江苏高考数学理大一轮复习检测专题十九 空间向量与立体几何.docx

1、江苏高考数学理大一轮复习检测专题十九 空间向量与立体几何专题十九空间向量与立体几何考向一线线角与线面角1. (2017南京期初)如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,点E是线段PC的中点.(1) 求异面直线AP与BE所成角的大小;(2) 若点F在线段PB上,使得二面角F-DE-B的正弦值为,求的值.(第1题)2. (2017苏北四市摸底)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC=BAD=90, AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.(1) 求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2) 点N在线段AD上,且AN=,若直线MN与平面PB

2、C所成角的正弦值为,求的值.(第2题)3. (2017南京、盐城二模)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.(1) 求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2) 点M在线段A1D上,=,若CM平面AEF,求实数的值.(第3题)4. (2017南通一模)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQ=BB1(0).(1) 若=,求AP与AQ所成角的余弦值;(2) 若直线AA1与平面APQ所成的角为45,求实数的值.(第4题)考向二二面角问题5. (2

3、017苏州、无锡、常州、镇江一调)如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且=.(1) 求异面直线MN与PC所成角的大小;(2) 求二面角N-PC-B的余弦值.(第5题)6. (2017南通三模)如图,在四棱锥S-ABCD中,SD平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,ADC=DAB=90,SD=AD=AB=2,DC=1.(1) 求二面角S-BC-A的余弦值;(2) 设P是棱BC上一点,E是SA的中点,若PE与平面SAD所成角的正弦值为,求线段CP的长.(第6题)7. (2017盐城三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD底面ABC

4、D,且PAD是边长为2的等边三角形,PC=,点M在PC上,且PA平面BDM.(1) 求直线PC与平面BDM所成角的正弦值;(2) 求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小.(第7题)8. (2018南京期初)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABAD,ADBC,AP=AB=AD=1.(1) 若直线PB与CD所成角的大小为,求BC的长;(2) 求二面角B-PD-A的余弦值.(第8题)9. (2018苏北四市一模)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是AA1,AC和A1C1的中点.以,为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.(1

5、) 求异面直线AC与BE所成角的余弦值;(2) 求二面角F-BC1-C的余弦值.(第9题)考向三综合问题10. (2017无锡期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,ADBC,BAD=CBA=90,PA=AB=BC=1,AD=2,E,F,G分别为BC,PD,PC的中点.(1) 求EF与DG所成角的余弦值;(2) 若M为EF上一点,N为DG上一点,是否存在MN,使得MN平面PBC?若存在,求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.(第10题)11. (2018苏州一模)如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,其交线为AB,且AB=BP

6、=2,AD=AE=1,AEAB,且AEBP.(1) 求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;(2) 试问:线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.(第11题)12. (2018南通模拟)如图,在三棱锥A-BCD中,已知ABD,BCD都是边长为2的等边三角形,E为BD中点,且AE平面BCD,F为线段AB上一动点,记=.(1) 当=时,求异面直线DF与BC所成角的余弦值;(2) 当CF与平面ACD所成角的正弦值为时,求实数的值.(第12题)专题十九空间向量与立体几何1. (1) 在四棱锥P-ABCD中,底面ABC

7、D为正方形,侧棱PD底面ABCD,所以DA,DC,DP两两垂直,故以,为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.因为PD=DC,所以DA=DC=DP,不妨设DA=DC=DP=2,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0).因为E是PC的中点,所以E(0,1,1).所以=(-2,0,2),=(-2,-1,1),所以cos=,从而=.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2) 由(1)可知,=(0,1,1),=(2,2,0),=(2,2,-2).设=,则=(2,2,-2),从而=+=(2,2,2-2).设m=(x1,y1,z1)为平面DE

