平稳时间序列模型及其特征Word文档格式.docx
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有时,序列Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情况下,Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即
Xt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q(2.1.4)
此模型常称为序列Xt的滑动平均模型,记为MA(q),其中q为滑动平均的阶数,θ1,θ2…θq为参滑动平均的权数。
相应的序列Xt称为滑动平均序列。
使用滞后算子记号,(2.1.4)可写成
Xt=(1-θ1B-θ2B2-……-θqBq)qt=θ(B)εt(2.1.5)
三、自回归滑动平均模型
如果序列{Xt}的当前值不仅与自身的过去值有关,而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系,则在用模型刻画这种动态特征时,模型中既包括自身的滞后项,也包括过去的外部冲击,这种模型叫做自回归滑动平均模型,其一般结构为:
Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+……+φpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q(2.1.6)
简记为ARMA(p,q)。
利用滞后算子,此模型可写为
φ(B)Xt=θ(B)εt(2.1.7)
第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性
首先介绍两个概念。
1序列的传递形式:
设{Yt}为随机序列,{εt}为白噪声,若{Yt}可表示为:
Yt=εt+G1εt-1+G2εt-2+……+Gkεt-k+……=G(B)εt
且
,则称{Yt}具有传递形式,此时{Yt}是平稳的。
系数{Gk}称为格林函数。
它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。
2序列的逆转形式:
若{Yt}可表示为:
εt=Yt-π1Yt-1-π2Yt-2-……-πkYt-k-……=π(B)Yt
,则称{Yt}具有逆转形式(或可逆形式)。
一、MA模型
1.MA模型本身就是传递形式。
2.MA(q)总是平稳的(由上一章的例),MA(∞)在系数级数绝对收敛的条件下平稳。
3.MA(q)模型的可逆性条件。
先以MA
(1)(Yt=εt-θ1εt-1)为例进行分析。
MA
(1)的可逆性条件为:
。
如果引入滞后算子表示MA
(1),则Yt=(1-θ1B)εt,可逆条件
等价于θ(B)=1-θ1B=0的根全在单位圆外。
对于一般的MA(q)模型,利用滞后算子表示有:
Yt=(1-θ1B-θ2B2-……-θqBq)εt=θ(B)εt
其可逆的充要条件是:
θ(B)=0的根全在单位圆外(证明见Box-Jenkins,P79)。
在可逆的情况下,服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR模型:
θ-1(B)Yt=εt
MA(q)的可逆域:
使θ(B)=0的根全在单位圆之外的系数向量(θ1,θ2,……,θq)所形成的集合。
例:
求MA
(2)的可逆域。
解:
由
,其特征方程为:
该方程的两个根为:
由二次方程根与系数的关系,有
当MA
(2)平稳时,根的模
都必须大于1,因此必有:
由根与系数的关系,可以推出如下式子:
由于
是实数,
必同为实数或共轭复数。
又因为
,因此
故
反之,如果
,且
那么从
可以推出至少有一个
,例如,假设
,则根据
可推出
,由
可以推出
,从而
因此,
的根在单位圆之外。
(平稳域为一三角形)。
二、AR模型
1.AR(P)模型本身就是一种逆转形式。
2.平稳性。
先以AR
(1)(Yt=
1Yt-1+εt),进行分析。
AR
(1)平稳的条件为
,它等价于
(B)=1-
1B=0的根在单位圆外。
3、在平稳的情况下,AR
(1)有传递形式:
(1-
1B)Yt=εt
一般地,对于AR(P)模型:
