。两边同除0，得s=1s-1+2s-2+ps-p （sq）即ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在sq时，与AR（p）的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。借用前面关于AR（p）的自相关函数特征的讨论可知，ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。二、 偏自相关函数 从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是MA（q）的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是AR（p）与ARMA（p,q）共有的特征，尽管ARMA（

12、p,q）的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR（p）与ARMA（p,q），因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。因此，还需寻找序列的其他统计特征。这就是偏自相关函数的特征。设Yt是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s的相关系数。为了考察偏自相关函数的特性，我们分析如下：设Yt是一零均值平稳序列，我们设想用Yt-1， Yt-2，Yt- s的s阶自回归模型去拟和Yt，即建立如下模型：Yt=s1Yt-1+s2Yt-2+ssYt-s+ et其中et为误差项。估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择s1，s2，

13、ss使模型的残差方差Q=E（Yt-Sj Yt- j ）2=Eet2达到最小。根据极值条件应有：QSj =0 （j=1，2，s） 据此，可推出s1，s2，ss所满足的方程为其中k （k=1，s）为Yt的k阶自相关系数。此方程组称为Yule-Walker方程。可以证明，SS是在给定Yt-1， Yt-2，Yt-s+1的条件，Yt和Yt- s之间的条件相关系数，即偏相关系数。SS就为Yt的偏相关函数。要考察Yt服从自回归过程的情况下，偏自相关函数的特征，就需要由Yule-Walker方程解出SS的表达式，然后进行分析。由于求解过程比较复杂。在此我们通过另外一条途径考察ss的特性。假定Yt的真实过程为A

14、R（p）（p阶自回归），我们用s阶自回归过程去逼近，则模型的残差方差为Q=E（Yt-Sj Yt- j ）2 =E（j -Sj） Yt-j+t-（j -Sj） Yt-j-Sj Yt- j ）2+ 2 2则当且仅当 Sj 1jpSj= 0 pjs时，Q达到最小值。上式表明，当sp时，SS=0，即pp=p是AR（p）模型偏自相关函数SS，s1中不为零的最后一项。这种偏自相关p步截尾是 AR（p）的典型特征。对于AR（p）和ARMA（p,q）模型，在可逆的条件下，有逆转形式t=-1（B）（B）Yt这是一个无穷阶的AR模型，根据前面的讨论知，Yt的偏自相关函数不会出现截尾现象，而是无限延伸的。（AR（p）是p阶截尾的，AR（）不会截尾）可以证明，其偏自相关函数呈指数衰减或正弦波衰减。至此，我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。