8、F的一个法向量,则即取z1=,则y1=-,x1=2-1.所以m=(2-1,-,)为平面DEF的一个法向量.设n=(x2,y2,z2)为平面DEB的一个法向量,则即取x2=1,则y2=-1,z2=1,所以n=(1,-1,1)为平面BDE的一个法向量.因为二面角F-DE-B的正弦值为,所以二面角F-DE-B的余弦的绝对值为,即|cos|=,所以 =,即=,化简得42=1,因为点F在线段PB上,所以01,所以=,即=.(第1题)2. (1) 因为PA平面ABCD,且AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,因为BAD=90,所以PA,AB,AD两两互相垂直.如图,分别以AB,AD,AP为x,y

9、,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,则由AD=2AB=2BC=4,PA=4,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).因为M为PC的中点,所以M(1,1,2),所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos=,所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.(2) 因为AN=,所以N(0,0)(04),则=(-1,-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z),则 即 令x=2,解得y=0,z=1,所以m=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|c

10、os|=,解得=10,4,所以的值为1.(第2题)3. 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A平面ABCD.又AE平面ABCD,AD平面ABCD,所以A1AAE,A1AAD.在菱形ABCD中,ABC=,则ABC是等边三角形.因为E是BC中点,所以BCAE.因为BCAD,所以AEAD.以,为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(,0,0),所以F.(1) =(0,2,0),=,所以=1.从而cos=.故异面直线EF,AD所成角的余弦值为.(2) 设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,

11、且=,则=,即(x,y,z-2)=(0,2,-2).则M(0,2,2-2),所以=(-,2-1,2-2).设平面AEF的一个法向量为n=(x0,y0,z0).因为=(,0,0),=,由n=0,n=0,得x0=0,y0+z0=0.取y0=2,则z0=-1,则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).由于CM平面AEF,则n=0,即2(2-1)-(2-2)=0,解得=.(第3题)(第4题)4. 以,为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.(1) 因为=(1,2,2),=(2,0,1),所以cos=.所以AP与AQ所成角的余弦值为.(2) 由题意可知,=(0,0,2),=(2,0,2)

12、.设平面APQ的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=-2,则x=2,y=2-.所以n=(2,2-,-2).又因为直线AA1与平面APQ所成角为45,所以|cos|=,可得52-4=0,又因为0,所以=.5. (1) 设AC,BD交于点O,在正四棱锥P-ABCD中,OP平面ABCD.又PA=AB=2,所以OP=.以O为坐标原点,方向分别为x轴、y轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,).故=+=+=,=,所以=,=(-1,1,-),所以cos=,所以MN与PC所成角的大小为.(第5题)

13、(2) 又=(-1,1,-),=(2,0,0),=.设m=(x,y,z)是平面PCB的一个法向量,则m=0,m=0,可得令x=0,y=,z=1,即m=(0,1).设n=(x1,y1,z1)是平面PCN的一个法向量,则n=0,n=0,可得令x1=2,y1=4,z1=,即n=(2,4,).所以cos=,则二面角N-PC-B的余弦值为.6. (1) 以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,1,0),S(0,0,2),A(2,0,0),所以=(2,2,-2),=(0,1,-2),=(0,0,2).设平面SBC的一个法向量为n1=(x,y,z)

14、,由n1=0,n1=0,得2x+2y-2z=0且y-2z=0.取z=1,得x=-1,y=2,所以n1=(-1,2,1)是平面SBC的一个法向量.因为SD平面ABC,取平面ABC的一个法向量n2=(0,0,1).设二面角S-BC-A的大小为,所以|cos|=.由图可知二面角S-BC-A为锐二面角,所以二面角S-BC-A的余弦值为.(2) 由(1)知E(1,0,1),则=(2,1,0),=(1,-1,1).设=(01),则=(2,1,0)=(2,0),所以=-=(1-2,-1-,1).易知CD平面SAD,所以=(0,1,0)是平面SAD的一个法向量.设PE与平面SAD所成的角为,所以sin=|co