(B)Yt=εt,序列{Yt}平稳的充要条件是:
(B)=0的根全在单位圆外。
此时,Yt有传递形式:
Yt=
-1(B)εt
AR(P)的平稳域:
使
(B)=0的根全在单位圆外的AR系数向量(
1,
2,……,
p,)的全体形成的集合。
练习:
求AR
(1)与AR
(2)的平稳域。
三、ARMA(p,q)模型
1、平稳性与传递形式
首先考察ARMA(1,1)的平稳性:
Yt–φ1Yt-1=εt–θ1εt-1
Yt平稳︱φ1︱<1(与AR
(1)的平稳域相同)
此结论表明,ARMA(1,1)序列的平稳性仅与自回归系数有关,而与滑动平均系数无关。
而且平稳条件与AR
(1)的平稳条件相同。
在平稳的条件下,Yt有上述形式的传递形式。
一般地,服从ARMA(p,q)模型的序列Yt平稳的充要条件是:
φ(B)=0的根全在单位圆外。
在平稳的条件下,Yt有传递形式Yt=φ-1(B)θ(B)εt
2、可逆性
对于ARMA(1,1),假定可逆形式为
εt=π(B)Yt=(1–π1B–π2B2–…–πkBk–…)Yt
代入ARMA(1,1)的滞后算子表示形式,采用类似前面的方法,比较同次冥系数可得
εt=Yt–(φ1–θ1)Yt-1–θ1(φ1–θ1)Yt-2–…–θ1k-1(φ1–θ1)Yt-k–…
根据前面的定义(可逆性定义),应有︱φ1︱<1。
因此,ARMA(1,1)可逆的条件是︱φ1︱<1,它仅与滑动系数有关,而与自回归系数无关。
而且可逆条件与MA
(1)的可逆条件相同。
一般地,服从ARMA(p,q)模型的序列Yt,其具有可逆性的条件是:
θ(B)=0的根全在单位圆外。
在可逆的条件下,Yt的逆转形式为εt=θ-1(B)φ(B)Yt
3、传递性与可逆性的重要意义
第三节线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数
一、自相关函数
1、MA(q)模型的自相关函数
设{Yt}服从:
Yt=θ(B)εt=εt–θ1εt-1–…–θqεt-q=–
θjεt-j,θ0=–1
则{Yt}的s阶自协方差函数为:
γs=
θjθs+jσ2
=σ2(θ0θs+θ1θs+1+…+θq-sθq)(s≤q)(θ0=-1)
0(s>
q)
由上式,有γ0=σ2(1+θ12+…+θq2)
故{Yt}的自相关函数(ACF)为:
ρs=γs/γ0
=
上式表明,MA(q)模型的记忆仅有q个时段,Yt的自协方差函数或自相关函数(ACF)q步截尾。
这是MA(q)模型的典型特征。
MA(q)的典型特征:
ρs在q步截尾。
2、AR(p)模型的自相关函数
首先考察AR
(1)(Yt=φ1Yt-1+εt)的自相关函数的特征。
Yt的自协方差函数为:
γs=Cov(Yt,Yt+s)=φ1γs-1
从而γs=φ1γs-1=φ12υs-2=…=φ1sγ0
自相关函数(ACF)为:
ρs=γs/γ0=φ1s
当︱φ1︱<1,ρs—>
0,即自相关函数ρs随s的增大而衰减至零。
这种现象称为拖尾性。
对于一般的AR(p),序列的自相关函数的特征分析如下:
设Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt=φ(B)Yt+εt
则自协方差函数:
γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p
这是一个关于{
}的线性差分方程。
上式两边同除γ0,得关于自相关函数(ACF)的线性差分方程。
ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p
在AR(p)平稳的条件下,φ(B)=0有p个在单位圆外的根а1、а2,…,аp。
根据线性差分方程解的有关理论,自相关函数(ACF)服从的线性差分方程φ(B)ρs=0的通解为:
ρs=c1а1-s+c2а2-s+…+cpаp-s
由于︱аj︱>1,因此ρs将按指数衰减(实根情形)或正弦振荡衰减(复根情形)。
这种特性称为AR(p)的拖尾性。
AR(p)的典型特征是:
ρs拖尾(衰减)
3、ARMA(p,q)的自相关函数
设ARMA(p,q)的形式为:
Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt–θ1εt-1–…–θqεt-q
则Yt的s阶自协方差函数为:
γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p+E(Ytεt+S)–θ1E(Ytεt+S-1)–…–θqE(Ytεt+S-q)
当0≤s≤q时,εt+S,εt+S-1,…,εt+S-q中有一部分位于t时刻以前(t+s-i≤ts-i≤0),Yt与这一部分外部冲击有关,从而γs除了受自回归系数的影响外,还受一部分滑动平均系数的影响。
当s>q时,s-q>0,t+s-q>t,从而εt+S,εt+S-1,…,εt+S-q全在t时刻以后,由于Yt与未来的外部冲击不相关,因此γs中后面的项全为零。
γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p
它只同自回归系数有关。
两边同除γ0,得ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p(s>q)
即ARMA(p,q)的自相关函数(ACF)在s>q时,与AR(p)的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。
借用前面关于AR(p)的自相关函数特征的讨论可知,ARMA(p,q)的自相关函数(ACF)在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减,即仍体现出拖尾特征。
二、偏自相关函数
从前面的自相关函数的讨论中可看出,自相关函数的截尾性是MA(q)的独有特征,但自相关函数的拖尾性却是AR(p)与ARMA(p,q)共有的特征,尽管ARMA(p,q)的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减,但这还不足于区别AR(p)与ARMA(p,q),因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。
因此,还需寻找序列的其他统计特征。
这就是偏自相关函数的特征。
设{Yt}是一随机序列,所谓Yt的s阶偏自相关系数,是指扣出中间s-1个项的影响之后,Yt与Yt+s的相关系数。
为了考察偏自相关函数的特性,我们分析如下:
设{Yt}是一零均值平稳序列,我们设想用Yt-1,Yt-2,…,Yt-s的s阶自回归模型去拟和Yt,即建立如下模型:
Yt=φs1Yt-1+φs2Yt-2+…+φssYt-s+et
其中et为误差项。
估计模型的常用方法是最小二乘法,即选择φs1,φs2,…,φss使模型的残差方差Q=E(Yt-
φSjYt-j)2=Eet2达到最小。
根据极值条件应有:
Q∕
φSj=0(j=1,2,…,s)
据此,可推出φs1,φs2,…,φss所满足的方程为
其中ρk(k=1,…,s)为Yt的k阶自相关系数。
此方程组称为Yule-Walker方程。
可以证明,φSS是在给定Yt-1,Yt-2,…,Yt-s+1的条件,Yt和Yt-s之间的条件相关系数,即偏相关系数。
{φSS}就为{Yt}的偏相关函数。
要考察{Yt}服从自回归过程的情况下,偏自相关函数的特征,就需要由Yule-Walker方程解出φSS的表达式,然后进行分析。
由于求解过程比较复杂。
在此我们通过另外一条途径考察φss的特性。
假定{Yt}的真实过程为AR(p)(p阶自回归),我们用s阶自回归过程去逼近,则模型的残差方差为
Q=E[(Yt-
φSjYt-j)2]
=E[(
(φj-φSj)Yt-j+εt-
(φj-φSj)Yt-j-
φSjYt-j)2]+σ2
≥σ2
则当且仅当
φSj1≤j≤p
φSj=
0p<
j≤s
时,Q达到最小值。
上式表明,当s>p时,φSS=0,即φpp=φp是AR(p)模型偏自相关函数{φSS,s>1}中不为零的最后一项。
这种偏自相关p步截尾是AR(p)的典型特征。
对于AR(p)和ARMA(p,q)模型,在可逆的条件下,有逆转形式εt=θ-1(B)φ(B)Yt
这是一个无穷阶的AR模型,根据前面的讨论知,{Yt}的偏自相关函数不会出现截尾现象,而是无限延伸的。
(AR(p)是p阶截尾的,AR(–∞)不会截尾)可以证明,其偏自相关函数呈指数衰减或正弦波衰减。
至此,我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。