定积分(北师大版选修2-2).ppt

1、定积分的背景面积与路程问题,高二数学 选修2-1 第四章 定积分,以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？,探究点2 估计曲边梯形的面积,我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即“以直代曲”的思想)计算出了圆的面积，能否也用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢？,割圆术,一、定积分问题举例,曲边梯形 设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.,1.曲边梯形的面积,问题1 图中阴影部分由抛物线，直线 及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积 S。,将区间0，1平均分成 5 份，如图所示。,图(1

2、)中，所有小矩形面积之和 显然大于所求曲边梯形的面积，我们称 为 S 的过剩估计值，则有,图(2)中，所有小矩形面积之和 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称 为 S 的不足估计值，则有,我们可以用 或 近似表示 S，但是都存在误差，二者之差为，但是无论是用 还是 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，如图(3)所示。,不足估计值为,二者的差值为，此时，无论用 还是 来表示 S，误差都不超过 0.1。,区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度趋于 0，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过

3、程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯

4、形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：,当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积,概括,前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：,分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近

5、所求面积,所分区间长度 0,估计值所求值,练一练：,求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间0，1 5等分来估计）,解析 把区间 0，1 5等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值 和过剩估计值，如下：,估计误差不会超过-=0.2,探究点3 估计变速运动的路程,已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？,问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v（单位：m/s)是时间 t 的函数：,请估计汽车

6、在刹车过程中滑行的距离 s.,分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s=255=125(m)但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离.首先，将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出滑行距离s1：,由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽车在5 s内滑行距离的过剩估计值.用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似

7、替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值：,不论用过剩估计值s1还是不足估计值 表示s，误差都不超过：,要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？,为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小.比如，将滑行时间5s平均分成10份.用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：,结论 滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.,汽车在5s内滑行距离的不

8、足估计值：,无论用s2还是 表示汽车的滑行距离s，误差都不超过,变式练习,汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=-t2+2,（单位：km/h),那么它在0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程s是多少？（将行驶的时间1h平均分成10份）,解析 分别用v(0)，v(0.1)，v(0.2)，v(0.9)近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值,=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.9)0.1=1.715(km).,分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(1)近似替代汽车在00.1h，0.10.

9、2h，0.80.9h,0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值,=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(1)0.1=1.615(km),无论用 还是 估计汽车行驶的路程s,估计误差都不会超过1.715-1.615=0.1（km）,1.曲边梯形的定义：,分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求值,2.求面积和路程问题的步骤：,我们把由直线 x=a，x=b(a b)，y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形.,回顾本节课你有什么收获？,第四章 定积分的定义,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)取近似求和:任取xixi-1,xi，第i个小曲边

10、梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:,其中，叫作积分号，叫作积分的下限，叫作积分,的上限，叫作被积函数，叫作积分变量，,叫作积分区间.,一、基本概念,二、概念说明,（2）.用定义求积分的一般方法是：,分割 近似代替 求和 取极限,（3）.,曲边梯形面积：,变速运动路程：,定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,三、定积分的几何意义：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)

11、0时，由yf(x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-S,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,即：,例：说明下列定积分所表示的几何意义，并根据,其意义求出定积分的值.,(1),(2),(3),;,;,.,;,o,1,解（1）：,中所示长方形的面积，,表示的是图,由于这个长方形的面,积为2.,所以,2,o,1,解（2）：,中所示梯形的面积，,表示的是图,由于这个梯形的面,所以,1,2,2,积为.,o,解（3）：,半径为1的半圆的面,表示的是图中所示,由于这个半圆,所以,o,1,-1,1,的面积为.,积，,例2：

12、,解：,x,y,f(x)=sinx,1,-1,四、定积分的基本性质,性质1.,性质2.,性质3.,三:定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质4.,思考：从定积分的几何意义解释性质,例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。,利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：,1）,2）.,1）,2）.,练习：,试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。,0,y,x,y=x2,1,2,0,x,y=f(x),y=g(x),a,b,y,