15、s|=,即=,解得=或=(舍去).所以=,|=,所以线段CP的长为.(第6题)7. 因为平面PAD平面ABCD,PAD为正三角形,作AD边上的高PO.因为平面PAD平面ABCD=AD,由面面垂直的性质定理,得PO平面ABCD.又四边形ABCD是矩形,同理可证CD平面PAD,则CDPD.又PC=,PD=2,故CD=3.以AD中点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,AD的垂直平分线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),D(-1,0,0).如图,连接AC交BD于点N.因为PA平面MBD,平面APC平

16、面MBD=MN,所以MNPA,又N是AC的中点,所以M是PC的中点,则M.设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z),因为=(-2,-3,0),=,由n=0,n=0,得令x=1,解得y=-,z=,所以取n=.(第7题)(1) 因为=(-1,3,-),设PC与平面BDM所成的角为,则sin=,所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值为.(2) 易知平面PAD的一个法向量为=(0,-3,0),设平面BDM与平面PAD所成的锐二面角为.则cos=,所以平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为. 8. (1) 以,为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为AP=AB=AD=1,所以A

17、(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).设C(1,y,0),则=(1,0,-1),=(-1,1-y,0).因为直线PB与CD所成角的大小为,所以|cos|=,即=,解得y=2或y=0(舍去),所以C(1,2,0),所以BC的长为2.(第8题)(2) 设平面PBD的一个法向量为n1=(x,y,z),因为=(1,0,-1),=(0,1,-1),则即令x=1,则y=1,z=1,所以n1=(1,1,1).因为平面PAD的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cos=,所以由图可知二面角B-PD-A的余弦值为.9. (1) 因为AB=1,AA1=2,则F(0,0,0),A,

18、C,B,E,C1,所以=(-1,0,0),=.记直线AC和BE所成的角为,则cos=|cos|=,所以直线AC和BE所成角的余弦值为.(2) 设平面BFC1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),因为=,=,所以取x1=4,得m=(4,0,1).设平面BCC1的一个法向量为n=(x2,y2,z2),因为=,=(0,0,2),所以取x2=,得n=(,-1,0).所以cos=.根据图形可知二面角F-BC1-C为锐二面角,所以二面角F-BC1-C的余弦值为.10. (1) 如图,以A为坐标原点,AB为x轴、AD为y轴、AP为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C

19、(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),因为E,F,G分别为BC,PD,PC的中点,所以E,F,G.所以=,=.设异面直线EF与DG所成的角为,则cos=.所以EF与DG所成角的余弦值为.(第10题)(2) 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),因为=(0,1,0),=(1,0,-1).所以取x=1,得n=(1,0,1).因为M为EF上一点,N为DG上一点,若存在MN,使得MN平面PBC,则n.设M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2),则因为点M,N分别是线段EF与DG上的点,所以=,=t,因为=,=(x2,y2-2,z2),所以且把代入,得解得所以M,N.11.

20、(1) 因为平面ABCD平面ABPE,平面ABCD平面ABPE=AB,BPAB,所以BP平面ABCD.又因为ABBC,所以直线BA,BP,BC两两垂直.以B为坐标原点,以BA,BP,BC分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1),则=(2,-2,1),=(2,0,0).因为BC平面ABPE,所以=(0,0,1)为平面ABPE的一个法向量.设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,则z=2,故n=(0,1,2).设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为,则cos =,显

21、然0,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为.(2) 设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.设=(2,-2,)(01),所以=+=(2,2-2,).由(1)知,平面PCD的一个法向量为n=(0,1,2),所以cos=,即92-8-1=0,解得=1或=-(舍去).故当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.(第11题)12. 连接CE,以EB,EC,EA分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则A(0,0,),B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0).因为F为线段AB上一动点,且=,则=(-1,0,)=(-,0,),所以F(1-,0,).(1) 当=时,F,=,=(1,-,0),所以cos=.(2) 由(1)知,=(1-,-,),设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z),因为=(1,0,),=(1,0),由n,n,得化简得取n=(,-1,-1).设CF与平面ACD所成的角为,则sin=|cos|=.解得=或=2(舍去),所以=.(第12题)